基于球碼的空頻碼研究

王軍生， 程智慧， 雷向勇， 何儀周， 許 正， 郭 峰

（北京1481信箱，北京 102442）

0 引言

在MIMO瑞麗平衰落信道下，空時(shí)碼可獲得空間分集增益[1-2]。目前空時(shí)碼的研究領(lǐng)域主要集中在發(fā)射天線數(shù)nt數(shù)較小領(lǐng)域，究其原因，就是因?yàn)樵诟咚俅a元下最大似然譯碼譯碼難以實(shí)時(shí)譯碼。那么，能否采用利用差分幾何結(jié)構(gòu)將球分組/碼和空時(shí)分組/碼結(jié)合起來(lái)解決高速實(shí)時(shí)譯碼的問題呢？答案是肯定的。由于球碼在不改變碼間距離的情況下可平滑轉(zhuǎn)化為空時(shí)碼，且變換后的接收信號(hào)性能在一定程度上可控，本文將這種結(jié)合編碼稱為“球空頻碼”，在譯碼過(guò)程中，采用預(yù)分組旋轉(zhuǎn)格子算法，解決了高速大容量碼元難以實(shí)時(shí)極大似然譯碼的難題，并適用于任意天線數(shù)。

1 信道模型

符號(hào)說(shuō)明：x? = FFT( x)， x′ = IFFT( x) = FFT+(x)，-、t、+分別表示矩陣復(fù)共扼、轉(zhuǎn)置、厄米特轉(zhuǎn)置。1、0分別表示單位陣、零矩陣。(I)FFT矩陣由酉陣 ω= e-(2πi/K)的K階復(fù)共扼根組成（K個(gè)等分點(diǎn)），CK的 調(diào) 頻 指 數(shù)（時(shí)間）轉(zhuǎn)換矩陣階標(biāo)準(zhǔn)基本向量）可通過(guò)相互轉(zhuǎn)換。

在頻率選擇性瑞麗平衰落信道下，假設(shè)K子載波數(shù)L子信道，MIMO-OFDM 系統(tǒng)發(fā)射天線nt、接收天線nτ，信參所有預(yù)發(fā)射碼元等分點(diǎn)經(jīng)IFFT變換而來(lái) K×n矩陣，t其循環(huán)前綴長(zhǎng)度為L(zhǎng)。接收端采用K等分點(diǎn)FFT變換去掉循環(huán)前綴。信道模型為噪聲矩陣，且和均服從獨(dú)立同分布

2 空頻碼設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

3 基于空時(shí)碼的空頻編碼

全分集空頻碼的設(shè)計(jì)可轉(zhuǎn)化多徑分集和碼元結(jié)構(gòu)矩陣A兩個(gè)方面[4]。對(duì)于某一T而言，根據(jù)式(2a)和(2b)構(gòu)建空時(shí)最后符合式（2c）的空頻 碼[4]如下：(忽略循環(huán)前綴的)空頻碼元速率R與“內(nèi)部”空時(shí)碼元速率滿足 R = (T / K)。此外，空頻碼要獲得最大分集，則要求T≤K /L。因此碼元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)目標(biāo)就是T=K/ L。令：

4 基于球碼的空時(shí)分組

在兩個(gè)同質(zhì)性空間中各取一個(gè)“基”點(diǎn)，例如球體的N極和Stiefel空間的點(diǎn)，通過(guò)指數(shù)映射，兩空間上的所有點(diǎn)在相應(yīng)的正切空間上具有等效地址。

假設(shè)存在某一正交基{Yi}，則從球切面空間到Stiefel切面空間正交基{ Xi}的范式映射如下：，此映射為切平面的等距映射。由于曲率的原因，非徑向距離相對(duì)于Stiefel空間中的截面曲率上界會(huì)變小。此外，最短距離僅僅是接收端“弦”距的近似值，可以看到，這兩個(gè)距離是等價(jià)的。總而言之，由于球碼可轉(zhuǎn)化為空時(shí)碼，但是最小球面距離可能會(huì)因此而變小。

5 格子球形空頻碼及分集旋轉(zhuǎn)

大分組或多子載波系統(tǒng)的高速編碼結(jié)構(gòu)一般都會(huì)遇到難以實(shí)時(shí)譯碼的難題，故須對(duì)碼字結(jié)構(gòu)作必要的優(yōu)化。在碼元中內(nèi)嵌代數(shù)結(jié)構(gòu)的目的就是提供碼字預(yù)處理運(yùn)算法則，編碼(1→8)/譯碼(8→4)編譯碼過(guò)程如下所示，這里符號(hào)說(shuō)明：K表示子載波數(shù)，nt表示發(fā)射天線數(shù)，L表示子信道數(shù)，ds表示對(duì)象(球)最小距離，C表示空時(shí)頻碼：

① D ← nt(2 T - nt),T ← K/ L ，然后選擇合適的格子矩陣 Λ ?RD以合適的ds；

② 根據(jù)預(yù)處理算法[5]得到球碼(Cs,ds)，并將Cs投影到球北極點(diǎn)的切面空間 TNSD內(nèi)；

以上算法無(wú)法直接優(yōu)化分集積PF而導(dǎo)致分集損失。故在預(yù)編碼算法中引入旋轉(zhuǎn)格子算法，該算法本身并不會(huì)降低譯碼性能。對(duì)角線元素e定義為所有基本向量的旋轉(zhuǎn)軸，假設(shè)We為正交矩陣及個(gè)(D- 1) ×(D- 1)的上三角全為1的反對(duì)稱矩陣，則R1是關(guān)于e1軸的α次旋轉(zhuǎn)矩陣，的旋轉(zhuǎn)軸。

6 仿真與討論

仿真環(huán)境：nt= 2，L=2，空時(shí)碼分組長(zhǎng)度T=4，相應(yīng)的格子維數(shù)D=12，系統(tǒng)碼字子載波K=LT= 8,接收端采用最大似然估計(jì)譯碼。分組長(zhǎng)度為 2、子載波K=2L= 4的Alamouti架構(gòu)空時(shí)/頻碼作為對(duì)比仿真。當(dāng)K偏小時(shí)，分集增益損失較大，當(dāng)K較大時(shí)，則冗余過(guò)多。在仿真圖上，球空頻碼元速率R= 1.95,1.71,1.65,1.64時(shí)對(duì)應(yīng)的 8－PSK調(diào)制Alamouti架構(gòu)R=1.5空頻碼R=1.5。當(dāng)球空頻碼元速率R= 1.32,1.15,1.04時(shí)，對(duì)應(yīng)的QPSK調(diào)制Alamouti架構(gòu)空頻碼R=1.0。為獲得更佳分集增益，圖中所有的球空頻碼均經(jīng)過(guò)α= π/2的分集旋轉(zhuǎn)處理。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 球空頻碼與Alamouti架構(gòu)下DPSK、QPSK的性能比較

仿真結(jié)果說(shuō)明：在高速時(shí)，球空頻碼比相應(yīng)的Alamouti架構(gòu)碼性能更好。在中速時(shí)，Alamouti架構(gòu)碼性能還是比球空頻碼要好一些。由于采用分集旋轉(zhuǎn)，所有的碼字都擁有了全分集。

7 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于文獻(xiàn)[4]的適用于任意信道參數(shù)的全分集球空頻碼，其速率取決于格子維數(shù)和最小距離。通過(guò)格子旋轉(zhuǎn)，球空頻碼可獲得全分集。根據(jù)式(5)，多徑分集可通過(guò)載波的發(fā)射能量進(jìn)行控制。仿真結(jié)果表明：在高速碼元時(shí)，基于旋轉(zhuǎn)格子算法的編譯碼復(fù)雜度在可控范圍內(nèi)、譯碼復(fù)雜度適度。本文精心構(gòu)建的編碼算法，在一定程度上提高了碼元設(shè)計(jì)性能，降低了譯碼復(fù)雜度，可運(yùn)用于CDMA系統(tǒng)。

[1] 程智慧,張勇,雷向勇,等.循環(huán)群酉空時(shí)碼的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].通信技術(shù),2009,42(12):223-225.

[2] 程智慧, 張勇,逄大鵬,等.多發(fā)射天線的差分酉空時(shí)調(diào)制信號(hào)星座圖[J].通信技術(shù), 2009,42(10):41-42,45.

[3] Hochwald B M, Marzetta T L. Unitary Space-time Modulation for Multiple-antenna Communications in Rayleigh Flat Fading[J].IEEE Trans Inform Theory,2000(03):543–565.

[4] olcskei H B, Borgmann M, Paulraj A. Space-frequency Coded MIMO-OFDM with Variable Multiplexing-diversity Tradeoff[J].Communications,2003(05):2837-2841.

[5] Hamkins J, Zeger K. Asymptotically Dense Spherical Codes—part I: Wrapped Spherical Codes[J]. IEEE Trans Inform Theory,1997(06):1774-1785.