時滯脈沖微分方程解的全局吸引性

陳攀峰

（宿州學院計算機科學與技術系，安徽宿州234000）

時滯脈沖微分方程解的全局吸引性

陳攀峰

（宿州學院計算機科學與技術系，安徽宿州234000）

本文研究一類一般情況時滯脈沖微分方程解的全局吸引性，并得出該方程全局吸引性的結論。

微分方程；時滯；脈沖；全局吸引性

文[1-5]研究了脈沖時滯微分方程解的全局吸引性，本文利用類似的方法研究更具一般形式的脈沖時滯微分方程解的全局吸引性

其中a（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），τ＞0，bk＞-1，k=1，2，3…，0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，且=∞.f（t，u）關于u滿足lipschitz條件，當t≠tk時關于t連續，當u=0時，f（t，0）=0；當u≠0時，uf（t，u）＞0.假設函數f（t，φ）滿足如下條件

其中p（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），Mt（φ）

定義：若存在x（t）（t∈[-τ，+∞）滿足方程（1），且當t≥-τ時，x（t）左連續，當t≥0時，滿足方程（1）.則稱x（t）為方程（1）的解。

引理1[1]：假設條件（2）成立，且有

則方程（1）的每一最終正解和最終負解都趨于零。

證明與文獻[1]中的方法相似。

引理2[1]：假設（2）成立，且有則方程（1）的每個振動解都趨于零。

證明利用文[1]中類似的方法，方程（1）的任一振動解設為x（t），先證x（t）有界。由（6），對?a∈（1，），存在T1＞0，當t≥T1，t≠tk時，

由（5），?ε＞0，?整數N，當n＞N，對于?m＞0，使同時使得（1＋ε）＜1.取T＝max{ T1，tN}，T0＝min{ t:x（t）＝0，t≥T}.

用反證法，假設x（t）無界，那么存在c＞T0，對?t≤c時，.不妨設x（c+）＞0.如果x（c）是x（t）的左極大值，由（1）、（2）

又x（c）＞0，x′（c）＞0，所以由（1），存在ξ∈[c-τ，c]，使得x（ξ）=0.且當t∈[ξ，c]時，x（t）≥0；當t∈[ξ，c]，tτ≤ξ，對上述不等式從t-τ到ξ積分，得

對上式從ξ到c積分，結合（7）得

對（9）、（10）分別從ξ到η、η到c積分，得

由上面兩式消去x（η），得

化簡得（11）。如果x（c）不是x（t）的左極大值，設T0＜tl＜tl+1＜…＜tl+k＜c.此時如果x（tk+l）＜x（c），那么x（t）在x（tk+l，c）內存在最大值并記為，用上述的方法

如果x（tk+l）不是x（t）的左極大值，則有且x（t）在x（tk+l-1，tk+l）內有最大值，記為用上述方法可得（16），

所以

也得（16）。由遞推法，最后，如果x（tl）不是左極大值，那么x（t）在（T0，tl）內有最大值設為，易證（16）。

所以

即得（16）。

此外如果x（c+）＝x（c），則由（12）式推得（1+ε）≥1，（16）式推得，均與假設矛盾。

若x（c+）≠x（c），則存在tk，使，即x（c）＝x（tk），x（c+）=（1+bk）x（tk）=（1+bk）x（c）≤（1+ε）x（c），

所以x（t）有界。

從而得

取點列{cn}，滿足T′＜c1＜c2＜…，且x（cn）＝0.當t∈[c2i-1，c2i]時，x（t）≥0，當t∈[c2i，c2i＋1]時，x（t）≤0.

于是推出

不妨設c2i-1＜t1＜tl+1＜…tk+l，若x（tk+l）不是左極大值，此時，若在（tk+l－1，tk+l）內有最大值，用上述方法，對（17）式進行處理得

所以（20）成立。利用上述方法遞推，最后若x（tl）為x（t）的左極大值，推得

若x（ts）不是x（t）的左極大值，則x（t）在（cwi-1，ts）內最大值為，用上面證x（t）有界方法對（16）式處理得（20），從而

得（20）式。用相似方法討論xi，可得

k→∞

定理1假設（2）成立，且有

則方程（1）的每個振動解都趨于零。

由引理1，引理2直接得出.

定理2假設（2）成立，且有

則方程（2）的每個振動解都趨于零。

取ε＞0，使a（1+ε）2＜1，又由（26），?整數N，當n＞N，?m＞0，使，取T=max{ T1，tN}，記T0=min{ t≥T，x（t）=0}，反設x（t）無界，則存在c＞T0，使t≤T0時，，不妨設x（c+）＞0，用引理2中同樣的方法得

若x（c）為x（t）的左極大值，則x（c）＞0，x′（c）≥0，從而存在ξ∈（c-τ，c），使x（ξ）=0，對（9）從ξ到c積分得，若x（c）不是x（t）的左極大值，若x（tk+l）不是x（t）的左極大值，不妨設

用引理（2）的方法可得x（c）≤a（1+ε）x（c+）.另一方面用引理（2）中方法可得，x（c）≤a（1+ε）2x（c+），若x（c）=x（c+），綜上有a（1+ε）≥1或a（1+ε）2≥1，均矛盾，故x（t）有界。

這樣令lim supx（t）=v，lim infx（t）=u，-∞＜u≤0≤v＜+∞，同樣可得（14），（16），所以有

令i→∞，ε→0，得v≤-au，u≤-av，于是v≤-a2u.若v≠0，則a2≥1，矛盾，故v＝0，從而u＝0，所以

下面定理也可以得出一樣的結論：定理3假設（2）成立，且有

則方程（1）的每個非振動解都趨于零。

定理4假設（2）成立，且有

則方程（1）的每個非振動解都趨于零。

[1]劉玉記.具有脈沖的時滯微分方程的全局吸引性[J].應用數學，2001，14（3）:13-18.

[2]李邁龍.一類脈沖時滯微分方程的全局吸引性[J].湖南理工學院學報（自然科學版），2003，16（3）:7～16.

[3]燕居讓.非線性脈沖時滯微分方程的全局吸引性[J].山西大學學報（自然科學版），2007，30（2）:129～132.

[4]陳凱，周立新.一類脈沖時滯微分方程的全局吸引性[J].桂林航天工業高等專科學校學報，2005，38（2）:56～57.

[5]侯淑軒，楊殿武.一次時滯微分方程零解的全局吸引性[J].山東建筑工程學院學報，2004（4）:62～64.

[6]Chen Fengde,Chen Xiaoxing,Lin Faxin.Positive periodic solutions of state-dependent delay Logarithm population model[J].Jounral of Fuzhou University，2003，31（3）:1-4.

[7]陳鳳德，陳曉星，林發興，史金麟.狀態依賴時滯單種群對數模型的正周期[J].福州大學學報自然科學版，2003，31（3）:261-264.

[8]Yoneyama T.On thestability theorem for one dimension delay differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.1987，125:161～173.

Abstract:In this article,we discuss the global attractivity of differential equations with impulses and delays,and some results are derived.

Key words:differential equations；delay；impulse；global attractivity

責任編輯：宏彬

THE GLOBAL ATTRACTIVITY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES AND DELAYS

CHEN Pan-feng
（Department of computer SuzhouCollege,SuzhouAnhui234000）

O175

A

1672－2868（2010）03－0016－07

2010－02-25

安徽省教育廳項目（項目編號：KJ2009B279Z），宿州學院2008年校級教學研究項目（項目編號：szxyjy200802）。

陳攀峰（1977-），女，安徽宿州人。碩士，講師，研究方向：泛函分析。