關于對稱多項式的構造及其應用

何 燈

（福建省福清港頭中學，福建 福清 350317）

關于對稱多項式的構造及其應用

何 燈

（福建省福清港頭中學，福建 福清 350317）

通過構造對稱式和輪換對稱式的一般表示式，借助于Maple應用程序，研究了3元到15元的對稱多項式的缺項多項式、輪換對稱代換缺項多項式、Si類對稱多項式及Si類差分代換缺項多項式的通式構造，并對多元多項式的平方分拆進行了探討.

對稱多項式；缺項多項式；Si類多項式；平方分拆；機器證明

0 引 言

文獻［1］通過構造對稱式和輪換對稱式的一般表示式，借助于Maple應用程序，研究了Si類多項式和缺項多項式，實現了3元到8元的缺項多項式和Si類多項式通式的構造.這些應用程序為我們研究多項式的性質提供了方便.但由于這些程序通用性較差，有些模塊效率不高，部分表達式不能自動構造，如果用其研究更多元的情況將會發生困難.本文以文獻［1］為基礎，對對稱多項式的一般式構造及其應用進行進一步探究，通過通用算法得到了3元到15元（15元以上的，機器的運算效率明顯降低）的對稱多項式的一般構造程序，并舉例說明其在構造缺項多項式和Si類對稱多項式的通式、多項式的平方分拆中的應用.

1 對稱多項式和輪換對稱多項式的一般表示

1.1 對稱多項式一般表示式及其實現程序

n元初等對稱多項式是指型如:

的對稱式.由對稱多項式基本定理[2]知，任何一個對稱多項式均可用初等對稱多項式表示出來，這樣可以利用基本定理構造對稱多項式的一般式.對于變元數較少的情況，文獻［1］給出了構造程序pe[3]（3元到8元對稱多項式構造程序）.為了研究更多元對稱多項式的性質，需要編寫多元初等對稱多項式的通用構造程序.以下簡要說明尋找σi的兩個可行算法.

算法1 展開（x1+x2+…+xn-1+xn）i，尋找其中含有i個變元的項，將這些項去系數，相加，則可得σi.

算法2 求集合{x1,x2,…,xn}的子集，尋找其中含有i個元素的子集，將單個子集內的各個元素相乘，再將得到的因式相加，可得σi.

采用算法1，筆者編寫了n元初等對稱多項式的構造程序ddn（本文所編寫程序均集中在參考文獻［4］dcdxs中），命令格式是ddn（n）.要構造一個n元m次的對稱多項式的

1.2 輪換對稱多項式一般表示式及其實現程序

文獻［1］基于推廣的多項式基本定理，給出了3元和4元的輪換對稱多項式通式，對于多元的情況，由于還沒有得到初等輪換對稱式，從而通式構造遇到了困難.本文通過構造普通多項式的一般式，再根據輪換對稱多項式的定義構造并解方程組，解決了這個問題.

依照這些命令序列，可以編寫輪換對稱多項式的一般式構造應用程序ldcts，其命令格式是ldcts（var，deg），其中var是變元個數，deg是次數.

例1 試確定6元3次輪換對稱多項式一般式.

解 運行ldcts（6，3），則得（其中ki為待確定參數，若取其為特殊值，則可得特殊表達式，下同）：

2 缺項多項式

文獻［1］定義了差分代換缺項多項式.由于缺項多項式在差分代換后降低了維數，更便于研究，故研究這類多項式是有意義的.文獻［1］中的程序up[3]能夠得到3元到8元對稱多項式的差分代換缺項多項式通式.筆者在文獻［1］的基礎上，利用本文2.1中得到的對稱多項式的一般式構造程序dcts，編寫出了3元到15元的對稱多項式差分代換缺項多項式通用程序dque，其運行命令是dque（var，deg），其中var為變元個數，deg為次數，輸出一個含兩個元素的數組，第一個元素是以σi表示的通式，第二個元素是以xi表示的通式.

例2 確定9元6次對稱差分代換缺項多項式通式.

解 運行 dque（9，6）［1］（［1］表示只需要輸出 dque（9，6）的第一個數組元素， 下同）， 則得：

對于一個n元對稱多項式f（x）=f（x1，x2，…，xn），由于各個變量所處的位置是平等的，故不妨設xn-1≥xn-2≥…≥x2≥x1≥xn，只需做一次如下差分代換：

從而可定義差分代換缺項多項式并由上代換確定其通式.對于一般的多項式，由于其各個變量不是平等的，故不能僅通過一次的差分代換確定其差分代換缺項多項式的通式.而對于一個n元輪換對稱多項式，通常可設xn為變量中最小者，從而可作如下代換（與差分代換有區別）：

類似文獻［1］差分代換缺項多項式的定義，我們可定義:

一個 n 元多項式 f（x） =f（ x1，x2，…，xn）， 作代換

后得到的代換式中， 如果缺少含有 Xn的項， 即 f（x1，x2，…，xn） =g（ y1，y2，…，yn-1）， 則稱f（x）為輪換對稱代換缺項多項式.

基于以上的定義，筆者編寫了確定輪換對稱代換缺項多項式程序lque，程序中用到了本文2.2中的輪換對稱多項式的一般式構造應用程序ldcts，其算法類似于dque，命令為lque（var，deg），其中var為變元個數，deg為次數.由于4元以上的輪換對稱缺項多項式通式比較復雜，限于篇幅，下面僅舉兩個簡單例子說明lque的使用.

例3 確定4元5次輪換對稱代換缺項多項式通式.

解 運行 lque（4，5）， 則得：

其中，

例4 確定3元8次輪換對稱代換缺項多項式通式，并找到其中一個半正定多項式.

解 運行命令lque（3，8）， 則得：

其中，

令k3=1，k43=-3，k45=7，得多項式可因式分解為：

顯然非負.

3 Si類多項式通式

文獻［5］定義了 Si類多項式： 如果 m 元 n 次齊次多項式 f≡ f（x1，x2，…，xm）滿足f（1，1，…，1） =0， 并且當 m-i（m-1 ≥ i≥ 0）個變元相等時 f取值為零， 則稱 f屬于 Si類多項式.文獻［1］實現了4元到8元Si類對稱多項式通式的程序構造.本文利用對稱多項式的一般式構造程序dcts編寫出了3元到15元的Si類對稱多項式通用程序Sidc，其運行命令是 Sidc（i，var，deg）， 其中var為變元個數， deg為次數.

例5 確定13元12次S5類對稱多項式通式.

解 運行 Sidc（5，13，12）， 則得：

例6 確定最大i的11元12次Si類對稱多項式通式.

解 運行 Sidc（5，11，12）， 沒有得到輸出結果. 運行 Sidc（4，11，12）， 得到：

這說明11元12次Si類對稱多項式的最大i為4.

例7 確定最低元數的10次S4類對稱多項式通式.

解 運行 Sidc（4，9，10）， 沒有得到輸出結果. 運行 Sidc（4，10，10）， 得到：

這說明10次S4類對稱多項式的最低元數為10.

例8 確定最低次數的10元S3類對稱多項式通式.

解 運行 Sidc（3，10，7）， 沒有得到輸出結果. 運行 Sidc（3，10，8）， 得到：

這說明10元S3類對稱多項式的最低次數為8.

4 Si類差分代換缺項多項式通式

對多項式多一種考量的標準，我們就對多項式的性質多了一重認識.在Si類多項式及差分代換缺項多項式的基礎上，筆者提出了Si類差分代換缺項多項式概念，將差分代換缺項多項式的通式構造程序dque和Si類對稱多項式構造程序Sidc合并，可得Si類差分代換缺項多項式通式構造程序Sique，其運行命令是Sique（i，var，deg），其中var為變元個數，deg為次數，輸出一個含兩個元素的數組，第一個元素是以σi表示的通式，第二個元素是以xi表示的通式.

例9 確定9元8次S2類差分代換缺項多項式通式.

解 運行 Sique（2，9，8）［1］， 得到：

5 對稱多項式的平方分拆

2006年文家金，張勇在文獻［6］中解決了如下問題.

設實系數n元齊次對稱多項式F（x）滿足：當x1=x1=…=xn時有F（x）=0，且F（x）的次數不小于2.問：是否存在多項式P（i，j，x）使得：

對于3元的xmynzt，由式（6）可得：

pfbs是由多個分塊程序和一個主程序組成，第一個程序是基于式（6）編寫的，其能夠給出型如式（6）的分拆結果，第二個程序是基于式（7）編寫得到的，其能夠得到式（7）的分拆并利用第一個程序對2元的進行拆分，第三個程序用到了第二個程序，如此類推，得15個分拆程序，后面的每個程序均用到其前一個程序.主程序pfbs的作用是將輸入的多項式的每個項都表示為Pi+Qi的形式，并把所有的Pi和Qi分別相加并對Qi合并同類項，若ΣQi=0，則輸出ΣPi，完成分解，否則同時輸出ΣPi和ΣQi.

例10 Mohab Safe（巴黎第6大學副教授）2009年提出了一個4變量24次1289項的大多項式[11]，對其做平方分拆，運行如下命令：

在電腦d盤中得到了文件mm2.txt，里面給出了具體的分拆結果，詳細可參閱文獻［11］.

例11 試驗證8元6次以（1，1，…，1）為零點的輪換對稱多項式總是能夠進行平方分拆的.

解 先利用ldcts構造8元6次的輪換對稱多項式一般式，記為tem，對各個變元賦值1，得到一個方程，解之代入tem中，記結果為temp，運行pfbs（temp）.此過程可用如下命令自動完成:

在輸出的結果中，由于非平方部分恒為零，故8元6次以（1，1，…，1）為零點的輪換對稱多項式總是能夠進行平方分拆的.

例12 試驗證13元10次以（1，1，…，1）為零點的對稱多項式總是能平方分拆.

解 利用dcts求13元10次對稱多項式一般式，記為tem，對各個變元賦值1，得到一個方程，解之代入tem中，運行pfbs，過程可由如下命令完成：

輸出的分拆結果表明，13元10次以（1，1，…，1）為零點的對稱多項式總是能夠平方分拆的.

6 結 語

文獻［1］通過構造多項式通式，對一些特殊類型的多項式進行研究，從而發現了多項式的一些性質或規律.本文沿用這一思路，得到了一些新算法，彌補了文獻［1］程序的不足，從而提高了程序的運算效率和功能，延伸了應用范圍.提出的輪換代換缺項多項式及Si類差分代換缺項多項式概念，豐富了多項式的研究類型.本文只是側重于這些特殊類型多項式的構造，并未對其正性等性質進行專門研究.如何對這些多項式類型進行深入研究，揭示其特殊規律并應用到具體問題中，是一個十分重要的研究課題，有待進一步研究.

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[2]姚慕生.高等代數學[M].上海：復旦大學出版社，2005：198-199.

[3]xzlbq（劉保乾）.對稱多項式的一般表示式及其應用[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=658&sid，2010-06-03.

[4]hedeng123（何燈）.對稱多項式構造程序dcdxs[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=721&sid，2010-07-02.

[5]劉保乾.Si類多項式初探[J].廣東教育學院學報，2007，27（5）：6-13.

[6]文家金，張勇.齊次對稱多項式的分解原理與方差平均不等式猜想[J].四川師范大學學報，2006，29（4）： 438-442.

[7]劉保乾.多元齊次對稱生成分拆基初探[J].廣東教育學院學報，2006，26（5）：5-15.

[8]何燈.3元n次對稱多項式的平方型分拆及其他[J].佛山科學技術學院學報，2010，28（4）：51-57.

[9] 劉保乾.再談多項式的平方分拆[J].佛山科學技術學院學報，2010，28（5）：43-50.

[10]xzlbq（劉保乾）.何燈老師請注意——平方型分拆可否有重要進展[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=480&sid，2010-03-22.

[11]yanglu（楊路）.Safey的大多項式你們的方法能做嗎？[EB/OL].http：//www.irgoc.org/viewtopic.php?f=27&t=501&sid，2010-04-01.

Abstract：General expressions for constructing symmetric polynomials are proposed.In Maple， 3 to 15-term symmetric polynomials,permute symmetric polynomials， Sisymmetric polynomials and Sidifferential substitution polynomials with sparse terms have been constructed.Multiple-term polynomials have been studied in square decomposition.

Key words：symmetric polynomial； polynomial with sparse terms； Sipolynomial； square decomposition；machine proof

On Constructions and Applications of Symmetric Polynomials

HE Deng

（Gangtou Middle School， Fuqing 350317， Fujian， China）

O 122.3

A

1001-4217（2010）04-0001-08

2010-04-14

何燈（1984-），男，福建福清人，學士，教師，全國不等式研究會成員.研究方向：不等式的機器證明.E-mail：hedeng123@163.com