彈簧擺的內共振特性分析

鄭建龍 虞獻文(浙江師范大學數理與信息工程學院,浙江金華 321004)

彈簧擺的內共振特性分析

鄭建龍 虞獻文(浙江師范大學數理與信息工程學院,浙江金華 321004)

首先提出了一種彈簧擺模型,通過諧波平衡法對彈簧擺的內共振現象進行了解析處理,得到了彈簧擺內共振條件以及X、Z兩模態能量之間的轉換關系.再利用數值模擬得到彈簧擺內共振時的時序圖、相圖、軌跡圖、能量圖以及內共振耦合區域圖等,分析表明,解析和數值模擬的結果與實驗結果吻合一致.

彈簧擺;非線性振動;內共振;諧波平衡法

彈簧擺的運動情形與恢復力帶平方非線性系統相關[1],是工程中較典型的非線性運動之一.它與電子回旋加速器的振動、船舶的運動、旋轉軸的運動等有聯系.在鉛直平面內運動的彈簧擺可看成兩個自由度的振動系統,有兩個固有頻率,當滿足內共振條件時,兩個振動模態強烈地耦合,發生一種振動激發另一種振動的內共振現象.在不計阻力的條件下,系統的能量在兩種振動模態之間不斷地變換而不衰減,振幅和相位周期性變化.關于彈簧擺的動力學行為在數值分析和實驗等方面分別已有一些研究[2～6],但在理論方面討論很少,在數值分析方面也沒有作詳細討論.本文從系統的勢能出發,根據拉格朗日公式推得彈簧擺的耦合振動方程,再采用諧波平衡法得出彈簧擺內共振條件和兩模態能量之間的轉換關系,最后利用數值模擬得到彈簧擺內共振時的振動位移圖、相圖、軌跡圖、能量圖以及內共振區域圖等,并通過位移圖、相圖、軌跡圖和能量圖等比較全面地分析彈簧擺內共振的特點,得出了與文獻[3]相同的結果.

1 彈簧擺系統內共振的理論分析

1.1 彈簧擺系統的振動模型

在彈簧下面掛一小球,小球的質量為m,可看成質點,彈簧的質量相對于小球可忽略不計,便組成了一個彈簧擺系統.圖1為彈簧擺示意圖及相關坐標的定義.O點為擺球的平衡位置.

圖1 彈簧擺示意圖及相關坐標的定義

彈簧擺系統的勢能為

其中,k為彈簧的勁度系數;m為擺球的質量;l0為彈簧的原長,根據拉格朗日公式[7],由式(1)至式(3)得系統的動力學方程為

1.2 彈簧擺系統的內共振條件

為了利用諧波平衡法[8～10]推出彈簧擺系統的內共振條件,先令(6)和(7)兩式右邊分別等于零,系統的 x和z兩個振動分別是角頻率為ωp、ωs的簡諧振動,運動方程為

再將簡諧振動形式式(8)代入式(6),得

化簡后得

從式(9)可知,式(6)右邊可展開為角頻率分別為ωs+ωp和ωs-ωp兩個驅動力的線性疊加,其中前者遠離共振條件,可忽略不計.當后者的角頻率ωs-ωp與x振動模態的角頻率ωp相等時,產生共振現象,即

同理,將簡諧振動形式式(8)代入式(7),得

化簡后得

從式(11)又可知,當 x2的角頻率與 z振動模態的角頻率相等時產生共振現象,即 x方向的振動會激發z方向的振動,同樣可得到式(10).這樣,系統的兩個模態強烈耦合,出現內共振現象.因此式(10)為彈簧擺內共振條件.

1.3 彈簧擺系統內共振兩模態之間的能量關系

由于(6)和(7)兩式右邊的驅動力較弱,因此,兩個振動的振幅和相位變化可視為隨時間的慢變量.這樣,在考慮彈簧擺內共振條件下,可將(6)和(7)兩式的解分別寫成如下形式

再將(12)和(13)兩式分別代入(6)和(7)兩式,根據諧波平衡法,利用兩方程兩邊的 sin(ωpt+φ),cos(ωpt+φ),sin(2ωpt+ψ)和cos(2ωpt+ψ)項的系數相等,可得關于 A,B,φ,和ψ的微分方程組其中,M0為與系統初始能量成正比的常量.式(18)為彈簧擺系統內共振兩模態之間的能量關系,說明彈簧的伸縮和擺動均有界,而且兩種運動的幅值交替增減,能量不斷在兩種振動形式之間轉換.

2 彈簧擺系統內共振特性的數值模擬

為了數值求解彈簧擺的非線性動力學系統式(6) 和式 (7),先引入變量 y1=x,y2=x·,y3=z,y4=z·,再代入系統式(6)和式(7)并進行降階處理,得到

其中,y1,y2,y3,y4是系統動力學參量;ωp,ωs,l0,Z是系統參數 ;表示對 t的導數.

利用高階 Runge-Kutta方法[11]求解降階的非線性動力學系統式(19)得出數值解,從而研究彈簧擺系統內共振特性.為了檢驗解析和數值模擬結果的正確性,我們選取文獻[3]中的實驗數據m=0.048kg,k=2.31N/m,z0=0.82m,g=9.81N/m2作為研究參數,由這些參數可得系統參數ωp=3.46rad/s,ωs=6.89rad/s,滿足內共振條件.再選取兩種不同的擺球初始條件 x0=0.141m,z0=0.109m與x0=0.141m,z0=0.051m來考察彈簧擺位移、相圖、軌跡和能量的關系,并給出了彈簧擺系統內共振耦合發生的區域.

由圖2可知,無論是彈簧擺作小角度擺動(如圖2(a)所示),還是作大角度擺動(如圖2(b)所示)都有倍頻關系的內共振現象,這與上述理論討論結果式(10)一致.但唯有作小角度擺動,才有系統的兩個模態強烈耦合的情形.該結果與文獻[3]中的實驗結果相吻合.這也說明存在彈簧擺系統的兩個模態耦合的臨界狀態.從圖3可以看出,根據相平面理論,彈簧擺作大小角度擺動的內共振解都是穩定的.而從圖4又可知,彈簧擺作大小角度擺動的伸縮和擺動均有界.這與文獻[3]中的實驗結果一致.

圖5中的左圖和中圖分別為在初始條件x0=0.141m,z0=0.109m下 X、Z兩模態內共振的能量隨時間的變化曲線,右圖為彈簧擺系統內共振總能量.從能量圖上可以看出,彈簧擺系統內共振時,能量在兩模態間轉換,并且保持總能量不變.這與上述理論討論結果式(18)一致.

最后通過大量的數值模擬,我們得出了彈簧擺系統內共振耦合發生的區域圖,如圖6所示,這為討論與恢復力帶平方非線性系統的內共振耦合現象的實驗研究提供了一定的理論依據.

3 結論

本文通過建立一種彈簧擺系統模型,分別用解析和數值模擬的方法分析了彈簧擺系統的內共振現象.結果表明,應用諧波平衡法解析處理彈簧擺系統的非線性內共振問題有效.不僅解釋了實驗結果,而且還得到了數值模擬的證實.這將為討論諸如電子回旋加速器的振動、船舶的運動、旋轉軸的運動等與恢復力帶平方非線性系統有聯系的內共振問題提供參考.

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ANALYSISOF THE AUTOPARAM ETRIC RESONANCE OF A SPRING PENDULUM

Zheng Jianlong Yu Xianwen
(College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua,Zhejiang 321004)

In this paper,w e have put fo rward a sort of sp ring pendulum model.Through the harmonic balance method,the autoparametric resonance of the sp ring pendulum has been analytically p rocessed.The condition of the autoparametric resonance of the sp ring pendulum has been obtained,and the transform relationship between X and Z models has been discussed. Moreover, the graphs of disp lacement,phase, trajectory,energy and autoparametric resonance area have been numerically obtained.Analyses indicate that the results obtained here agree w ell w ith the experimental results.

sp ring pendulum;nonlinear vibration;autoparametric resonance;harmonic balance method

2009-04-16;

2009-09-21)

浙江省科技計劃項目(2008C31013);金華市科技項目(2006-1-017).