關于“降階和升階”思想在代數中的應用

鄭 津

(湛江教育學院 數學系，廣東 湛江 524037)

關于“降階和升階”思想在代數中的應用

鄭 津

(湛江教育學院 數學系，廣東 湛江 524037)

我國傳統的教學實踐總結出基礎知識、基本技能和基本方法的“三基”的教學模式，這種教學模式為造就千千萬萬優秀的服務型人才做出了的貢獻。為了適應新世紀知識經濟發展的需要，新的數學教學模式除了必須繼承“三基”優良傳統外，還要培養學生的基本思維和基本能力，從而為造就創新型人才服務。文章針對這個問題，結合高等代數教學內容，給出了一系列“降階和升階”的教學方法及其應用，促進了學生創造思維和創新能力的培養，從而達到提高學生數學能力的目的。

降階和升階；教學模式；高等代數教學

一 在處理行列式問題的應用

計算高階行列式是件十分復雜而困難的事情，人們在研究各種各樣的解法時，都運用了降階的思想，其實，降階的思想非常之簡單，就是將高階行列式，根據性質，化為比它低階的行列式，從而簡化計算。在一般教科書中都有介紹的“行列式按一行（列）展開“和Lapluce定理”等內容，都可以把行列式降階，在計算行列式中經常用到的“將原行列式化成上（下）三角形行列式”和“找遞推關系式以求原行列式”等方法，實際上都是降階的思想方法。下面以一例說明其思想的應用。

例1：計算n階行列式n?

解：把行列式按第一行展開得兩個行列式，第二個行列式再按第一列展開數到：

由此得：?n- α?n-1= β (?n-1- α ?n-2)

由這式可以遞推得到：

為了消去?n-1，上式兩邊同時除以αn，再用遞推式得：

從上例可以看到，解決問題的關鍵是：把n階行列式△n降階，且尋找遞推關系式。

例2 利用準范德蒙行列式計算公式求行列式的值[3]

若E是k(k＞1)階單位矩陣，A（ii=1,2,3…n）為n個k階方陣,且兩兩可交換(即對任意的 Ai,Aj,有Ai A j=Aj A i ,i,j=1,2,3…n),

則這樣的行列式被稱為準范德蒙行列式:

公式 1 若行列式D滿足D為準行列式,

由于這樣的行列式形式較特殊也比較固定，因此直接利用準范德蒙行列式公式（公式 1），達到降階的目的，從而簡化了計算。

雖然降階的思想在計算行列式中經常用到，但有些題目需要用升階的思想，即是對某些行列式來說需要將它的階數放大，使升階后的行列式易于計算，從而求出原行列式。

例3 計算n階行列式：

解：這行列式與范德蒙行列式非常相象，若在第n-1行與第n行間添加一行，再在第n+1列處添加一列

雖然有些行列式可以應用升階的方法，但一般說來，這種方法不易掌握，因此，在解決行列式問題時，只有在用其他方法比較難，而又明顯地可應用“升階法”（如上例2）時才考慮用此法。

近年來，有些專著介紹了下面兩個降階公式，對于我們處理行列式問題有極其廣泛的應用。

例4：計算：

解：

證明：由公式2:

從上面兩例可以看到，兩公式給我們解題帶來了很大的方便。

二 在矩陣論中的應用

“降階”在矩陣應用中的思想也很簡單，就是將高階矩陣問題化為低階矩陣問題來處理，要實現這一思想可以將原矩陣M運用若干次初等變換化為“分塊上（或下）三角陣”再由低階矩陣A、B、C按問題的要求來處理。

由于矩陣的復雜性，與行列式一樣，有時反而把矩陣作適當的“升階”、對“升階”后的矩陣進行處理，從而達到解決矩陣問題的目的。

解：把矩陣A“擴大”再對新矩陣施行行的初等變換，如下：

三 “降階”的思想在求矩陣的秩中的應用

下面的兩個公式可以把求高階矩陣的秩的問題，化為低階矩陣的秩的問題，從而簡化計算，公式4：設A是m×n階陣，的可逆順序主子陣，則

公式5：設A與D分別是r與S階可逆陣，B與C分別是r×s與s×r階矩陣，則：

這兩個公式通常稱為的矩陣的“降階”公式，它們與公式1、公式2一樣，也有廣泛的應用。例8，求下列矩陣A的秩，其中：

解：交換A的第2、3兩行（其秩不變），由公式3可得：

證明：設秩（A）=r、A=HL.其中H與L分別為n×r階列滿秩陣，與r×n階行滿秩陣，則由公式4：

∴A是冪等陣。

四 在線性變換中的應用

“降階”地思想在線性變換中的運用，主要體現在特征多項式的內容中，容易證得下面的特征多項式的“降階”公式。公式6：設A,B分別是m×n與n×m階陣，m≥n，則

例10，設A,B是n階可逆陣，α與β是n維非零列向量，證明

證:由行列式乘法規則以及公式5，有

綜上所述，我們看到“降階和升階”的思想雖然非常之簡單，但它在代數中的運用甚廣，如果運用得恰當，對我們解決問題將有很大的方便。

[1]施開良,姚天揚,俞慶森.培養創新型人才要有新思路[J].中國高等教育,2003,(17).

[2]Yubin Zhong, The Thought of Fuzzy Mathematics Modeling is infiltrated in HSMT[J].Advance in Intelligent Soft Computer, 2009,54(2).

[3]齊登記.準Vandermonde行列式[J].合肥工業大學學報,2006，vol29(2).

[4]屠伯塤.線性代數——方法導行[M].上海:復旦大學出版社,1986.

[5]北京大學代數幾何與力學教研室.高等代數[M].北京:人民教育出版社,1978.

[6]張禾瑞,郝炳新.高等代數[M].北京:高等教育出版社,1980.

（責任編校：燕廉奚）

O15

A

1673-2219（2010）08-0005-07

2010－03－01

鄭津（1957－），女，廣東陽江人，湛江教育學院數學系講師，從事基礎數學研究。