供水系統水泵裝置更新維護費用的優化分析

王曉杰，程洪霞

（太原理工大學水利科學與工程學院，山西 太原 030024）

供水系統作為一種提水排水或補給水源的水利系統工程，在水資源調配、跨流域引水、城市及工農業供水等方面舉足輕重，是解決水資源分布地域差異的有效系統工程。為保證供水系統的安全和穩定運行，必須對供水系統中的各項裝置進行適時的更新維護，而水泵作為供水系統的主體，其更新維護決策顯得尤為重要。本文給出了供水系統中水泵更新維護費用的經濟優化分析，以期在保證供水系統安全穩定運行的條件下，降低成本，提高供水系統的總效益。

1 水泵的更新與維護

水泵的更新即購買新的水泵裝置需要支付購買費。在水泵的折舊年限內，每年的購買價格有所不同，呈增加趨勢。

水泵的維護主要包括：（1）葉輪：①葉輪葉片與葉輪室的間隙測量；②葉輪和葉輪室汽蝕、磨損檢查及處理；③葉輪靜平衡試驗；④葉輪葉片密封裝置的檢查、更換、試驗；⑤葉輪體耐壓、密封試驗；⑥葉輪葉片接力器的修理或更換。（2）泵軸：①泵軸變形和軸頸、軸承磨損程度；②軸承間隙的測量、調整；③同軸度的測量與調整。（3）泵殼和懸架：主要檢測泵殼和懸架的銹蝕、裂紋、變形、損壞等情況。

水泵的維護需要支付相關的設備、實驗和人工等費用，隨著水泵使用時間的增長，每年所需的維護費用也在增加。

水泵的更新與維護都需要資金的投入，如何以最少的資金投入獲得同樣的效益，是值得泵站管理者及相關工作人員關注的一個重要問題。本文將該問題歸結為圖論中的最短路問題。

2 最短路問題的數學模型

2.1 最短路問題的基本思想

最短路問題就是在一個網絡圖中，給定一個起點，求出該起點到另一終點的權數最小的通路。最短路問題是網絡理論中應用最廣泛的問題之一。

最短路問題的一般提法如下［1］：設G=（V，E）為連通圖，圖中各邊（vi，vj）有權 lij（lij=∞表示 vi和 vj間無邊），vs、vt為圖中任意兩點，求一條道路μ，使它是從vs到vt的所有路中總權最小的路，即最小。

2.2 最短路問題的求解方法

最短路問題的求解方法有：Dijkstra算法、逐次逼近算法和Floyd算法等。其中Dijkstra算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定兩點vs和vt間的最短路，或從指定點vs到其余各點的最短路，目前被認為是求無負權網絡最短路問題的最好方法。

Dijkstra算法的基本步驟［1］如下：

采用標號法，可用兩種標號：T標號和P標號，T標號為試探性標號（tentative label），P標號為永久性標號（permanent label），給vi點一個P標號時，表示從vs到vt點的最短路權，vi點的標號不再改變。給vi點一個T標號時，表示從vs到vt點的估計最短路權的上界，是一種臨時標號，凡沒有得到P標號的點都有T標號。每一步計算都把該計算點的T標號改為P標號，當終點vt得到P標號時，計算過程結束。

計算步驟：

（1）給vs以P標號，P（vs）=0，其余各點均為T標號，T（vi）=+∞。

（2）若vi點為剛得到P標號的點，考慮這樣的點vj∶（vi，vj）∈E，且 vj為 T 標號，則 vj的 T 標號為：T（vj）=min［T（vj），P（vi）+lij］。

3 實例仿真與分析

現以某型號離心泵（一臺）為例進行分析。每年年初做出購買決定，若購買新的水泵，要支付購買費，若使用舊的水泵，要付維護費。在購買新泵的第二年不考慮更換，因為泵正常運行的情況下，經過合理的維護，其運行效率不會有明顯降低。［2］制定一個 12年的更新計劃（對于離心泵，其折舊年限為 12年［3］），使總支出費用最少。

根據多年來該水泵的價格走勢，對未來的價格做出預測，以等差數列的形式表示購買費。每年基本折舊率按8.08 %計算，每年平均大修理費按6 %計，凈殘值占原值按3 %計，［3］可得出水泵的維修費與余值，見表1。

考慮到水泵更新的當年舊水泵不一定能夠賣出，例如用了一年后的水泵如果沒有賣出，即實現不了4 596元的余值，但水泵仍可實現最終的殘值150元，所以采用余值的期望收益來表示。

一個決策變量的期望值，就是它在不同自然狀態下的損益值（或機會損益值）乘相對應的發生概率之和，即式中， )(Eja表示變量aj的期望值，Vij表示變量aj在自然狀態θi下的損益值（或機會損益值），)(Piθ表示自然狀態的θi發生概率。［4］這里取余值變現的概率為0.9，余值未變現的概率為0.1，可得到各年份期望余值（見表1）。

圖1 路徑示意圖

該問題的路徑見圖1，用點vi表示第i年年初購進水泵裝置，虛設一點v13，表示第12年年底。邊（vi，vj）表示第i年年初購進的水泵裝置使用到第j年年初，即第j－1年年底。

邊（vi，vj）上的權重表示第i年年初購進的水泵裝置，使用到第j年年初所需支付的購買和維護的全部費用（由表1計算得到）。例如（v1，v3）邊上的1 357是第一年初購買費5 000加上兩年的維修費50、95，減去第2年水泵裝置的余值3 788；（v3，v6）邊上的1 961是第三年初購買費5 100加上3年維修費50、95、140，減去水泵余值3 424。同理，可得各邊上的權重（見表2）。

表2 邊（vi，vj）上的權重lij （元）

運用Dijkstra算法作如下計算：

（1）首先給v1以P標號P（v1）＝0，給其余所有點T標號，T（vi）＝+∞（i＝2，3，…13）。

（2）v1為剛得到P標號的點，考慮點v1，有：T（v3）＝min［T（v3），P（v1）+l13］＝min［+∞，0＋1357］＝1357。

同理可得：T（v4）＝1 861；T（v5）＝2 409；T（v6）＝3 003；T（v7）＝3 642；T（v8）＝4 325；T（v9）＝5 054；T（v10）＝5 827；T（v11）＝6 646；T（v12）＝7 520；T（v13）＝8 450。

（3）比較所有T標號，T（v3）最小，所以令P（v3）=1 357，并記錄路徑（v1，v3）。

依此類推，可得計算結果見表3。

表3 最小路徑記錄表

綜上所述，從v1到v13的最短路為v1→v6→v13，路長為7 578。所以決策者可以選擇的方案為：在第一年初和第六年年初購進新水泵，在其余年份進行合理維護。此方案總支出費用為7 578元。

4 結束語

本文針對供水系統中水泵裝置的更新維護費用問題，主要做了以下工作：①建立了網絡理論中的最短路優化數學模型；②根據模型得出水泵裝置更新維護的經濟費用，并提供了最優決策方案；③考慮到余值變現的不確定性，運用概率的思想，采用期望余值的方法。通過以上的決策模擬過程，可以為供水系統中水泵裝置的更新維護提供更經濟合理的方案，從而為供水系統安全穩定運行節約成本，提高其總效益。另外，文中實例的數學模型是在水泵正常運轉的條件下建立的，對于事故水泵以及實際中余值變現的概率，決策者應根據實際情況作具體分析，從而實現在確保水泵裝置安全運行的條件下更新維護費用最低的目標。

1 胡運全主編.運籌學教程（第2版）.北京：清華大學出版社，2003

2 趙玉香.水泵修復與涂護工藝的方法探討.中國農村水利水電，2008.4：113～114

3 武漢水利電力大學主編.泵站技術管理規程（SL255－2000）.北京：中國水利水電出版社，2000

4 張所地著.管理決策論.北京：中國科學技術出版社，2005