Thomas-Fermi方程的特征分析與數值求解

楊秀德，吳 波，2

（1.遵義師范學院物理系，貴州遵義563002；2.西南大學物理科學與技術學院，重慶410075）

Thomas-Fermi方程的特征分析與數值求解

楊秀德1，吳 波1，2

（1.遵義師范學院物理系，貴州遵義563002；2.西南大學物理科學與技術學院，重慶410075）

Thomas-Fermi方程在處理核——電近似模型中占有非常重要的地位，但就方程而言，方程是非線性的，精確求解非常困難。作者通過一個簡單的實例導出方程，分析了方程的具體特征,提出了一種方程有效的數值求解方法。

Thomas-Fermi方程；非線性微分方程；阿貝爾方程

在過去的幾十年中，隨著量子力學的建立，將量子力學應用到各領域成為關鍵問題，尤其在微觀世界的認識方面更是熱點。在處理微觀原子世界的過程中，核——電構成的原子模型是大家關注的問題，除了少數簡單體系可以精確求解以外，更多需要提出近似模型來處理多電子體系的微觀世界。這其中一個成功的例子就是Thomas-Fermi—Dirac模型，雖然這個模型還很粗糙[1],但是在處理原子內部相關作用等問題上仍有許多值得利用的地方[2]。另外對此模型的討論涉及到一個非線性微分方程——Thomas—Fermi方程，精確求解這個方程是非常困難的，因此許多人利用不同的方式進行近似求解[3，4]。本文從一個簡單模型出發導出這個方程，分析了方程的特征和利用MATLAB系統進行數值求解，供大家參考。

1 模型的建立

在二體散射理論中，發生“碰撞”的兩個粒子之間存在著相互作用勢，如圖1所示。若設這樣的相互作用勢為，引入折合質量μ=m1m2/（m1+m2）、相對位矢為相對速度為，根據牛頓運動定律，可以寫出約化單體運動方程：

建立極坐標，根據能量守恒和角動量守恒定律，分析得出：

其中，Ec為質點系質心動能，P稱碰撞參數。若采用庫侖勢（這里討論斥力情況）來描述它們之間的相互作用，根據（1）式則有：

其中Z1、Z2、Ec均為已知。由于P是隨機變化的，（2）式難于求解，但可以用近似理論去分析。若核外電子視為有一定密度的電子氣，考慮核外電子云對裸庫侖勢的屏蔽作用，用一種建立在量子統計方法之上的Thomas-Fermi（TF）方法進行描述，最終可以得到Thomas-Fermi方程

其中x=r/aTF，aTF為屏蔽長度，Φ(x)滿足Φ(x)，且滿足以下定解條件：

2 方程的特征分析

由于方程是非線性的，求解較為復雜，一般都使用近似求解。而且在方程求解過程中，首先要分析方程的具體特征，從而選擇合適的求解方法。

2.1 解的存在性和唯一性

Thomas-fermi方程解的存在性和唯一性可以通過卡拉西奧多里定理和馬莫布里安尼定理[5]給出，可以證明方程（3）存在唯一的滿足上述（4）式的三個定解條件的解。具體證明不在此贅述。

2.2 尺度變換不變性

對Thomas-fermi方程，可以作變量代換，令ξ= λx,z=λαΦ(x)：，若選擇合適的α值為-3，則有：

很明顯，（6）式若作代換：ξ=λx，結果使得方程保持形式不變，說明方程為一種等尺度方程[6]。可以作變量代換：x=et，將（6）式變換為：

上式為常系數二階微分方程，由于非線性項z3/2的存在，求這個方程的解析解也是相當困難的。

2.3 與阿貝耳方程的關系

對于（8）式，作分式變換：

3 方程的計算機數值求解

這里，考慮到該方程與阿貝爾方程的變換關系，因此可以先求解阿貝爾方程，通過變量代換來達到最終求解Thomas-fermi方程的目的。但是考慮到方程的復雜性，可以采用數值求解。下面是利用Matalab進行數值求解的步驟和相應程序：

（1）差分法求解方程（10）；

（2）將求解的u（ξ）代回（9）式，便可以求得（8）式的解；

（3）再將（8）的解通過條件Φ=x-3ξ,x=exp（∫η(ξ) dξ）變換，將最終得到Thomas-Fermi方程（3）式的解。畫出解的圖形，如圖2所示，即為本文得到的Thomas-Fermi方程的解。

以下為上述幾步求解的Matlab程序：

%設置變量，定義初值

%差分法求解阿貝爾方程

%數值積分，代換變量

4 結論

Thomas-Fermi方程是一種非線性微分方程，在處理原子內部相關作用勢方面有很多應用。本文從一個具體實例導出方程，給出了方程解的存在性和唯一性、等尺度特征以及與阿貝爾方程的關系等特征，最后利用MATLAB計算機數值求解，得到方程的近似解。當然，非線性方程的數值求解方式很多，本文方法僅供大家參考。

[1]R.N.Kesarwani.Improved variational solution of the Thomas-Fermi equation foe atoms[J].Physics Review A，1981，23(3)：991-998.

[2]Francisco M.Fernandez and J.F.Ogilvie.Approximate solutions to the Thomas-Fermi equation[J].Physics Review A，1990，42 (1)：149-154.

[3]高雁鳴.引力Thomas-Fermi方程的數值解[J].新疆工學院學報,1999,20(2)：96-99.

[4]V.Bush and S.H.Caldwell.Thomas-Fermi equation solution by the differential analyzer[J].Physics Review，1931，38：1898-1902.

[5]E.卡姆克.常微分方程手冊[M].北京：科學出版社，1986.45-46，321.

[6]劉式適，劉式達.物理學中的非線性方程[M].北京：北京大學出版社，2000.21-22.

[7]E.卡姆克.常微分方程手冊 [M].北京：科學出版社，1986.688-689.

[8]周大勇.基于Mathematica的特殊阿貝爾的可積性及其判定[J].大連鐵道學院學報.2005，26(2)：6-9.

（責任編輯：朱 彬）

Characteristic Analysis and Solutions to the Thomas-Fermi Equation

YANG Xiu-De1,WU Bo1,2
(1.Department of Physics,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China;2.School of Physical Science and Technology, Southwest University,Chongqing 410075,China)

The Thomas-Fermi equation holds sway over nucleus-electron approximate models.But as to the equation,it is a nonlinear differential equation,so it is of difficulty to procure the exact solution.In this text we infer an equation from a simple example,analyze characteristics of equation,and put forward a valid numerical method at last.

Thomas-Fermi equation;Nonlinear differential equation;Abel equation

O232

A

1009-3583（2010）-03-0073-02

2010-03-12

遵義師范學院資金資助項目（基07013）；貴州省教育廳資金資助項目（2007B003）

楊秀德，男，貴州銅仁人，遵義師范學院物理系講師，碩士，主要研究方向：計算物理和計算機輔助教學。