超混沌LC振蕩電路的混合反饋同步與保密通信

戶永清

（四川文理學院，四川 達州 635000）

0 引言

自從Pecora和Carroll提出利用混沌同步進行保密通信和信息處理的實驗方案后，相繼出現了多種基于同步混沌實現保密通信的方法。由于混沌系統對初值的極端敏感性、內隨機性、類噪聲性、寬帶功率譜和快速衰減的相關函數，使得其特別適合于采用寬譜發射來實現保密通信。但是，目前大部分混沌同步方案還只是停留在具有一個正的 Lyapunov指數的弱混沌系統上，而具有兩個及其以上正的 Lyapunov指數的超混沌系統，由于其至少在一個環面上產生收縮和發散，因而相對于一般的混沌系統有著更為復雜的動力學行為[1]。因此，利用超混沌系統的同步來進行通信比一般的混沌通信具有更好的保密性、更大的存儲容量、信息處理能力和更強的魯棒性[2]。基于上述原因，現在超混沌電感電容振蕩電路的基礎上提出了一種線性和非線性混合反饋同步方案，通過設計李雅普諾夫函數對系統同步的穩定性進行了分析，得出了穩定狀態下系統反饋強度的臨界值。同時，針對一般的混沌同步通信只能傳輸能量極小的信號、有用信號浮在混沌載體上而不是融入到混沌載體中[3]、信號極易被破譯等一系列問題，通過利用上述同步方案將有用的信息信號注入到混沌信號中，使有用信號和混沌載波信號融合在一起，既增強了通信的保密性，同時也提高了傳輸信號的能量和通信系統的效率。

1 超混沌LC振蕩電路的混合反饋同步

簡單的超混沌LC振蕩電路模型是由A.Tamasevicius等人[4]提出的，它由運算放大器構成負阻元件。其無量綱動力學方程描述如下：

式中為a、b、c、d、u和ε為系統參數，H(·)為階躍函數。經文獻[4]研究,當系統參數為： a=0.6，b=0.05，c=0.015，d=10，u=0.3，ε=0.33時，超混沌LC振蕩系統（1）有兩個正的 Lyapunov指數：λ1=0.11，λ2=0.06，此時系統處于超混沌運動狀態。

在式（1）的基礎上，通過運用線性和非線性混合反饋控制的方法，構造如下的響應系統：

令軌道誤差滿足：

則誤差動力學系統為：

于是，超混沌LC振蕩電路的同步問題就等價于誤差系統（4）在零點的穩定性問題。構造如下Lyapunov函數：

式（6）中b，c，d均大于0，若要式（6）為負值，則只需a ＜ p 即可。當 a ＜ p 時，有 E˙＜ 0，根據 Lyapunov 穩定性定理可知式（4）零解漸近穩定。即當 t→∞時，Y→X，響應系統（2）和驅動系統（1）達到同步。

為了驗證上述理論分析的正確性，通過運用四階龍格一庫塔法進行數值模擬。其中驅動系統（1）的初值取為（0.5,0.2,0.1,0.3），響應系統（2）的初值取為（10.1,8.2,15.3,12.4）,p =10.0，積分步長為0.001（以下均同），定義為同步誤差。數值模擬結果如圖1和圖2所示。圖1為同步過程中的誤差曲線，圖2為同步后狀態變量x1-y1的相圖。可見，只需很短的時間同步誤差就收斂為零，兩系統就可以實現精確同步。

圖1 同步過程中的誤差曲線

圖2 同步后狀態變量x1-y1的相圖

2 超混沌電路注入式保密通信

對于一般的混沌掩蓋保密通信，有用信號只是疊加在從發射系統發射出來的混沌信號上，即浮在混沌載體上，而不是融入到產生混沌的系統中，從而保密性能差，信號極易被破譯。而且所攜帶的信號強度不能很大，否則發送系統和接收系統根本無法獲得同步，這就導致通信系統的信噪比低，傳輸信號容易受信道噪聲的干擾，稍大的噪聲就會使接收端的信噪比減小，因而很難適應于工程應用。利用超混沌系統的同步，通過將信號直接注入到發射系統來進行保密通信，這樣信息信號就融入到混沌載波信號中，有效地解決了上述問題。

具體方法描述如下：

考慮給定的n維混沌動力學系統

采用注入式保密通信方案時，設計發射端混沌系統、發射信號、接收端混沌系統和解調信號分別為：發射系統：

發射信號：

接收系統：

解調信號：

式中，m( t)為信息信號，S( t)為傳輸信號，m′( t)為解調信號， K ∈ Rn×1為反饋矢量，G∈R為發射系統輸出信號，G′∈R為接收系統輸出信號，C ∈ R1×n為輸出矢量系數矩陣。

對于四階超混沌LC振蕩電路，選取C =（1,0,0,0），K =(k,0,0,0)T。采用基于混合反饋的混沌同步注入式保密通信方案時，相應的發射系統、發射信號、接收系統和解調信號分別如下式（12）、式（13）、式（14）、式（15）示：

發射系統：

發射信號：

接收系統：

解調信號：

由條件 Lyapunov指數穩定性判據可知：當響應系統的所有條件 Lyapunov指數都為負值時，響應系統與驅動系統達到同步，這是保密通信方案設計的前提。為了確定響應系統的李雅譜諾夫指數為負時反饋強度的取值范圍，利用四階龍格一庫塔法對上述過程進行模擬仿真。假設信息信號圖3(a)、圖3(b)分別給出了A =10.0和A =100.0時反饋強度k與響應系統的李雅譜諾夫指數的關系曲線。由圖 3(a)、圖 3(b)可知：在保證信息信號無失真恢復的條件下，信息信號能量較小時(如A=10.0)，k的取值范圍較寬；能量較大時(如 A =100.0 )，k的取值范圍較窄，例如當 k＞18.1時，響應系統的李雅譜諾夫指數為正，此時兩系統將無法達到同步。

圖3 響應系統的李雅譜諾夫指數和k的關系曲線圖

根據圖 3(a)、圖 3(b)所示的條件 Lyapunov指數的計算結果可知，當信息信號的幅度分別為A =10.0和A =100.0時，取k =10.95，兩個系統能夠達到混沌同步。首先在無噪聲的情況下進行保密通信仿真，A=10.0數值仿真結果如圖4所示（A =100.0的仿真結果圖略）。由圖4所示，信息信號得到了無失真恢復，且發射信號相對于信息信號已完全改觀，這就證明設計方案是有效的。

圖4 信息信號m(t)=10.0cos(0.5t)

式中(0,1)σ為零均值，寬度為1的隨機噪聲，r為噪聲強度。疊加噪聲后信號解調結果分別如圖 5（a）和圖 5（b）所示。圖(5a)示出了傳輸信號 m(t)=10.0cos(0.5 t)時，信噪比為22 dB時信號的解調結果 m"(t)，圖 5（b）示出了傳輸信號

考慮到這些過程時是以理想信道為前提的，然而信號在實際傳輸過程中往往會受到信道噪聲的干擾，稍大的噪聲就會嚴重地影響到通信的質量。為了證明本方法對噪聲有一定的魯棒性，對有噪聲的情況進行了分析和討論，研究了發射端信號疊加性噪聲的情形。即：m(t)=100.0cos(0.5 t)時，信噪比為 32 dB時信號的解調結果m"(t)。由圖5可見，信息信號得到了很好的恢復，提出的方法具有一定的抗噪聲能力。

圖5 加入噪聲后的解調信號m"(t)

3 結語

在通信中，為了防止信號被破譯和得到無失真恢復，要求接收系統與發射系統同步建立時間較短[5]。利用線性和非線性混合反饋實現超混沌系統的同步，且同步前的暫態過程較短。同時，通過采用信號的注入式通信方式設計混沌通信系統，使有用信號與混沌信號融合在一起，增強了系統的保密性，提高了傳送有用信息信號的能量和通信的效率，且信號恢復失真小，因而使得這種保密通信方案適用于工程實踐，有一定的實用價值。

[1] 韓春艷.一個產生復雜PR序列的自動切換混沌系統[J].通信技術，2009,42（06）：105-107.

[2] 趙耿，方錦清.現代信息安全與混沌保密通信應用研究進展[J].物理學進展，2003,23(02)：212-255.

[3] 關新平,范正平,陳彩蓮,等.混沌控制及其在保密通信中的應用[M].北京：國防工業出版社,2002：5-7.

[4] TAMASEVICIUS A，NAMAJUNAS A，CENYS A. Simple 4D Chaotic Oscillator[J]. lectron Lett，1996，32(11)：955-957.

[5]馬軍,蒲忠勝,黎鎖平.一類超混沌系統的廣義同步研究[J].電路與系統學報，2007(04)：20-23.