基于格林函數聲表面波換能器的分析

張永剛

（安徽理工大學 電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001）

0 引言

聲表面波是指沿著彈性固體表面傳播的彈性聲波[1]，在彈性固體單個表面上鍍一層叉指形狀的金屬薄膜電極，就構成聲表面波換能器，它是聲表面波器件的核心。在換能器電極上加載激勵信號電壓，彈性固體內就會有聲表面波的產生。適當改變金屬電極的間隔、數目、長度以及形狀等參數，就能夠得到聲波的不同傳輸特性。聲表面波器件的功能就是通過電極對介質內傳播的聲表面波進行處理來實現信號采集與處理的功能[1]。近年來，聲表面波器件在通信領域的地位越來越重要，隨著半導體工藝水平的提高，聲表面波器件的應用領域不斷擴大：從信號采集、衛星通信、雷達制導、無線遙控、廣播電視到移動通信、無繩電話等都廣泛使用聲表面波器件。

格林函數法是分析聲波器件的一種常用方法，這種方法就是是針對特定邊界條件建立相應的格林函數，用它表示系統中某點的激發源在另一點建立的響應，任意場量都可寫成格林函數同物理激發量的空間分布的卷積[2]。格林函數直接表征了對應物理系統的基本特征，分析格林函數就可獲得系統的基本物理特征。

1 格林函數分析原理

在換能器電極上加載激勵電壓，換能器的介質內就會產生聲表面波，換能器產生聲表面波的傳遞函數和電極上的電荷分布之間存在線性關系，所以可以由電極上的電荷分布計算出聲波的大小，可以把電極上的電荷分布看成產生聲表面波的源。格林函數表示如下[1]：

其中 Ge( x)為靜電場部分， Gs( x,ω)為聲表面波部分，Gb( x,ω)為體聲波部分。

在聲表面波器件中，由于換能器表面的機電耦合不是很強，其它作用比聲表面波作用弱得多，對表面換能起主要作用的是靜電荷。若其它作用省略，只考慮 Ge( x)，這種近似分析稱為準靜態分析，那么有：

相應的格林函數 Ge( x) 表達式為[1]：

其中0ε是真空中的介電常數，常數上式中格林函數 Ge( x)表達式中的積分值為無窮大，考慮假設在x=x0有一個+δ電荷，在 x=-x0處有一個對應的-δ電荷，這時有：

根據定積分公式：

可以得到：

式（6）和式（3）都是 Ge( x)的表達式，它們之間相差一個常數，這個常數的值為無窮大。只要電荷總和為 0，式中正電荷的常數總能和負電荷的常數相抵消。所以在總的電荷為0的條件下，用式（6）代替式（3）是允許的[1]。

當已知電極上的激勵電壓，求換能器上的靜態電荷分布時，通?？梢圆徊捎蒙鲜鐾耆馕龅姆椒?，可以采用解析方法和數值方法相結合方法[3-4]：把換能器上每個電極等分成偶數段（如圖 1所示），每一段的中心位置依次設為：x1,x2,…,xn，(n=1,2,…,m, m為小段總數)，設電極上每一小段的長度為Δx。

如果設換能器電極上的激勵電壓為ψ(x)，電極上電荷分布為σ(x)，激勵電壓和電荷分布之間的關系為：

這個方程的系數是由元素Aij組成的矩陣 A。當Δx→0時,m→∞，此矩陣方程和下面公式相同：

其中系數矩陣元素：

對于系數矩陣Aij:當Δx→0,且i=j時,Aij趨于無窮大。這個式子也無法計算出正確的結果,消除無窮大的方法是令:可知系數矩陣A是對稱矩陣，即 Aij= Aji。

可以把式（7）進行變換，以電極上的激勵電壓為已知量，電荷分布為未知量，方程可轉化為：

方程系數是由Bij組成的矩陣B，根據矩陣A的性質可知矩陣B是矩陣A的逆矩陣而且有：

2 計算結果

設聲表面波換能器的壓電基體上有5個電極，電極寬度等于電極之間的間隙寬度。本文計算的第一種情況是在換能器中間電極上加載單位直流電壓，其他4個電極接地（如圖2所示），采用格林函數方法得到的靜態電荷分布如圖3所示。為了對結果加以對比，我們采用有限元方法計算出相同電壓激勵下的靜態電荷分布[5]，把兩種方法計算結果放在一起進行比較（如圖 3所示）?？梢钥闯龈窳趾瘮捣ńY果和有限元法的的結果是基本一致的，圖3中縱坐標數值要乘以10-10。

圖2 中間電極加單位直流電壓激勵

中心電極加載單位直流電壓，其他電極接地的激勵方式是計算換能器電荷分布的基本方式，對于其它電極上的不同電壓激勵，除了可以采用前面描述的式（11）來直接求解外，也可以通過把上述求解的結果疊加來求電極上的電荷分布。

第二種情況是在換能器相鄰的電極上加載極性相反的單位直流電壓（如圖 4所示）。采用采用格林函數法計算，得到換能器電極上的電荷分布如下頁圖5所示。

圖4 正負相反加載單位直流電壓激勵

圖5 正負相反加載單位直流電壓時的電荷分布

圖5（縱坐標數值要乘以10-11）中，邊緣電極和中間電極上的電荷分布差別較大，原因是換能器中不同位置電極的周圍環境不同，造成每個電極上電荷分布也會有所不同。比如中間的電極的左右環境是相同的，所以這個電極上的電荷分布是左右對稱的，而換能器邊緣的電極左右電極排列不同，即它的左右環境不同，同時也不同于中間電極，所以邊緣電極上電荷分布是不對稱的，也不同于中間電極的電荷分布。

3 結語

在換能器電極上加載激勵電壓，換能器介質將電信號轉換成聲信號，這是物理學中的一類非常普遍的問題，格林函數是解決這一類問題的適用方法，本文采用格林函數法對聲表面波換能器的表面換能問題進行分析，計算換能器電極上的靜態電荷分布并與有限元法的計算結果進行比較，兩種方法的結果是一致的。格林函數法對聲表面波換能器的分析可以用來求聲換能器的其它參數,為聲表面波器件的設計優化與建模提供精確的數據。

[1] 水永安.聲表面波與聲表面波器件講義[M].南京:南京大學,1998:202-205.

[2] Arfken G, Mathematical Methods for Physicists[M]. 3rded. New York: Academic.1985:78-94.

[3] Morgan D P. Surface-Wave Devices for Signal Processing[M]. New York:Elsevier. 1985:49-52.

[4] Milsom R F, Reily N H C, Redwood M. Analysis of Generation and Detection of Surface and Bulk Acoustic Waves by Interdigital Transducers[J].IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonic.1997,24(03):257-263.

[5] 張永剛.基于有限元法的聲表面波換能器電荷分布的靜電解[J].聲學與電子工程,2007(03):31-33.