2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題之思考

●鄭明杰 (余杭第二高級中學(xué) 浙江杭州 311100)

2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科立體幾何試題的設(shè)計可謂是匠心獨具，無論在取材背景還是命題立意上都令人耳目一新，體現(xiàn)了重基礎(chǔ)、立意高、思路活、講公平的命題特征.

1 亮點掃描

1.1 凸顯課改理念，體現(xiàn)公平原則

不難看出，2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題從背景設(shè)計到方法的選擇，有如下設(shè)計痕跡：

由此可見，試題的設(shè)計方式很好地詮釋了新課程所倡導(dǎo)的動手實踐、自主探索，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程理念.同時，考查意圖也是圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)要求的“在教學(xué)中，鼓勵學(xué)生靈活運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題”的教學(xué)要求.

圖1

此外，折紙實驗是學(xué)生所熟知的一個數(shù)學(xué)實驗背景，其基本原理是通過翻折與展平(如圖1所示)，尋找平面圖形與空間圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)而抽象位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化.命題背景設(shè)計體現(xiàn)了公平性原則.

1.2 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，解答靈活多樣

試題中探索的結(jié)論是求二面角的余弦值，因此首先要明確二面角的含義，即什么是二面角，二面角的平面角通常有哪些表現(xiàn)形式?它是如何度量的?只有把握二面角的本質(zhì)，理解求空間角中向量的工具性，就不難找到解決的基本線索.

1.3 立足能力立意，突出思想內(nèi)涵

圖2

1.4 考查理性思維，挑戰(zhàn)意志品質(zhì)

學(xué)生很熟悉平面圖形翻折，但是經(jīng)過2次翻折，確實對學(xué)生的空間想象能力提出了挑戰(zhàn).同時，由于翻折的前后2個部分圖形不對稱，給學(xué)生帶來了視覺阻礙.根據(jù)A'，C重合得到MC=MA'實屬不易，這容易使學(xué)生在考試中產(chǎn)生焦慮情緒.因此，試題的“執(zhí)果索因”的思維方式，即在方程思想(求值問題)的引領(lǐng)下尋找翻折問題中的不變性(等量關(guān)系)是本題考查的又一亮點.沉著的心態(tài)，銳意進(jìn)取的勇氣，理性地剖析問題本質(zhì)，靈活、熟練地運用知識與思想方法的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等等，是突破難點的基本保障，也是本題在更高層面上的考查，它承載著選拔優(yōu)秀人才的功能.

2 2點思考

2.1 顛覆傳統(tǒng)視界，回歸數(shù)學(xué)理性

2010年高考(理科)命題方式徹底顛覆了傳統(tǒng)的立體幾何解答題復(fù)習(xí)方式，突出了能力考查，彰顯數(shù)學(xué)理性思維必將是立體幾何試題今后的走向.這無疑是在暗示我們，定勢、守舊的立體幾何復(fù)習(xí)模式已經(jīng)行不通了，轉(zhuǎn)變觀念，讓課堂回歸理性，突出能力發(fā)展、著意數(shù)學(xué)思想滲透的課堂教學(xué)才是高考唯一出路，也是切實減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)的正途.

2.2 立足數(shù)學(xué)雙基，發(fā)展面狀思維

綜合法與向量法是解決立體幾何問題的基本手段.2010年的試題給人以明顯的感覺是對2種工具不再厚此薄彼，表現(xiàn)出綜合法的推理與向量工具的計算存在各自優(yōu)勢的特點.這種變化帶給我們的啟示是，立體幾何解答題的教學(xué)不能僅僅由向量法一法到底，而是要引導(dǎo)學(xué)生在對2種方法的對比中作出合理選擇，促進(jìn)學(xué)生由線性思維向面狀思維發(fā)展.

不少教師感到2010年數(shù)學(xué)高考理科立體幾何解答題要難于往年，但仔細(xì)分析后不難發(fā)現(xiàn)，問題的切口并不復(fù)雜.第(1)小題只要抓住二面角的平面角的概念核心(棱與平面角所在面垂直)，在線面垂直的暗示下，綜合法的形成是自然的;若抓住二面角與空間向量的聯(lián)系，產(chǎn)生前面提及的幾種方法也不困難.第(2)小題經(jīng)過降維處理(展平)，轉(zhuǎn)化為在平面中計算距離問題，則對坐標(biāo)法的應(yīng)用亦是水到渠成的事.當(dāng)然，這些思路的產(chǎn)生要求學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)知識與技能.

3 3點建議

3.1 落實主干知識，培養(yǎng)思辨意識

雖然立體幾何中涉及的知識點特別多，但是各知識點之間存在著很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性.在以往快節(jié)奏、高密度操練的復(fù)習(xí)模式下，存在于學(xué)生頭腦中的立體幾何知識常常是零散的、缺乏體系的，很難形成一個網(wǎng)狀的知識群.筆者認(rèn)為，在立體幾何復(fù)習(xí)中，要充分重視知識落實，尤其要加強(qiáng)對核心概念的解構(gòu).

只有這樣，才能使學(xué)生領(lǐng)會知識要詣并融會貫通.也只有這樣，才能使學(xué)生即遇到陌生背景，也會從概念本質(zhì)入手進(jìn)行信息檢索(概念的核心往往就是檢索數(shù)學(xué)方法的基本出發(fā)點)，形成思維的發(fā)散.

3.2 注重思想滲透，崇尚理性精神

立體幾何教學(xué)承載著培養(yǎng)學(xué)生的運算、空間想象和推理判斷等邏輯思維能力的功能，思維開展過程中滲透著眾多的數(shù)學(xué)思想方法，譬如數(shù)形結(jié)合思想、降維思想、坐標(biāo)法思想等.因此在教學(xué)中要強(qiáng)化理性思辨，切不可就題論題，只講過程而無視思想方法提煉.眾所周知，以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)的解題策略往往能使思維更簡潔、明了.

3.3 巧設(shè)幾何背景，挑戰(zhàn)空間想象能力

筆者從考生中了解到，學(xué)生之所以感到2010年的立體幾何試題特別難，心理暗示起著關(guān)鍵的作用，看到2次翻折心理就發(fā)怵.

因此，在立體幾何復(fù)習(xí)中，要適當(dāng)安排一些創(chuàng)新型幾何背景的立體幾何問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間感.例如，安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題，幾何背景新穎、條件繁雜，但是在結(jié)論(證明線面平行、線面垂直)的暗示下，聯(lián)系不同維度的線面位置的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.通過運算，能有條理地梳理條件，從中不僅鍛煉學(xué)生的推理判斷能力，而且還可提升學(xué)生對陌生圖形的分析與抽象能力.