2 0 1 0年數學高考立體幾何試題評析

●駱永明 (稽山中學 浙江紹興 312000)

立體幾何是高考必考內容，試題一般以“兩小題一大題”的形式出現，分值在20分左右，考查難度一般為中等.簡答題所處位置基本上在前3道，有承上啟下的作用.另外，筆者在認真統計與分析近幾年的高考試題后發現，立體幾何問題的考查已經突破了傳統的框架;在命題風格上，正逐步由封閉性向靈活性、開放性轉變.因此，進一步把握復習的重點、提高復習效率，從而快速地突破立體幾何的難點是高考復習過程中必須認真考慮的問題.

1 《課程標準》和《考試說明》對本專題的教學要求

1.1 考試內容

三視圖;球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算;空間位置關系的判斷與證明;空間角、距離的求解.

1.2 考試要求

(1)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.能識別三視圖所表示的空間幾何體;理解三視圖和直觀圖的聯系，并能進行轉化.

(2)會計算球、柱、錐、臺的表面積和體積(不要求記憶公式).

(3)以公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定;會用幾何法和向量方法證明有關直線和平面位置關系的有關命題.

(4)理解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念;會用幾何法和向量方法解決異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題.

2 命題特點

從立體幾何所考查的知識點可以看出：與前幾年相比仍著眼在一個“穩”字上，具體體現在以下幾個方面：

(1)題量、分值、難度基本上保持相對穩定.

每份試題基本上以“兩小題一大題”或“一小題一大題”的形式出現，分值在20分左右.選擇題、填空題考查的知識點主要涉及到空間線面位置關系的判斷、空間角和距離的求解、體積與面積的計算、三視圖和幾何體的接切問題等.解答題的考查形式仍然注重在一個具體的立體幾何模型中考查線面位置關系.

(2)考查題型、內容不避熱點.

以空間幾何體為載體的線面關系的判斷、推理和論證，尤其是線線、線面、面面的平行和垂直的判斷、推理和論證;三視圖體積與面積的計算;空間角和距離的計算，幾何體之間的“接”與“切”等問題歷來是高考數學的重點和熱點，也是2010年高考命題的主流.

(3)考查立體幾何的基本數學思想.

立體幾何在考查學生的觀察能力、思維能力和空間想象能力方面具有獨特的作用，歷來是高考的重點內容之一.轉化與化歸思想、邏輯推理能力、數形結合思想、割補思想等數學思想在2010年的高考立體幾何試題中體現得淋漓盡致.

(4)繼續正視文、理科學生的差異.

在對立體幾何這部分內容的考查上，基本上采用“姊妹題”、“相同題不同考查順序”等來區別對待.在簡答題上，文科突出考查直觀感知與簡單推理論證;而理科對空間想象能力、邏輯推理能力的考查要求較高.同時，理科大題在設計中仍然堅持“幾何法”與“向量法”兼顧，統籌安排、有機結合、相得益彰.

3 亮點掃描

3.1 “動態折疊”，立體幾何常考常新

在近幾年的高考試題中，經常出現一些有關立體幾何中的翻折、旋轉等“動態折疊”問題.它們立意新穎、動態變換、注重創新，加強了試題的開放性與探究性，同時也給學生解決問題提供了更廣闊的思維空間，能有效地檢測學生的直觀感知、觀察發現、空間想象、推理論證、運算求解與分析和解決問題等能力，具有很好的考查功能和導向作用.

例1 如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在線段AB，AD上，AE=EB=AF=2FD=4.沿直線3EF將AEF翻折成A'EF，使平面A'EF⊥平面BEF.

(1)求二面角A'-FD-C的余弦值;

(2)點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點C與點 A'重合，求線段 FM的長.

圖1

(2010年浙江省數學高考理科試題)

解(1)坐標法：按如圖2所示建立坐標系，面A'FD的一個法向量為n=(0，-2，)，面 BEF的一個法向量為 m=(0，0，1)，則

圖2

圖3

評注近3年的浙江省數學高考試題都考查了“動態折疊”問題，特別是2010年從學生極為常見的長方形翻折著手，把2次翻折后改造成頗有難度的立體幾何問題，使考生似曾相識，又不乏新意.解決該題的關鍵是要求學生清楚折疊前后哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化.

3.2 關注知識的交匯，實現融會貫通

例2 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是 ( )

A.直線 B.橢圓

C.拋物線 D.雙曲線

(2010年重慶市數學高考理科試題)

解如圖4，構造一個單位正方體，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系.設點P的坐標為(x，y)，由題意得

可知軌跡為雙曲線.故選D.

評注以立體幾何為載體，重點考查如何用坐標法或定義法求動點軌跡方程，目的是考查學生的空間想象能力及如何用坐標法解決立體幾何中求軌跡的問題，體現幾何問題代數化的思想方法.

同時2010年福建省數學高考理科試題第18題與幾何概型交匯，考查了直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系;還考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想.

圖4

圖5

3.3 強調知識的應用，注重綜合能力的考查

數學源于生活又寓于生活，課程標準特別強調學生對數學的實踐運用能力.以立體幾何為背景的實際應用題逐漸被人們重視.2010年上海市數學高考理科試題第21題以圓柱形的燈籠為背景設計了立體幾何問題，具有很大的現實意義，考查了學生解決數學問題的方法、策略、能力，是現代教育對數學教育的迫切要求，充分體現了教育改革的不斷發展與高考改革的逐步深化.

例3 如圖5所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).

(1)當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值?并求出該最大值(結果精確到0.01平方米);

(2)在燈籠內，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中2條直線A1B3與A3B5所在異面直線所成角的大小(結果用反三角函數表示).

(2010年上海市數學高考理科試題)

解(1)略.

(2)建立坐標系易得

評注本題以圓柱形燈籠為載體，考查二次函數的實際應用、異面直線所成角的概念與求法.該題引導學生深入社會實際，關注生活，在加強數學應用意識的同時，考查了空間想象能力.立體幾何板塊難度比2009年有所上升;考查了學生提煉數學模型、應用數學的能力.

4 復習建議

(1)立足一本兩綱，回歸課本，狠抓雙基.

教師需對《考試大綱》與《教學大綱》進行深入研究，立足本專題的基礎知識和基本方法的復習.重視基礎知識教學，落實點、線、面位置關系的判斷以及相關概念、定理、性質;熟練掌握課本中概念、定理的種種用途;重視提高學生的空間想象能力，培養學生識圖、畫圖和對圖形的理解能力.同時要讓學生回歸課本，重視課本的例題與習題，使數學教學回歸到本源上來.

(2)建議對新教材中新增內容進行關注.

新教材中的立體幾何與傳統的立體幾何相比，發生了一定的變化.其中在必修2中學習的立體幾何初步主要是依托三視圖來提升學生空間想象力的.同時，對于這些模型截去一個面所形成的多面體的三視圖也應該引起關注.例如，2010年北京市數學高考理科試題第3題.對于一些不規則幾何體，若采用割補法，則往往能起到化繁為簡、一目了然的作用.

(3)重視數學思想方法的教學，特別是化歸的思想.

(4)建議加強對向量公式的理解.

用傳統的方法解立體幾何題往往需要煩瑣的分析、復雜的計算.而用向量法解題思路清晰、過程簡潔.對立體幾何的常見問題可以起到化繁為簡、化難為易的效果.利用向量可以解決立體幾何中點、線、面的各種位置關系問題，但在具體問題中有許多需要注意的問題.

例如，已知二面角 α-l-β，m，n 分別為面 α，β 的法向量，則二面角的平面角θ的大小與2個法向量所成的角相等或互補，即θ=＜m，n＞或θ=π-＜m，n＞.但如何判斷二面角的平面角和法向量所成的角的關系，通常有2種方法：①通過觀察二面角是銳角還是鈍角，再由法向量所成的角求之;②通過觀察法向量的方向，判斷法向量所成的角與二面角的平面角是相等還是互補.

又如直線和平面所成的角用向量求解時，法向量和直線所成的角與直線和平面所成角的關系都是需要引起注意的問題，學生很容易犯錯誤.