2010年數學高考中有關平面向量的試題評析

●張傳鵬 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

2010年是新課程改革全面推進的一年，繼2009年天津、福建、安徽、遼寧和浙江5省市進行了新課改高考后，2010年又有北京、湖南、黑龍江、吉林和陜西等4省進行了新課改啟動后的首次新高考.與2009年全國各地的高考試卷相比，2010年全國各地數學高考試卷仍然有19套37份，其中陜西、寧夏、海南、黑龍江、吉林5省啟用的是全國新課標試卷.本文圍繞“平面向量”這個專題，以《全日制普通高級中學數學教學大綱》(以下簡稱《大綱》)和《普通高中新課程標準》(以下簡稱《標準》)的分析和比較為出發點，對2010年各地涉及到該內容的高考試題進行歸納和分析，以此尋找命題規律，并在此基礎上提出2011年的數學復習建議.

1 新課程與大綱課程的對比分析

通過對《大綱》和《標準》仔細研讀、比較，發現《標準》在《大綱》的基礎上有以下變化：

1.1 降低了對一些內容的要求

由“掌握向量的幾何表示”變為“理解向量的幾何表示”;由“理解2個向量共線的充要條件”變為“理解2個向量共線的含義”;由“會進行線性運算”變為了“了解線性運算性質”;由“明確平面向量的數量積定義、表達式”變為“理解平面向量的數量積含義及物理意義”;由“明確向量b在向量a的方向上的投影”變為“體會平面向量的數量積與向量投影的關系”;由“明確2個向量的夾角的意義”變為“能運用數量積表示2個向量的夾角”;由“能用2種形式表示向量垂直的充要條件”變為“會用數量積判斷2個平面向量的垂直關系”.

1.2 增加(或刪除)了一些內容

《標準》在《大綱》的基礎上增加了“平面向量正交分解”概念并要求掌握，在向量的應用中刪除了線段的定比分點和中點坐標公式、平移公式等內容.

1.3 在認知方式上有了一些變化

在學習向量的實際背景與向量加、減法的運算及其幾何意義，向量數乘的運算及其幾何意義等內容時，《標準》都是要求通過力和力的分析等實例進行學習.《標準》要求通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義.讓學生經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力.顯然，《標準》更符合學生的認知規律.

2 命題特點和知識類型

平面向量是高考的必考內容之一，2010年全國19套37份試卷對平面向量都有著不同程度的考查，以選擇題、填空題的形式為主，在內容考查上注重雙基，回歸課本，對理科的要求略高于對文科的要求.與2009年高考相比，總體上穩定，但2010年高考更加注重對向量工具性的考查.

2.1 向量的基本概念

例1 若向量 a=(x，3)(x∈R)，則“x=4”是“|a|=5”的 ( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2010年全國數學高考理科試題Ⅱ)

分析本題主要考查平面向量的模長公式.由x=4，得 a=(4，3)，因此|a|=5.反之，若|a|=5，則可得x= ±4，于是“|a|=5”是“|a|=5”的充分而不必要條件.故選A.

2.2 向量的線性運算

例2 若向量 a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，滿足(8a-b)·c=30，則 x= ( )

A.6 B.5 C.4 D.3

(2010年廣東省數學高考文科試題)

分析本題主要考查平面向量的線性運算公式.由

解得x=4.故選C.

2.3 向量及運算的幾何意義

(2010年遼寧省數學高考文科試題)

圖1

圖2

2.4 向量與其他知識點綜合

(2010年全國數學高考理科試題Ⅰ)

分析向量與其他知識點綜合的問題一直是高考考查的一個熱點，本題主要考查向量的數量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法——判別式法，同時也考查了考生綜合運用數學知識解題的能力及運算能力.

解如圖2，設 PA=PB=x(x＞0)，∠APO=α，則

3 亮點掃描

3.1 重視對雙基知識的考查

縱觀各省、市平面向量的高考試題，一方面有的試題在不斷地追求創新;而另一方面則保持著平穩過渡，出現了對基礎知識、基本運算能力直接考查的大量試題.

(2010年天津市數學高考理科試題)

分析本題主要考查平面向量的基本運算.

故選D.

2010年全國各地高考考查平面向量基本運算的試題還有：安徽省數學高考理科試題第3題、湖北省數學高考理科試題第4題、湖南省數學高考文科試題第6題、江西省數學高考理科試題第13題，四川省數學高考文科試題第6題，重慶市數學高考文科試題第2題等.

3.2 注重向量與平面幾何的聯系

圖3

A.2 B.3 C.4 D.5

(2010年湖北省數學高考理科試題)

分析向量、向量的加減等線性運算、向量的數量積等對應著其幾何意義，而許多平面幾何圖形的幾何特征可轉化為向量及其運算.由

得點M是△ABC的重心，連結AM并延長交BC于點 D，則

因為AD為中線，所以

聯立式(1)，式(2)，可得 m=3.故選 B.

2010年全國各地高考考查向量與平面幾何的聯系的試題還有：全國數學高考試題Ⅰ第11題，安徽省數學高考文科試題第16題、遼寧省數學高考文科試題第8題等.

3.3 重視向量與其他知識的綜合

例7 設平面向量am=(m，1)，bn=(2，n)，其中 m，n∈{1，2，3，4}.

(1)請列出有序數組(m，n)的所有可能結果;

(2)記“使得 am⊥(am-bn)成立的(m，n)”為事件A，求事件A發生的概率.

(2010年福建省數學高考文科試題)

分析本題以平面向量為載體考查概率的知識，是2010年高考試卷中的一個亮點，主要考查化歸與轉化思想、應用意識.

(1)有序數組(m，n)的所有可能結果為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16 個.

(2)由 am⊥(am-bn)，得

而 m，n∈{1，2，3，4}，因此事件 A 包含的基本事件為(2，1)，(3，4)共2 個，于是

向量與其他知識的綜合還體現在：(1)與函數的綜合的有：北京市數學高考文科試題第4題、北京市數學高考理科試題第6題、全國數學高考理科試題Ⅰ第11題等.(2)與三角函數的綜合的有：四川省數學高考理科試題第19題、天津市數學高考理科試題第15題、全國數學高考理科試題Ⅰ第11題、安徽省數學高考文科試題第16題.(3)與解析幾何的綜合的有：全國數學高考理科試題Ⅰ第11題、全國數學高考理科試題Ⅰ第22題、福建省數學高考理科試題第7題、2福建省數學高考文科試題第11題、湖北省數學高考文科試題第20題、浙江省數學高考理科試題第21題等.

3.4 重視必修與選修內容的有機結合

(2010年福建省數學高考理科試題)

分析本題從雙曲線出發，考查了參數方程、向量、不等式等知識，體現了數學必修與選修內容的有機結合，是2010年高考試卷中一道靚麗的風景.

故選B.

4 復習建議

4.1 總結規律

綜觀2010年全國各地高考試卷，對平面向量的考查主要體現為3個層次：

第一層次：以選擇題、填空題的形式出現，主要考查學生對平面向量的概念、加減運算、坐標表示、數量積等基本概念和運算的掌握情況.這一層次的試題，一般屬較簡單題.

第二層次：以選擇題、填空題或解答題的形式出現，主要考查學生對平面向量知識的簡單運用，譬如復數的向量表示、平面幾何問題的向量解決等.這一層次的問題也多屬簡單題，即使在解答題中也僅起點綴作用.

第三層次：以解答題的形式，把平面向量與三角、解析幾何、導數等章節交匯融合形成綜合題，考查學生把向量作為工具的運用能力.這一層次的問題有一定的難度，而且是近幾年高考平面向量命題的一種趨向.

4.2 要回歸教材

教材是高考試題的重要知識載體，是學習數學基礎知識、形成基本技能的“藍本”.在復習過程中，以課本為“藍本”對題目舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下功夫，力求做到“以不變應萬變”.

4.3 要滲透數學思想

由于平面向量本身具有代數和幾何雙重身份，因此向量知識處處體現了數形結合的思想方法.在解決問題過程中，要幫助學生形成見數思形、以形助數的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識，還要注重分類討論與化歸思想的滲透.

4.4 要重視知識間的聯系

“重視綜合能力的考查、在知識網絡的交匯處設計試題”是近幾年高考命題的重大改革趨勢，而向量本身具有的特點決定了它必然成為“在知識網絡的交匯處設計試題”的良好載體，《課程標準》也特別強調“教學中要注意向量與三角函數、向量與幾何、向量與代數的聯系”.在復習平面向量時，要有意識地加強平面向量與其他知識之間的聯系，滲透向量的應用意識，從而發揮向量的工具作用.