巧用換元法解函數(shù)方程

泰興市第一高級(jí)中學(xué) 丁 鈞

巧用換元法解函數(shù)方程

泰興市第一高級(jí)中學(xué) 丁 鈞

函數(shù)思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩大支柱之一。函數(shù)的本質(zhì)是數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一根主線。函數(shù)的思想就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，從而使問題獲得解決。

函數(shù)方程 換元法 數(shù)學(xué)

無論是初等數(shù)學(xué)或是高等數(shù)學(xué)中方程都占有重要的地位，在古代數(shù)學(xué)中，方程一直處于中心地位。現(xiàn)在，方程與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合問題，也是每年高考、奧林匹克競(jìng)賽的一個(gè)重要考點(diǎn)。圍繞方程問題，結(jié)合函數(shù)的思想，設(shè)計(jì)的一些新穎的題目，更有效地考察了學(xué)生綜合與靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解程度。

對(duì)于一般的方程問題，常用常規(guī)方法進(jìn)行求解，而對(duì)于一些特殊的代數(shù)方程用常規(guī)方法求解往往難以奏效，若能針對(duì)方程的特點(diǎn)，巧妙地運(yùn)用換元代換，?？苫y為易、化繁為簡(jiǎn)，找到解題的捷徑。解特殊方程常用的方法有：觀察法、配方法、換元法、巧用韋達(dá)定理等。然而有些方程又不是用以上方法所能求解的，此時(shí)，可用換元的思想求解。

方程與函數(shù)的關(guān)系密切，函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，可見，函數(shù)與方程是可以轉(zhuǎn)化的，而且這種轉(zhuǎn)化在解方程中起著非常重要的作用，下面介紹幾道運(yùn)用換元思想解方程的典型例子。經(jīng)檢驗(yàn)上述f（x）是原方程的解.

說明：將函數(shù)方程中的變量進(jìn)行適當(dāng)變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的代數(shù)方程組，解此代數(shù)方程組后，得出原函數(shù)方程解，我們常稱這一解題思路為換元法.由于代換后的函數(shù)未必與原函數(shù)方程等價(jià)，所以，應(yīng)當(dāng)將所得解代入原函數(shù)方程檢驗(yàn).

說明：利用一次換元，出現(xiàn)了新的函數(shù)形式，此時(shí)無法通過消元求出所求函數(shù).可考慮再進(jìn)行一次換元，使得出現(xiàn)的函數(shù)形式個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)一致，從而可根據(jù)方程組的解法解出所求函數(shù).

例3 解函數(shù)方程f( x+y)+f( x-y)=2f( x)cos y. ①

基本思路：二元為一元，取值轉(zhuǎn)化.

解：已知函數(shù)方程中出現(xiàn)兩個(gè)獨(dú)立的變量x、y，不妨設(shè)其中一個(gè)變量為常量.

運(yùn)用換元思想解方程的關(guān)鍵是針對(duì)所要解決的具體問題，根據(jù)題目的具體形式選準(zhǔn)換元的方法，使問題獲得妙解。總之，通過換元把某些非常規(guī)的方程問題轉(zhuǎn)化，將能達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。

80河南科技2010.4下

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