思維品質數字化的個案研究

田果萍，崔克忍

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009；2.山西師范大學數學與計算機科學學院，山西臨汾 041004）

思維品質數字化的個案研究

田果萍，崔克忍

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009；2.山西師范大學數學與計算機科學學院，山西臨汾 041004）

對思維能力的訓練突出地體現在數學的教學中，思維品質是衡量個體思維能力的重要指標，文章在思維品質數字化理論模式的構建之上，旨在通過例子展示出思維品質數字化的具體的操作流程.

思維品質 數字化 流程

思維是“智力與能力的核心”[1]，“思維品質是思維能力強弱的反映”，“培養思維品質是發展智力、能力的突破口，是提高教育質量的好途徑”[2]，尤其是數學教學，“數學思維的價值在于培養良好的思維品質，這是大家公認的”[3].而以往關于思維品質方面的文獻，大多或側重于數學課堂教學的培養策略的視閾，“你想要講的，盡量啟發、誘導學生去思索，用學生的口說出你想要說的話，有時學生也能說出教師料想不到的新見解。通過師生之間的信息交換，使學生的思維品質得到培養”[4]、“數學教材中有著豐富的培養學生思維能力的素材和方法，選擇其中的有關例題、習題，引導學生觀察、分析其特點，然后精心設置教學程序，展現結論形成的過程，讓學生充分參與，積極探索，他們的抽象以至歸納等思維能力即可得以較好的發展”[5]；或者對思維品質的教育意義討論的居多，如“思維品質是數學素質不可或缺的內容”[6]，而基于從數學函數的觀點來量化思維品質，除了孟凱韜教授之外，未見他人有相關的研究，本文基于作者對思維品質數字化理論模式構建[7]的基礎上，旨在通過具體的例子展示出思維品質數字化的操作流程.

1 解題過程及其思維網絡圖

下面以高中數學數列中的一道題為例來說明具體操作步驟.

題目 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且an是Sn與2的等差中項；數列｛bn｝中，b1＝1，點p（bn， bn）在直線x-y＋2＝0上，其中n∈N*.

（1）求數列｛an｝與｛bn｝的通項公式；

（2）設數列｛bn｝的前n項和為Bn，試比較1／B1＋1／B2＋…＋1／Bn與2的大小；

（3）設Tn＝b1／a1＋b2／a2＋bn／an，若Tn?c，c∈Z，求c的最小值.

某同學的解題步驟是：

（1）由題意可得an＝（Sn＋2）／2，從而

Sn＝2an－2.

當n＝1時，

a1＝（S1＋2）／2? a1＝2，

當n≠1時，

an＝Sn－Sn-1＝2an－2－（2an-1－2）＝2an－2an-1，

所以，an＝2an-1，從而an／an－1＝2.故數列｛an｝是首項為2，公比為2的等比數列且

an＝a1·qn－1＝2n.

數列｛bn｝中，由題意可得

bn－bn+1＋2＝0，

即

bn+1－bn＝2，

所以｛bn｝是首項為1，公差為2的等差數列，且

故Tn＜3（n→∞）.

又c∈Z，故cmin＝3.

其思維網絡圖如圖1.

圖1 思維網絡圖

圖1中各元素所代表的意義：

①an是Sn與2的等差中項；

②2an＝Sn+2；

③Sn＝2an-2；

④當n＝1時a1＝2；

⑤利用an＝Sn-Sn-1；

⑥利用n的意義；

⑦ an＝2an-1；

⑧利用公式an＝a1·qn-1；

⑨an＝2n；

⑩已知p（bn，bn）在直線x-y+2＝0上；

（11）bn-bn+1+2＝0；

（12）bn+1-bn＝2；

（13）已知b1＝1；

（14）利用公式bn＝b1+（n-1）d；

（15）bn＝2n-1；

（16）Bn＝n2；

（17）當n＝1時B1＝1＜2；

（18）當n≠1時；

（19）利用放縮法；

（20）∑1／Bi＜2；

（21）得出結論；∑1／Bi＜2；

（22）Tn表達式；

（23）1／2 表達式①；

（25）對Tn求極限；

（26）Tn＜3；

（27）c∈Z；

（28）得出結論cmin＝3.

2 各項思維品質的值

2.1 思維創新性

根據提供的信息知t＝15min；

1）為方便起見，不妨以一個信息加工過程中的終點思維元素來代表一個思維環節，則所有思維環節如下：

②③④⑦⑨（11）（12）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）（25）（26）（28）共19個，所以

2）tc（v）＝19÷15＝1.2667；

3）本題得以正確解決，雖然與每一個思維環節均有關系，缺一不可，但起關鍵作用的，能保證思維過程得以流暢的思維環節（仍然以每個思維環節的終點元素來表示）有：

②③④⑦⑨（12）（15）（16）（20）（22）（23）（24）（25）（26）（28），

也就是說這些思維環節產生了積極的效果，對于中學生來講我們認為凡憑借自己的頭腦所獲得的一切知識都是具有發現意義的，是具有創造性的.因此，思維鏈中所含創造性思維環節的個數為15個，即

ootc（x-f-y）＝15；

4）citc（x-f-y）＝15÷19＝0.7895；

5）eftc（x-f-y）＝15÷192＝0.0416；

6）actc（x－f－y）＝0.5eftc（x－f－y）＋0.5tc（v）＝0.6541.

2.2 思維的新穎度

7）本題得以順利完成既有賴于嚴謹的邏輯思維，又得力于能夠展開豐富的聯想.從思維網絡圖中可以看到有些想法比較新奇，其新奇程度可根據如下的評分規則評定出每個思維環節的新穎度.評分規則如下：

（1）由已知能夠直接導出明顯的關系得0.1分；

（2）根據提示語能夠導出正確的式子得0.2分；

（3）計算或推導準確的得分0.3分；

（4）能夠準確寫出所需公式的得0.4分；

（5）能夠抓住公式各字母的本質含義或能夠靈活運用公式變形的得0.5分；

lotc（x－f－y）＝19；

（6）為達到一個目標能夠挖掘出所需隱含條件的得0.6分；

（7）能夠全面討論問題各種情況的得0.7分；

（8）能夠聯想出已知元素之間關系的得0.8分；

（9）能夠構造出一個鋪墊的得0.9分；

（10）能夠聯想出一個恰當且簡便方法的得1分.

按照上面的評分規則，每個思維環節的新穎度分別為

0.2 ，0.3 ，0.5，0.8，0.6，0.1，0.3，0.6，0.3，0.7，0.7，1，0.3，0.3，1，0.3，1，0.3，0.3，

所以其新穎度

2.3 思維的廣度

圖2 系統套圖

9）根據該同學的思維視野所涉及的范圍，可以構造一個如圖所示的系統套：圖2從圖中可以看到該系統套的相關p＝7各級跨度依次為1，2，2，4，9，9，9，從而其跨度積

令m＝2，n＝5得思維廣度為

2.4 思維的靈活度

10）以各個思維元素為橫坐標，各個元素所屬的級為總坐標建立如下直角坐標系：圖3.

圖3 ：系統套的直角坐標系

由上圖及拐點定義可知思維鏈的拐點；

11）令m＝3，n＝2得到該同學的思維靈活性

2.5 思維的深刻性

12）另外，從圖3中還可以看到：

其中D1為“等差中項”與“點與直線的關系”的相對距離.

其中D2為“等差中項”與“等比數列概念”的相對距離.

從而該同學的思維深度為

3 思維品質函數的值

13）最后，令

所以，思維品質向量為

（5，0.5511，0.6542，0.3989，0.6541），

將其以矩陣形式輸入后，應用[4]中的計算程序即可得到該同學相應的思維品質函數值為

[1]林崇德.學習與發展-中小學心理能力發展與培養[M].北京:北京師范大學出版社,1999.

[2]胡衛平.科學思維培育學[M].北京:科學出版社,2004.

[3]張奠宙,李士琦,李俊.數學教育學導論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]郝秀清.關于目前中專數學教學的現狀及改革設想[J].北京師范學院學報,2001,17(2):43-44.

[5]王苗珍,楊清華.探討例題習題規律[J].重視思維能力培養[J].雁北師范學院學報,2001,17(2):55-56.

[6]張計珍.數學教學中素質的培養[J].雁北師范學院學報,2004,20(2):83-84.

[7]田果萍.思維品質數字化的理論建構[J].山西師范大學學報:自然科學版,2008,24(2):21-23.

An Examp le for Digitalization of Thinking Quality

TIAN Guo－ping，CUIKe－ren
（1.School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009；2.School ofMathematics and Computer Science，ShanxiNormal University，Linfen Shanxi，041004）

Thinking is trained mostly in themathematics instruction.Thinking quality is treated as one of its value item.Basing on its theoreticalmodel，and by a concrete example，the operation process of the digitalization of thinking quality is displayed.

thinking quality；digitalization；process

G420

A

〔編輯 高海〕

1674－0874（2010）02－0018－04

2009－11－03

田果萍（1975－），女，山西朔州人，碩士，講師，研究方向：數學課程與教學論.