2010年數(shù)學高考中有關計數(shù)原理試題的評價

●徐國君 李惟峰 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象之一.分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具.下面筆者結合2010年數(shù)學高考試題從以下幾個方面加以說明.

1 新舊課程的對比分析

在新課程中，學生將學習計數(shù)基本原理、排列組合、二項式定理及其應用，了解計數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題.總的教學目標是通過實例，總結分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理;能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，解決一些簡單的實際問題.提高學生轉化問題的能力、邏輯分析能力和分類討論思想的運用能力.

與原大綱相比，新課程對分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理在內容編排上做了一些調整.特別是在處理方法上，更強調基本的計數(shù)原理，強調計數(shù)原理在實際中的應用，強調對計數(shù)原理思想的理解，避免抽象地討論計數(shù)原理.在排列組合的教學中，新課程是將排列組合作為計數(shù)原理的應用實例來處理的，且排列組合的應用題設計的問題背景非常豐富，因此需要有較強的抽象思維能力.通過典型例題，形成典型問題的思維模式，注重常見題型與常用方法的歸納.二項式定理是組合知識與多項式知識的結合，新課程教學非常注重二項式定理的推導過程，理解特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)學生的觀察歸納能力、抽象思維能力和邏輯思維能力.

2 命題特點和知識類型

計數(shù)原理在高考中多以客觀題的形式出現(xiàn)，每年有1～2道題，試題難度基本為中低檔，考查學生轉化問題的能力、邏輯分析能力和分類討論的思想方法.在2010年全國各地的數(shù)學高考試卷中，可以說計數(shù)原理的考查基本沿襲了以往的風格，部分題目有一定的難度.

例1 有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”5個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復.若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_______種(用數(shù)字作答).

(2010年浙江省數(shù)學高考理科試題)

命題意圖分析 這是一道典型的計數(shù)原理題，主要考查學生的分析能力、用分類討論的方法解決問題的能力.

分析為了方便解題與分析，可以把題目的要求結合以下的表格(如表1)加以體現(xiàn).

表1 各項目測試安排表

依據(jù)以上的表格可非常清晰地把這個較難的計數(shù)原理的問題加以解決：由題意在上午的測試中，在可以測試的4個項目中應該各有一名同學，且沒有其他限制，因此有24種;而下午的安排要受到上午安排的影響且要求限制較多，這種情況下可以采取分類討論的方法加以解決，經(jīng)分析可以分為以下2個大類：

(1)若丁所測項目上午是“臺階”，下午是“握力”，則甲、乙、丙在上午給定排定測試項目的前提下，下午實質上就是要求與上午的測定項目全不相同，是個全錯位排列問題，共有2種排列方法.

(2)若丁上午測“臺階”，下午所測項目是甲、乙、丙在上午所測項目中的一項，則有3種不同的情況.丁排定后，甲、乙、丙選擇一人測“握力”有3種不同的選法，選定后依題意剩下2位同學的測試項目就唯一確定下來了.

故不同的排列方法共有

點評應該說，本題的敘述會給考生以繁瑣、難理解的感覺.題目中涉及的限制條件與要求較多，往往會令考生難以下手，有較高的能力要求.從考生反饋的信息來看，本題的得分率也不是很高.值得肯定的是本題充分體現(xiàn)了新課程的培養(yǎng)目標，有很好的教學指導意義，值得一線教師的反思體會.

例2 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機4項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他3項工作，丙、丁、戊都能勝4項工作，則不同安排方案的種數(shù)是( )

A.152 B.126 C.90 D.54(2010年湖北省數(shù)學高考理科試題)

命題意圖 這是一道排列組合中常見的有條件的分配問題，主要考查學生的分析能力、用分類討論的方法解決問題的能力.

分析由于題目中有5位同學，而需要從事的工作只有4項，有限制的是司機這項工作，因此選擇從工作出發(fā)選人的方法，且先確定從事司機的人選.依題意必然有一項工作有2人，其他工作各1人.可分為以下2類進行討論：

因而共有不同安排方案的種數(shù)是18+108=126種.故選B.

點評本題是一個較常規(guī)的排列組合問題，其中涉及到分類討論、分配等常見的排列組合問題，難度適中.體現(xiàn)出重視基本問題、基本技能的指導思想.

(2010年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

命題意圖分析 本題是一道二項式定理題，主要考查學生3個方面的能力：(1)基本的通項求解方法;(2)二項式定理的本質應用;(3)分類討論的思想方法的運用.

所以可以發(fā)現(xiàn)展開式中沒有x-1這一項，即這種情況不可能.

(3)x2與 x-2抵消成常數(shù)：1 ×(-1)4=15.

綜上所述，常數(shù)項為-20+15=-5.

點評本題體現(xiàn)了新課程中對二項式定理的教學要求，要求考生既要學會基本的解題方法和技巧——展開式的通項公式的應用，又要充分理解二項式定理推導過程的思維實質，并能把這個思維實質進行有效地遷移應用.有一定的難度，也有非常好的教學指導意義.

3 亮點掃描

(1)體現(xiàn)了對基本知識、基本技能的掌握.淡化過分的技巧化、模型化.

(2)題目貼近生活.充分體現(xiàn)了數(shù)學的真諦，即來源于生活，服務于生活，有很強的現(xiàn)實指導意義和生活背景.也體現(xiàn)了數(shù)學的人文素養(yǎng)和人文價值所在，給教學指明了方向.

(3)題目立意深刻，注重知識的理解.考題中無不滲透出摒棄“題海”，注重知識的理解和掌握的指導思想.

(4)題目立足基礎，體現(xiàn)能力.在立足基礎的前提下，非常講究能力的考查.要求考生有較強的知識遷移能力.

4 復習建議

可以說，2010年高考試題充分體現(xiàn)了新課程對于這一部分內容的教學要求，題目有新意，既立足基本知識、基本技能，又體現(xiàn)了較高的能力要求，因此也給數(shù)學教師提出了新的歷史使命.基于此，筆者有以下的復習建議，供同行參考：

(1)在教學中，不僅要重視每個知識結論的教學，更應注重知識發(fā)生、發(fā)展和形成過程.在指導學生解題過程中，應淡化技巧，突出通性通法的訓練，引導學生對解題方法歸類、概括和總結，提高學生的解題能力.

(2)注重能力培養(yǎng)，著眼創(chuàng)新意識和實踐能力的提高.近幾年高考試題開發(fā)了研究型、探索型和開放型等體現(xiàn)數(shù)學素質的能力型試題，學生要在主動探究知識、分析思考和解決問題的過程中，理解知識，掌握數(shù)學思想方法和解決問題的策略，提高能力.

(3)合理安排該模塊的訓練難度，把握復習的重點和熱點.對于了解層次要求的知識點要嚴格控制難度;掌握層次要求的內容既可以出難題，也可以出中等題與容易題.作為新的高考熱點，當然應成為復習的重點.

(4)要認真學習《學科指導意見》，確定復習的內容和重點.只有緊扣《學科指導意見》，才能科學、合理地安排復習，從而提高效率.以不變應萬變，構建知識網(wǎng)絡，集中精力破解學習中的疑難問題.