關于曲面的高斯像的一個定理＊

吳 蕓,紀永強

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

關于曲面的高斯像的一個定理＊

吳 蕓,紀永強

(湖州師范學院理學院,浙江湖州313000)

可展曲面是直紋曲面的一種類型,可展曲面就是沿每一條直母線只有一個切平面.通過幾何分析方法,討論了直紋曲面,給出了直紋曲面是可展曲面的一個充分且必要條件.得到直紋曲面是可展曲面,其充要條件是:曲面S的Gauss映射像是一條曲線.并給出這個定理應用的例子.

直紋曲面;可展曲面;高斯映射

MSC 2000:53C17

1 直紋曲面與可展曲面

我們知道,由動直線產生的曲面稱為直紋曲面,動直線為該直紋曲面的直母線,如柱面、錐面、一條曲線的切線曲面等都是直紋曲面.在文獻[1]中,利用曲線測地撓率與曲線撓率的關系刻畫直紋曲面是可展曲面.在文獻[2]中,利用單參數平面族的包絡面刻畫直紋曲面是可展曲面.本文利用曲面的高斯映射像刻畫直紋曲面是可展曲面.

特別地,當ρ (u)=ρ0是常矢量時,

是錐面,

定理A[3]直紋曲面S為可展曲面,其充要條件是:或者S是柱面,或者S是錐面,或者S是某一條曲線的切線曲面.

2 曲面的高斯映射

曲面S的球面像S2可以寫成映射:

我們稱曲面S到單位球面S2之間的映射G為高斯映射.

S2是整個單位球面.圓環面

的球面像的方程也是(5)式.所以球面與圓環面的球面像都是單位球面,因為球面和圓環面都不是直紋曲面,所以它們不是可展曲面.

S2退化成單位球面上在xOy坐標平面上的單位圓,圓柱面是可展曲面,它的球面像是一條曲線.

3 基本定理及證明

證明 “?” 由定理A[3]知,直紋曲面S是可展曲面的充要條件是:或S是柱面,或S是錐面,或S是某一條曲線的切線曲面.所以

曲面S上任一點的法矢量

故柱面S的Gauss映射像是:

S2是參數u的函數,所以S2是一條曲線.

錐面S上任一點P(u,v)的法矢量為:

因只考慮錐面上的正則點,所以v≠0,故錐面S的Gauss映射像是

S2也是單參數u的函數,所以S2是一條曲線.

則

切線曲面S上的任一點P(u,v)的法矢量為:

故曲面S的Gauss映射像是:

S2是一條曲線.總之,可展曲面的Gauss映射像S2是一條曲線.

曲面S上任一點P(u,v)的法矢量為:

即

得{πt}是單參數t的平面族.將(15)式寫為:

又因為準線C∶ρ→=ρ→

(t)與每一條特征線Lt相交,所以

對(18)式的第一式求導再利用第二式得:

即

即

得(24)式就是(16)式,所以(24)式就是曲面S的切平面,故S是切平面族{πt}的包絡面.

由(21)式知,對于v1≠v2,有:

稱為曲線C的極線曲面.我們證明:S極可展的充要條件是S極的Gauss映射像是一條曲線.

證明 “?” 因為

所以曲面S極的Gauss映射像為:

所以S2是一條曲線.

“?” 因曲面S極的Gauss映射像

是一條曲線,所以S極上任一點P(s,v)的切平面是:

即

單參數平面族{πs}的特征線的方程組為:

即

因平面πs的法矢量,得特征線Ls的方向矢量為:

上的點滿足方程組(29)式,故(31)式就是包絡面的準線,由(30)式和(31)式知,{πs}的包絡面的方程是:

S包就是S極.由文獻[3]中定理3.6.7知,S包是可展曲面.或者,由于直紋曲面(32)的準線為:

因為

由文獻[3]中定理3.6.1知,S包是可展曲面.

[1]孫國漢,趙培林,劉以均.曲面可展的條件[J].阜陽師范學院字報,1996,27(1):22～25.

[2]趙燕,紀永強.直紋曲面是可展曲面的一個充要條件[J].湖州師范學院字報,2009,31(2):26～30.

[3]紀永強,微分幾何[M].北京:高等教育出版社,2009:181～211.

Abstract:The developable surface,along every straight line,each w ith only one tangent p lane,is a type of ruled surface.Our purpose is to give a sufficient and necessary condition of the developable surface. We use the methods of geometry analysis to study the ruled surface,and get a sufficient and necessary condition of the developable surface,that is,Gauss Mapping of the Curved Surface is a curve and finally gives an examp le of this new app lication of the theorem.

Key words:developable surface;ruled surface;Gaussmapping

MSC 2000:53C17

A Theorem About Curved Surface Gauss Mapping

WU Yun,JI Yong-qiang
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O186.11

A

1009-1734(2010)02-0027-05

2010-02-10

吳蕓,湖州師范學院2007級本科生,從事微分幾何研究.