淺論距離空間的距離函數與誘導距離函數的關系

陳淼超

（1東南大學數學系，江蘇南京211189）

（2巢湖學院數學系，安徽巢湖238000）

淺論距離空間的距離函數與誘導距離函數的關系

陳淼超1，2

（1東南大學數學系，江蘇南京211189）

（2巢湖學院數學系，安徽巢湖238000）

本文主要研究的是距離空間的距離函數何有到距離函數的關系，文中給出了分割，分割的加密，可求長曲線以及曲線長度的定義及其相關性質，并對這些性質予以了證明。仿照黎曼幾何的做法，通過距離空間的距離函數給出了距離空間的誘導距離函數的概念，并證明了在距離空間中，兩點間的誘導距離不小于這兩點的距離。

距離空間；加密；距離函數；誘導距離函數

1 引言

距離空間是歐幾里得空間的推廣，被稱為最基本最重要的抽象空間。距離空間的概念起源于德國數學家G.康托爾創立的集合論，由法國數學家弗雷歇爾于1906年首先給出定義的。1914年豪斯多夫在距離空間的理論方面增添了許多成果，特別是證明了每一個距離空間能夠并且只能夠按一種方式擴展成一個完全的距離空間。1925年，原蘇聯數學家烏雷松在他去世后發表的論文中證明了每一個可分離的距離空間同胚于希爾伯特放團體的一個子集等重要結果，此后距離空間理論隨著拓撲學的發展而相繼前進，其中，拓撲空間的距離化問題是一個比較重要的問題，20世紀50年代日本，原蘇聯，美國數學家獲得一系列重要結果，得到拓撲空間可距離化的充要條件。

2 具體模型

在二維歐式空間中，根據兩點間距離公式以及平面曲線弧長公式，我們就可以對一些曲線求出長度。在黎曼幾何中，考慮平面上給定了一個區域Ω，若給了一個度量函數ρ，就可以定義關于區域Ω中的點，在度量ρ下的距離函數dρ。仿照黎曼幾何的做法，設X為一個距離空間，ρ為X的一個距離函數，?P，Q∈X，令ΓX（P，Q）為X中中連接P與Q的所有可求長連續曲線的集合，這里γ（α）=P， γ（β）＝Q，我們定義P與Q的誘導距離函為：dρ（P，Q）＝inf這樣，我們就給出了一個新的距離函數dρ（P，Q），我們稱它為誘導距離函數。

定義1設分割T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，T*∶α=s0＜s1＜…＜sm=β.令A（T）＝{ti}，A（T*）＝{sj}，若A（T）?A（T*），則稱T*為T的加密。

定理1已知在距離空間（X，d）中，γ（t）∶[α，β]→X。為[α，β]到X的連續映射，也就是說γ（t）表示一條連續曲線。我們對[α，β]做分割T，設LT為分割T，下的近似長度，再將T加密得到新的分割T*，設為曲線在T*分割下的近似長度。

證明：設分割T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，分割后，對應曲線上的點Pi=r（ti），P0，P1，…Pn∈X，那么就得到.因此，如果將原分割加密一個點s得到一個新的分割T1∶α=t0＜t1＜…＜tj＜s＜tj+1＜…＜tn-1＜tn=β，其中s對應曲線上的點為Q，則

定理2設（X，ρ）為一個距離空間，γ（t）∶[α，β]→X.為一連續曲線，LT為曲線在分割T下的近似曲線長度，則γ為可求長曲線，并且lρ（γ）=l的充要條件為：l＜+∞.

證明：ⅰ）設lρ（γ）=l證明：

由曲線長度的定義知，?ε＞0，?δ＞0，?T*，λT*＜δ有l-ε＜LT*＜l＋ε，由此可得

另一方面，由定理1，?T，可做T*，為T的加密且使λT*＜δ.

所以LT≤LT*≤l＋ε，由此可得

?ε＞0。由上確界的定義知，?T*，使得

設T*∶α=s0＜s1＜…＜sm=β，令

又因γ連續，對于T的分點sk.以及?δk＞0，對?t∈（sk－δk，sk＋δk）.

對T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，令λT=當λ＜δ時，

記T**={s0，s1，…，sm}∪{t0，t1，…，tm}，trk-1≤sk≤trk，k=1，2，…，m.

T**是T的加密，同時也是T*的加密。則由定理1有：

在黎曼幾何中誘導距離函數的定義：設Ω?C為一個區域，ρ為Ω上的一個度量，?P，Q，ΓX（P，Q）為Ω中連接P與Q的所有逐段光滑曲線的集合，這里γ（0）＝P，γ（1）＝Q我們定義P與Q在度量ρ下的距離為：dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ）∶γ∈ΓD（P，Q）}.在這里我們作假定，任意兩點間都可以用可求長的線連接。仿照黎曼幾何來定義距離空間中的誘導距離函數。

定義2誘導距離函數

設X為一個距離空間，ρ為X的一個距離函數，?P，Q∈X，令ΓX（P，Q）為X中中連接P與Q的所有可求長連續曲線的集合，這里γ（α）=P，γ（β）=Q，我們定義P與Q的誘導距離函為：dρ（P，Q）=inf {lρ（γ）∶γ∈ΓX（P，Q）}.這樣，我們就給出了一個新的距離函數dρ（P，Q），我們稱它為誘導距離函數。

定理3（X，dρ）是距離空間。

證明：①dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ）}，設LT為lρ（γ）在分割T下的近似曲線長度，則有：

綜上所述，在當前新教育背景下，如果想要做好班主任的教育及管理工作，僅僅依靠上述內容還不夠。班主任還應當認清教育形式，充分了解班級學生的思想及心理，提高人格素質修養，為學生充分做好表率作用。班主任應當明確，身為一名教育工作者，不僅需要傳授學生們理論知識內容，還應當教會學生們如何樹立起正確的人生價值觀。唯有如此，班主任才能真正提高自己的管理水平及教育能力，從而更好地為班級學生開展教育管理工作，從而促使學生們真正做到全面健康的發展。

②由lρ（γ）＝sup{LT}＝sup

可知dρ（P，Q）＝dρ（Q，P）.

③由dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ}），知：?ε＞0，?γ*使lρ（γ*）＜dρ（P，Q）+ε，

則對?P，Q，R∈X，有dρ（P，Q）≤lρ（γ1，γ2）=lρ（γ1）＋lρ（γ2）≤dρ（P，R）+dρ（R，Q）=2ε.

由ε的任意性知：dρ（P，Q）≤dρ（P，R）+≤dρ（R，Q）

由①②③知（X，dρ）是距離空間。

定理4設（X，ρ）為距離空間，dρ為X上的誘導距離函數，對?P，Q∈X，則在距離空間（X，ρ）中，有：dρ（P，Q）≥ρ（P，Q）.

證明：在X中任給一條連接P，Q的可求長的連續曲線γ.

所以lρ（γ*）=sup{LT}≥Lρ（pi，pi+1），

又因為dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ}），所以對?ε＞0，?γ*，使lρ（γ*）

所以dρ（P，Q）＋ε＞ρ（P，Q）.

由ε的任意性知：dρ（P，Q）＞ρ（P，Q）.證畢。

[1]劉炳初.泛函分析[M].北京：科學出版社，1998.

[2]陳景良.近代分析數學概要[M].北京：清華大學出版社，1987.

[3][美]陳熙駒，斯廷路德.拓撲學的首要概念[M].將守方，江澤涵譯.上海：上海科學技術出版社，1984.

[4]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[5]焦寶聰，王安，王燕生.復變函數[M].北京：科學出版社，2000.

Abstract:This paper mainly studies the relation of metric function and reduced metric functionin in metric space.This paper defines the concept and characteristic of partition,densification partition,rectifiable curve and curve length.Ulteriorly,the paper proves these characteristic.Imitating Riemannian geometry,the paper defines reduced metric in metric space via metric function in metric space.Finally,the paper prove reduced distance is not less than distance between two points in metric space.

Key words:metric；space densification；metric function；reduced metric function

責任編輯：宏彬

SHALLOWLY DISCUSSION ON THE RELATION OF METRIC FUNCTION AND REDUCED METRIC FUNCTION IN METRIC SPACE

CHEN Miao-chao1,2
（1 Department of mathematics,Southeast University,Nanjing Jiangsu 211189）
（2 Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000）

O177

A

1672－2868（2010）03－0028－03

2010-03-05

陳淼超（1981-），男，湖北黃梅人。東南大學數學系在讀碩士，研究方向：微分方程。