兩彈性接觸粗糙低速滑動表面溫升的分形模型

田紅亮 朱大林 秦紅玲

(三峽大學機械與材料學院,湖北宜昌 443002)

原子級的力學、化學和電現象一般都靠熱能輔助或激發,因而大多數的表面行為與溫度有關.在滑動過程中,工況條件對摩擦磨損的影響往往由溫升引起,許多材料的力學性能和潤滑性能隨界面溫升而退化,從而影響其摩擦學行為.因此,摩擦界面的溫升計算是十分重要的.傅里葉(Fourier)于1822年采用無窮級數表示理論解的方法開辟了數學求解的新途徑,被公認為導熱理論的奠基人.

Zhang等[1]提出了非傅里葉熱傳導方程的兩種精確解.布洛克[2]對微接觸點的閃溫進行了理論性分析.阿查德[3]分析了圓形微接觸點的溫度分布.耶格爾[4]推導了不同滑動速度范圍的溫度分布.田紅亮等[5]修正了MB模型的兩個缺陷.Wang和Komvopoulos[6]修正了MB模型[7],提出了低速滑動區域界面溫度分布的分形理論.霍姆[8]計算了滑動接觸的溫升.Ray和Chowdhury[9]對納米表面粗糙度滑動體的接觸閃溫進行了預測.

本文根據球形微凸體的赫茲接觸理論和MB模型,對微接觸點的穩態溫升、瞬態溫升進行了分析,得到了低速滑動區域內的分形區域實際接觸面積溫升概率分布密度的封閉形式表達式.

1 兩彈性接觸表面的穩態溫升

目前關于表面結構的研究幾乎均基于兩千多年前希臘人歐幾里得(Euclid)的幾何學,傳統的表面粗糙度表征參數也均基于統計學,然而許多復雜的表面結構難以用歐幾里得幾何學描述清楚,傳統參數隨度量區間和測量尺度的變化將表現出不穩定性,即與尺度有關.實際上許多看似復雜的表面結構具有一種被忽視的重要性質,即標度不變性.分形參數具有尺度獨立性,能反映粗糙表面的內稟特性.用分形參數表征表面可比較有效地反映表面的復雜、不規則性和粗糙程度,在一定程度上克服了傳統粗糙度參數尺度相關性的不足.粗糙表面的輪廓曲線可以用 Weierstrass-Mandelbrot函數z(x)來表征.處處連續、點點不可微、統計學自相似性的Weierstrass-Mandelbrot函數[10]為

式中,L為分形樣本長度;G為分形粗糙度參數;D為表面輪廓分形維數,1≤D＜2,D=1.5對應的運動為分形布朗運動(是一種經典的隨機數生成方法,由植物學家Brown于1827年從液體上懸浮顆粒的隨機運動而發現);γ為譜密度的尺度參數,γ＞1,對于服從正態分布的隨機表面,取γ=1.5較為合適(可適于高頻譜密度及相位的隨機性);n為非負整數;x為表面的采樣長度坐標.

當L=3mm、G=3×10-7mm、γ=1.5時,不同分形維數的表面輪廓高度如圖1所示.根據圖1,分形維數由小變大,摩擦副表面由粗糙變得光潔,表面形貌逐漸精細復雜,其分形特征更明顯.此外還有一個非常令人吃驚的現象是,若在圖1(a)、1(b)、1(c)中均取n=1747,則Matlab軟件得不到計算結果,因為Matlab軟件計算2π×1.51747的結果是Inf(正無限大),計算cos(2π×1.51747)的結果是NaN(非數值),本質上是cos(+∞)無意義[11],有人稱Weierstrass-Mandelbrot函數是一個“數學怪物”,人們無法用傳統的歐幾里得幾何語言去描述它的局部和整體性質[12].

兩彈性接觸粗糙接觸體接觸點數-尺寸的關系為

式中,K為待定比例常數;Nr(a′)為接觸點數;a′為一個微接觸點的平截面積.

一個微接觸點的平截面積a′的尺寸分布為

式中,a′L為一個最大微接觸點的平截面積,下標 L表示最大(Largest).

一個分形區域的實際接觸面積為

式中,下標 rf表示實際(real)分形(fractal).

將式(5)代入式(3),得

式中,aL=0.5a′L為一個最大彈性微接觸點的面積.

微接觸點的擴展尺寸分布滿足

式中 ,a′a、a′b分別為擴展非零域的平截面積下限、上限;ne(a′)為一個微接觸點的擴展尺寸分布,下標e表示擴展(extended).

若最大微接觸點平截面積a′L的數量為1,由式(2)得

將式(11)分別代入式(7)、(8),得

式中 ,η=a′a/a′L＜1 為域分開系數;ψ=a′b/a′L＞1 為域擴展系數.將式(12)代入式(13),可得下列超越方程

當D→1,可得到;當D→2,利用洛必達(L'Hospital)法則可得到 ψ=e-1=1.7183,η=1-e-1=0.6321.方程組(12)、(13)的數值解見表1.

表1 域擴展系數、域分開系數的各101個離散值

由式(11)得

由式(15)、式(6)的注釋得

由式(16)得

式(17)與MB模型的結論(對所有的1＜D＜2都成立)一致.

值得注意的是,0.618是重要數學常數黃金比(古希臘數學家、哲學家 Pinthagoras發現);此時MB模型的比值為1,偏大,因而MB模型不合理.

量綱一的最大彈性微接觸點的面積、域擴展系數、域分開系數與分形維數關系如圖2所示.由圖2可見,最大彈性微接觸點的面積、域擴展系數均隨分形維數增加而線性減小,域分開系數隨分形維數增加而線性增加.

圖2 分形維數對量綱一的微面積、域擴展、分開系數的影響

將式(16)代入式(6),得

實際微接觸點的面積為

量綱一的最大Jaeger參數為

式中,v為兩接觸表面的相對低滑動速度;α為熱擴散率,單位是m2/s.

表面1微接觸點的最小溫升、最大溫升[13]、平均溫升[14]分別為

式中,下標m表示最小(minimum);下標M 表示最大(Maximum);q1為表面1微接觸點面積的面積熱流量,單位是W/m2;k1為表面1的熱導率,單位是W/(m?℃);高斯(Gauss)于1795年求出了試驗值的概率密度函數,Ts(r″)為穩態摩擦溫升的高斯概率分布函數[15],穩態摩擦溫升指系統中各點的溫升不隨時間而改變,下標s表示平穩(steady),r″為距圓周形微接觸點中心的徑向距離.

式中,ξ1為表面1的隔熱系數;f為摩擦因數;pa為微接觸點的平均壓應力,下標a表示平均(average);rs為在徑向上高斯溫度分布的標準差,下標s表示標準(standard);分別為第一類0階、1階貝塞耳(Bessel)函數.

將式(22)代入式(26),并由式(23)、(20)得

式中,C=0.5/ln(0.5π)為常數.

在一個彈性微接觸點面積上的溫升概率分布密度為

式中,a″為溫升高于Ts的微接觸點的面積;φs(Ts)的單位是℃-1.

由式(26)、(27)得

將式(29)代入式(28),得

單峰頂端的變形量為

赫茲接觸的峰頂曲率半徑為

由式(31)、(32),可得一個彈性微接觸點的法向載荷[16]為

將式(34)代入式(25),得

將式(20)、(35)代入式(23),可得表面 1或2的最大溫升為

將式(15)代入式(36),可得分形區域的最大溫升為

分形區域內的量綱一的最大溫升-量綱一的實際接觸面積關系如圖3所示.根據圖3,量綱一的最大溫升隨分形維數增加而減小;總體上隨實際接觸面積增加而線性增加;隨分形粗糙度參數增加而增加,因為此時由式(32)可得峰頂曲率半徑減小,微接觸點的壓應力增加,但當D→1,則沒有這種分形粗糙度參數效應,因為此時峰頂曲率半徑與分形維數無關.

圖3 量綱一的最大溫升-量綱一的實際接觸面積關系

在實際接觸面積上的溫升概率分布密度為

式中,A″是分形區域中溫升高于Ts的總實際接觸面積,φ(Ts)的單位是℃-1.

式(40)與式(28)之間的關系為

通過積分變換[17]和式(20),式(41)可改寫為

將式(15)、(43)代入式(42),得

式(36)除以式(37)得

或得到一個函數

由式(22)、(23)、(45)得

或得到另一個函數

量綱一的一個微接觸點平截面積-量綱一的溫升關系如圖4所示.根據圖4,溫升隨微接觸點平截面積增加而增加;隨分形維數增加而增加,當D→2時,溫升與微接觸點平截面積無關.

圖4 量綱一的平截面積-量綱一的溫升關系

積分閉區域如圖4所示的陰影部分.將式(30)代入式(44),并由式(46)、(48)得

實際接觸面積的溫升概率分布密度-一個微接觸點的溫升關系如圖5所示.根據圖5,導致曲線下降的原因是當溫升增加時,受給定溫升的微接觸點數減小.

圖5 溫升概率分布密度-溫升關系

2 兩彈性接觸表面的瞬態溫升

瞬態溫升指系統中各點的溫升隨時間而改變.考慮瞬態效應,當圓形微接觸點置于熱源中t時間后,表面1的最大溫升為

對Zhang-Tian-Zhu模型進行修正,可得近似等式[18]為

式中,wsh為張學良函數.

一個微接觸點的工作時間為

式中,N≥1為一個微接觸點的工作長度系數.

將式(53)代入式(50)的注釋,得

將式(20)、(21)代入式(54),并由式(42)注釋的第二部分得

圖6 量綱一的最大溫升-量綱一的參數關系

3 結 語

根據球形微凸體的赫茲接觸理論和MB模型,對微接觸點的穩態溫升、瞬態溫升進行了分析,得到了低速滑動區域內的分形區域實際接觸面積溫升概率分布密度的封閉形式表達式.

摩擦副表面粗糙度、最大彈性微接觸點的面積、域擴展系數均隨分形維數增加而減小,域分開系數隨分形維數增加而線性增加.最大溫升隨分形維數增加而減小,總體上隨實際接觸面積增加而線性增加,還隨分形粗糙度參數增加而增加.當溫升增加時,給定溫升的微接觸點數減小會導致實際接觸面積的溫升概率分布密度下降.

考慮了各微凸體相互作用的瞬態溫升效應,而在低速滑動區域可以不考慮其影響.

[1]Zhang Youtong,Zheng Changsong,Liu Yongfeng,et al.Two Exact Solutions of the DPL Non-Fourier Heat Conduction Equation With Special Conditions[J].Acta Mechanica Sinica,2009,25(2):205-210.

[2]Blok H.Theoretical Study of Temperature Rise at Surfaces of Actual Contact Under Oiliness Lubricating Conditions[J].Proceedings of the General Discussion on Lubrication&Lubricants:the Institution of Mechanical Engineers,1937,2:222-235.

[3]Archard J F.The Temperature of Rubbing Surfaces[J].Wear,1958-1959,2:438-455.

[4]Jaeger John Conrad.Moving Sources of Heat and the Temperature at Sliding Contacts[J].Journal and Proceedings of the Royal Society of New South Wales,1942,56:203-224.

[5]田紅亮,朱大林,秦紅玲.MB模型的修正及應用[J].三峽大學學報:自然科學版,2009,31(6):54-59,66.

[6]Wang S,Komvopoulos K.A Fractal Theory of the Interfacial Temperature Distribution in the Slow Sliding Regime:PartⅠ ——Elastic Contact and Heat T ransfer Analysis[J].Journal of Tribology,1994,116(4):812-823.

[7]Majumdar A,Bhushan Bharat.Fractal Model of Elastic-Plastic Contact Between Rough Surfaces[J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.

[8]Holm Ragnar.Calculation of the Temperature Development in a Contact Heated in the Contact Surface,and Application to the Problem of the Temperature Rise in a Sliding Contact[J].Journal of Applied Physics,1948,19:361-366.

[9]Ray Sudipto,Chowdhury S K Roy.Prediction of Flash Temperature at the Contact Between Sliding Bodies With Nanoscale Surface Roughness[J].Journal of T ribology,2007,129(3):467-480.

[10]Berry M V,Lewis Z V.On the Weierstrass-Mandelbrot Fractal Function[J].Proceedings of the Royal Society of London,1980,370(1743):459-484.

[11]盧文祥,杜潤生.機械工程測試?信息?信號分析[M].2版.武漢:華中科技大學出版社,2004:36-37.

[12]李水根.分形[M].北京:高等教育出版社,2006:1-3.

[13]Bhushan Bharat.Introduction to Tribology[M].葛世榮,譯.北京:機械工業出版社,2007:162.

[14]Holm Ragnar.Temperature Development in a Heated Contact With Application to Sliding Contacts[J].Journal of Applied Mechanics,1952,19(3):369-374.

[15]Carslaw Horatio Scott,Jaeger John Conrad.Conduction of Heat in Solids[M].2nd ed.Oxford:Clarendon Press,1986:214-216.

[16]Farhang K,Lim A.A Kinetic Friction M odel for Viscoelastic Contact of Nominally Flat Rough Surfaces[J].Journal of Tribology,2007,129(3):684-688.

[17]田紅亮,朱大林,秦紅玲.兩彈性接觸粗糙表面的最小二乘法擬合解[J].三峽大學學報:自然科學版,2009,31(3):62-66.

[18]張學良.機械結合面動態特性及應用[M].北京:中國科學技術出版社,2002:27-28.