2010年浙江省數學高考文科試題第20題透析

●金雅芳 (春暉中學 浙江上虞 312353)

從2010年浙江省數學高考文科立體幾何試題中的立意可以看出，點、線、面之間的關系仍然是考查的重點.就數學學科而言，最大的特點是在于連結空間形式和數量關系，因此考查空間想象力一直得到高考命題者的青睞.2010年考綱中明確說明點、線、面之間的位置關系的學習要做到如下3點：(1)理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下推理依據，即“4個公理”和“1個等角定理”.(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定，并熟練掌握線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等的判定定理以及性質定理.(3)能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題，如證明線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直;求解一個距離、二類圖形及3個角，即一個距離——點到平面的距離，二類圖形——凸多面體及翻折圖形，三類角——異面直線所成的角、線面角及二面角的平面角.

題目如圖 1，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°.E為線段 AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A'DE，使平面A'DE⊥平面 ABCD，F為線段A'C的中點.

(1)求證：BF∥平面A'DE;

(2)設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A'DE所成角的余弦值.

(1)證明 取DC的中點H，連結BH，HF.由H為中點，可得

圖1

因此平面A'DE∥平面BHF，即BF∥平面A'DE.

(2)解 由第(1)小題可得，平面A'DE∥平面BHF，因此直線FM與平面A'DE所成角即為直線FM與平面BHF所成的角.又由平面A'DE⊥平面BCD，得平面BHF⊥平面BCD.連結AM并延長交BH于點 G.根據題意，可得 MG⊥平面 BHF，即∠MFG為直線FM與平面BHF所成的角.設AB=2BC=2，可得

從學生對本題的解答情況看，得分相對較低.主要體現在2個方面：一是直接過點F作平面A'DE的垂線難度大，若采用上面的求解，面面平行來轉化角度則不容易想到;二是用空間向量處理試題，坐標系不很常規，致使解答情況不理想.介于上述學生的狀況及試題情況，在立體幾何復習時應著眼基礎，即立足基本定理;應放眼圖形，即緊抓圖形特色，這樣才能做對、做活試題.

由上面的求解可以發現，高三數學復習，應注意以下幾點.

1 基礎教學——穩扎穩打

對立體幾何的復習，首先要強化基礎知識的訓練，確實掌握基本概念、性質、定理、公理、推論等，同時要掌握這些定理在不同題目中的用法，理解它們的個性和通性，在此基礎上突出重點、強調中心問題，找到解各種題目的突破口，提高解題能力.

其中一項重要的能力是“畫圖”.高考卷中立體幾何的小題一般都不給出圖形，而大題中所給的圖形又往往需要添加輔助元素，因此從某種意義上說，作出一個好圖等于題目解決了一半!訓練中要做到：(1)會畫——根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明;(2)會看——根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系;(3)會用——對圖形進行必要的分解、組合，或對某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或割補等.

同時，復習過程中還需注意其他板塊的基礎知識在立體幾何題中的運用，譬如絕大多數求解型題最后都需要在構建好的平面圖形(尤其是三角形)中才能解決，因此諸如像平面幾何的相關知識、三角函數、正余弦定理等就必不可少了.

2 重點把握——求精求實

近幾年的高考題比較注重求問形式的多元化，但問題最終的落腳點無外乎是證明平行或垂直、求解角度或距離，而解決的方法也主要集中在幾個常見的形式上.

例如，求證空間中某直線和某平面的平行關系，要么采用線面平行的判定定理——在該平面中找到一條和該直線平行的直線(利用中位線或平行四邊形)，要么采用面面平行的性質定理——構造過該直線與該平面平行的平面.

再如，利用三垂線求作二面角的平面角，一般只要在其中一個半平面內找到一點P，過它的一個平面和另一半平面相交得到交線，再過點P作此交線的垂線，垂足即為點P的射影.之后過此射影作二面角的棱的垂線并連結垂足和點P，平面角即會出現.這種方式還可用在求解線面角、點面距等問題中.

3 規律探索——講準講活

立體幾何解題中常有明顯的規律性，因此在復習中必需對概念、定理、題型、方法等進行總結、歸類，進而建立知識框架和網絡，弄清各概念之間的包含關系，理清定理的來龍去脈和相互轉化的過程，從內涵和外延上區分容易混淆的各個概念，從條件、結論和使用范圍上去區分容易混淆的各個定理.另外，空間向量的引入為我們開辟了一條新的道路，尤其在求解空間角與距離的問題中，向量法極具可操作性、規律性，并具有一定的優勢.只要能夠建立恰當的坐標系、掌握好“法向量”的求解方法并學會各種角與距離的向量法求解公式，問題一般就不難解決了，但必須要保證運算的精準!

2010年的文、理科立體幾何試題均是圖形翻折問題，這讓一部分學生“投降了”.一方面試題的難度增加，但更大一部分是學生在考試中遇到難點及不順，面對新題及困難時的心態調整和戰勝困難的勇氣等非智力因素還有待提高.對我們而言，今后數學的教與學任重而道遠.