2 0 1 0年浙江省數學高考理科試題評析

●盧 明 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

1 試卷回顧

2010年浙江省數學高考理科試題從題型、題量和分值結構來看，繼續保持前幾年一貫的風格，相對穩定.試題嚴格遵循《浙江省普通高考考試說明》，起點低、角度寬、視點高，在考查基礎知識的同時，注重對數學思想、數學方法和數學能力的考查.延續往年分步設問、分散難點的做法，體現了分散壓軸、多題把關的命題特點.選擇題、填空題、解答題都有把關題.此外，2010年的試題還有以下主要特點：

(1)厚基礎，緩坡度.

整卷注重基礎知識和基本方法，全面覆蓋高中數學的基本內容.試卷中的選擇題、填空題主要圍繞“雙基”設計，側重考查基礎知識和基本技能;解答題重點考查了三角函數、概率與期望、立體幾何、解析幾何以及函數導數等核心內容.各類題型起點難度較低，呈階梯式遞進.10道選擇題中第1～6、7～9和10題，填空題中第11～13、14～16和17題，各分成3個明顯的難度層次，解答題中也有類似體現.

(2)老內容，新情景.

重點內容做到常考常新.例如，2009年的第3題只考查了復數運算;2010年的第5題不僅考查了復數運算，更突出了共軛復數、模等概念，以及實數與復數平方運算結果的區別.再如，2009年的第8題主要考查三角函數的圖像與性質;2010年的第9題將三角函數的圖像與性質同函數與方程思想、數形結合思想有機結合起來，以新的情景形式展現在考生的面前.類似的題目還有第 10，14，17，19，20，21，22題等.這些試題對平時教學不重視基本概念和學科思想、單靠反復操練的考生來說，會到處碰壁.這樣的命題對今后的教學起到了積極的導向作用.

(3)重通法，淡技巧.

大多數題目敘述簡潔，體現常規，突出考查通性通法，淡化技巧.例如，第 3，8，11，12，13，15，16，18，21題.盡管有的題用通性通法求解不一定是最佳方法，但至少熟練掌握了通性通法后能夠使問題迎刃而解，較好地體現了以知識為載體、以方法為依托、以能力為導向的命題指向.

(4)多角度，留空間.

許多試題給考生預留了多角度思維的空間，即入口寬.解題途徑比較多，可以有效區分考生不同的思維水平.例如，第3，7，15，16題等，其中第16題至少有4種解法.

2 考題選評

2010年浙江省數學高考理科試題充分體現了新課程的理念，在穩定中尋求變化，在變化中追求創新.

2.1 注重閱讀，凸顯能力

試卷中展現了很多新題，如第 10，14，17，19，21，22題等，這些試題數學化程度高，對學生的數學閱讀與理解能力提出了較高的要求，使考查具有一定的難度和深度，有利于檢測考生的能力.

(2010年浙江省數學高考試題)

點評本題主要考查的知識點是集合概念、對數函數圖像、函數圖像的平移變換、組合等;考查的思想方法是列舉法.本題所給的背景比較新，有的考生由于沒有讀懂集合和集合的元素分別是什么?每個集合各有幾個元素?只得將題目放棄.有的考生雖然讀懂了2個集合的意思，但未能根據“函數圖像恰好經過Q中兩點”的要求將函數列舉完整.

類似的題目還有第14，19題，分別要求考生從題干描述的情景或題目所給出的圖形中去讀取相關信息.

2.2 返璞歸真，重立地位

近幾年的數學高考理科立體幾何題的圖形都是給定的，考生不需要畫圖，且過分推崇向量法，這給立體幾何教學帶來的影響是強化向量應用，削弱了基本定理教學.2010年的高考理科立體幾何題一改往常面孔，返璞歸真，考查了一個翻折問題，要求考生獨立畫出翻折后的立體圖，還立體幾何考查以本真.

(1)求二面角A'-FD-C的余弦值;

(2)點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A'重合，求線段FM的長.

圖1

(2010年浙江省數學高考試題)

點評第(1)小題用幾何法比向量法要簡捷得多，關鍵是考生讀圖時需要將二面角A'-FD-C轉換成A'-AF-C，這樣就容易作圖了.第(2)小題的難點在于要求學生獨立畫出翻折后的立體圖，這對學生的空間想象能力提出了較高要求.在解法上，幾何法與向量法難度相當.這是一種很好的命題導向，既突出了幾何思維的地位，也照顧到了向量思想的應用.它提醒教師應當重視立體幾何本質的教學，向量只不過是一種“工具”，不能替代歐氏幾何的學科思想和思維方式，以保證立體幾何作為一門獨立課程而存在的意義和價值.

2.3 “熟”中有“生”，“生”中創新

試卷中有一些試題是以考生非常熟悉的面孔出現的，給考生以親近感.然而，深入下去卻是暗流涌動.例如，第15，22題等.

例3 已知a是給定的實常數.設函數f(x)=(x-a)2(x-b)ex，b∈R，x=a 是 f(x)的一個極大值點.

(1)求b的取值范圍.

(2)設 x1，x2，x3是 f(x)的 3 個極值點，問是否存在實數 b，可找到 x4∈R，使得 x1，x2，x3，x4的某種排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差數列?若存在，求出所有的b及相應的x4;若不存在，請說明理由.

點評本題條件中所給函數的形式、極值點等概念，都是考生非常熟悉的，求解的思路也很熟悉.但是，要真正深入進去，能夠巧妙地運用函數與方程思想、一元二次方程根的判別式、等差數列的概念等知識，科學地進行分類討論，文章就大了.可謂進門容易，深入難，達到了有效考查學生綜合素質的目的.

3 幾點思考

數學考試一結束，考生普遍反映試卷難.那么，究竟為什么難?難在何處呢?

3.1 試卷本身的原因

3.1.1 試題表述的數學化程度過高

本試卷中原創題目比較多，試題表述新穎、數學化程度高，對考生的數學閱讀和理解能力要求高，例如第10，14，17，19，22 題等.

為此，作為高考選拔的大眾數學，命題的表述究竟應該是基于方便考生理解還是基于表述的數學化程度?高考試卷中對數學閱讀能力的考查應該占多大的比重方算合適?這值得大家探討.

3.1.2 “難題”提前集中出現

這里所述的難題分為2類：一類是“生”題，即平時很少見的題，命題教師起初并不認為這些是難題，但對考生來說的確是難題，譬如第9，14，15，16題;另一類是“深”題，這些題綜合性強，能力要求高，命題教師將它作為“把關”題，如第10，17題.高考數學卷對于中等以上的考生來說，心理承受的底線是選擇題、填空題中至多有2～3道難題，而本卷命題設置突破了這條“底線”.

3.2 教學中存在的問題

為什么命題教師認為不難的試題考生卻會覺得很難?怎么會出現這種認識上的心理錯位呢?

3.2.1 重知識，輕思想

當下，中學數學教學中死教書、死做題，重知識、輕思想現象還是相當普遍的，如此教出來的學生自然是只會做陳題，缺乏創新意識和創新能力.

3.2.2 幾何課程“代數化”

解析幾何是一門用代數方法來研究幾何問題的學科，但是，立體幾何并非如此，向量法并不是研究立體幾何的主導方法.現行的新課程立體幾何教材引進了空間向量，可以用向量運算替代比較復雜的幾何證明.加之，高考指揮棒的影響，進一步強化了某些教師的糊涂觀念：有了向量法，不必再讓學生去記憶那些復雜的幾何定理.立體幾何課程呈現出“代數化”傾向，學生的幾何思維沒有形成，歐氏幾何的解題三步曲——“作、證、算”被嚴重淡化，空間想象能力得不到很好的培養.如何改變這一種傾向，充分發揮立體幾何課程對人的發展的不可替代作用，作為影響教學的高考指揮棒，應該在命題方面進一步深化研究.

3.2.3 不科學的應試策略指導

“重點做好選擇題、填空題和解答題的前3題，最后2題能得多少算多少”.許多數學教師就是這樣指導學生應試的.可是，2010年的數學試卷如果按照上述應試策略，必然會導致考生心理失衡，自信心受到嚴重打擊，從而影響考生實際水平的正常發揮.

總之，數學是高考的晴雨表，數學考試的成敗直接影響考生的心態.因此，一份好的高考數學試卷，無論是對考生水平的正常發揮，還是對高校人才的選拔，乃至對中學數學教學導向都至關重要.出一份好的高考數學卷很不容易，這不僅是考生的一種期盼，也是我們中學數學教師的一種期盼.