一種指數型變步長仿射投影算法

范永全， 周 波

（①西華大學 數學與計算機學院，四川 成都 610039；②中國電子科技集團第30研究所，四川 成都 610041）

0 引言

當輸入序列為有色信號或有較強相關性時, 常用的最小均方算法(LMS)[1]以及歸一化算法(NLMS)[2]的收斂速度和精度明顯下降，仿射投影算法(APA)[3]較好地解決了上述問題,因而得到了廣泛應用。類似于LMS算法，APA算法的步長選擇影響算法的收斂速率和穩態失調。為了解決快速收斂和低失調之間的矛盾，需要對步長進行控制。文獻[4]提出了一種度量濾波器距離最優性能的接近程度的準則，并推導出一種變步長APA(VS-APA)算法，該算法具有較高的估計精度，但收斂速度較慢。為此，文獻[5]提出了改進的 VS-APA-FF算法，通過引入衰減矩陣對投影矩陣進行加權處理，來降低參數估計的均方偏差。該方法加快了收斂速度，但增加了算法運算量，并且當濾波器階數較高時，經過衰減處理的投影矩陣容易出現病態，導致對投影誤差的估計變差。為此，文獻[6]對加權投影矩陣引入正則項，提高了上述方法的魯棒性，但由于衰減因子帶來的計算量仍然較大。文獻[7]提出了基于時變平滑因子的VS-APA(VS-APA-VSF)算法。該算法采用投影的加權誤差向量的范數作為判斷優化距離的準則，從而把平滑因子在兩個不同值之間切換。但該算法需要根據投影誤差范數的變化趨勢確定“觸發點”，實現較為復雜。為此，本文提出了改進的指數型變步長 APA算法(VS-APA-EXP)，該方法將投影誤差范數通過指數函數的映射直接得到平滑因子，實現更為簡單。

1 變步長仿射投影算法(VS-APA)

考慮有色輸入下的信道盲辨識問題，通過自適應調整濾波器權值使得濾波器輸出能跟蹤期望信號的變化。設Xk表示輸入向量，且L為濾波器的抽頭數，期望的濾波器輸出dk可表示為：

其中Wo是未知的估計的權值向量，nk是零均值的高斯噪聲。使用仿射投影算法(APA)，Wo的估計值可按下式計算：

Shin H.C.提出了一種次優的變步長APA算法[4]，本文以VS-APA表示：

2 改進的指數型VS-APA算法

VS-APA算法中平滑因子α對算法性能的影響如下：較小的α使得μ對誤差敏感，從而初始收斂速度較快，但穩態失調偏大；而較大的α使得μ對誤差化不太敏感，從而穩態失調較小，但算法收斂慢。VS-APA算法采用固定的平滑因子，難以找到收斂速率和失調的平衡點。為此，文獻[7]提出可變平滑因子的VS-APA-VSF算法,其平滑因子α的更新策略為：

① α取較小值以便算法在權值更新的初始階段，算法可以有效跟蹤誤差信號；

② 當權值接近最優時，α取較大值，使得步長平滑遞減，從而收斂過程對誤差信號的敏感度下降。此時，較大的α類似一個“減震器”，抑制權值偏離最優值。

該方案使用“觸發點”將平滑因子分為兩個級別：αmin和αmax，其中 0＜ αmin＜ αmax＜ 1。VS-APA-VSF算法把加權投影誤差向量的范數作為判斷權值矢量與最優值的接近程度，考察隨迭代次數變化的特性，把下降曲線的第一個逆轉點作為“觸發點”，進行平滑因子 α的切換，相應的公式為：

其中kc是滿足的第一點。在相同條件下該算法比VS-APA具有更好的收斂性能。在初始階段VS-APA-VSF算法收斂加快，且穩態失調較小。但是該算法根據前后時刻的值的變化，確定“觸發點”并切換平滑因子，實現復雜，不利于實際應用。為此本文提出了時變平滑因子指數更新策略，將的值通過指數函數 e-x直接映射為平滑因子α的值，該函數滿足如下條件： α取值在(0,1)之間；越大，α越接近于0，否則越接近于1。從而得到如下平滑因子的轉移函數

其中 exp(·)表示以 e為底的指數函數，從而可得到本文的VS-APA-EXP算法。根據不同的值，可直接得到平滑因子α的值，無需判斷“觸發點”并切換平滑因子。圖1(a),圖1 (b)分別為投影誤差的范數與平滑因子α值隨迭代次數的變化曲線。可以看出，當權值偏差較大時，較大的值對應較小的α值；反之當較小時對應較大的α值。因此，這種指數更新方案剛好滿足算法對平滑因子的要求。本文提出的VS-APA-EXP算法總結如下：

初始化：

迭代計算：

圖1 與α值的變化曲線

3 仿真結果

下面通過有色噪聲下的信道參數的盲辨識來驗證本文算法(VS-APA-EXP)的性能，并與固定平滑因子的 VS-APA算法[4]、VS-APA-VSF[7]算法和常規的 APA算法比較。未知信道用L個抽頭的FIR濾波器建模。并且假設自適應濾波器與未知信道的抽頭數相同。有色輸入信號是通過把高斯隨機序列通過如下的二階系統[8]而產生的。

加入測量噪聲使得 SNR=30 dB。常規 APA算法的步長μ= 0.01，VS-APA算法采用固定的平滑因子α=0.99,μmax=1。圖2,圖3為幾種APA算法在有色輸入信號下采用不同數據重用因子P時的均方偏差(MSD)收斂曲線的比較，對應參數的取值參見圖下的說明文字，仿真結果為 50運行取平均值。

圖2為P=4時的MSD性能曲線，其中。可以看出，APA算法均方偏差和穩態失調都比較大；VS-APA算法優于常規APA算法，但收斂較慢；VS-APA-VSF算法略好于 VS-APA算法；本文算法的MSD性能比VS-APA和VS-APA-VSF改善了10 dB以上，且收斂速度較快。圖3為P=8時的MSD性能曲線，與上圖具有類似的結果。本文算法的MSD比VS-APA算法改善了5 dB左右，比VS-APA-VSF算法改善了7 dB。

圖2 均方偏差收斂曲線, P=4,L=8,C=0.1

圖3 均方偏差收斂曲線, P=8,L=16,C=0.15

4 結語

針對文獻[7]提出的VS-APA-VSF算法實現復雜的問題，本文提出一種改進的指數型變步長仿射投影算法，將投影誤差范數的估計值通過指數函數的映射直接得到平滑因子α的值。該方法實現簡單，無需切換平滑因子。與常規的 APA算法、以及VS-APA[4,7]中的算法相比，本文算法具有更快的收斂速度和更小的均方偏差。本文算法的有效性通過有色輸入下的信道辨識得到了驗證，并且對類似的自適應信號處理問題有重要的參考價值。

[1] 孫靜，陶智，顧濟華，等.基于 LMS自適應濾波的耳語音增強的研究[J].通信技術, 2007,40（12）:394-396.

[2] 任曉亞，宋愛民.自適應算法在干擾抵消器應用中的比較研究[J] .通信技術,2007,40（12）:48-50.

[3] 西蒙·赫金.自適應濾波器原理[M].第 4版.北京：電子工業出版社,2003:261-267.

[4] Shin H C, Sayed A H, Song W J. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms[J].IEEE Signal Processing Letters.2004,11(02):132-135.

[5] Dai T, Shahrrava B, Chen X. A Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted Projection Matrix[C]. SK,Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Saskatoon: 2005:320-323.

[6] Dai T, Adler A, Shahrrava B. Variable Step-Size Affine Projection Algorithm with A Weighted and Regularized Projection Matrix[C].Canada: IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE)-Ottawa, 2006:1201-1204.

[7] Dai T, Shahrrava B. Variable Step-Size NLMS and Affine Projection Algorithms with Variable Smoothing Factor[C].OH,USA: IEEE International 48th Midwest Symposium on Circuits and Systems-Cincinnati, 2005:1530-1532.

[8] Choi Y S, Shin H C, Song W J. Adaptive Regularization Matrix for Affine Projection Algorithms [J].IEEE Trans Circuits System II. 2007, 54(12):1087-1091.