基于遺傳算法的交叉滾子軸承優化設計

張 鋼，阮 娟，殷慶振，張 雪，蔣德得，劉 瑩

(上海大學 軸承研究所，上海 200072)

交叉滾子軸承廣泛應用在機器人關節、減速器、旋轉單元、加工中心轉臺、醫療設備、精密轉臺、測量裝置、IC卡制造設備和紡織機械等領域。大型交叉圓柱滾子轉盤軸承還應用于礦山機械、建筑工程機械等大型回轉臺上。下文采用遺傳優化算法建立了交叉滾子軸承的結構優化數學模型，對軸承的結構設計參數進行了多目標遺傳優化設計計算。結果表明，通過改進軸承的內部結構可以顯著提高軸承的額定動載荷，從而提高軸承的額定壽命。

1 交叉滾子軸承的優化設計

優化設計必須建立軸承優化設計的數學模型，包括目標函數、約束條件和優化算法的選定。

1.1 目標函數

軸承優化設計的目標函數通常包括：疲勞壽命最長；旋滾比最小；耐磨壽命最長；摩擦力矩最小；額定靜載荷最大或者包含多項指標的多目標函數[1]。

考慮到在實際應用中要求交叉滾子軸承具有承載能力高、轉速高、回轉精度高、安裝簡便等特點，認為交叉滾子軸承的旋滾比、耐磨壽命和摩擦力矩等使用性能比較充裕，并不是要解決的主要矛盾，而疲勞壽命和額定靜載荷對交叉滾子軸承的使用性能具有相當重要的意義[2]。因此，優化設計時以交叉滾子軸承的疲勞壽命最長和額定靜載荷最大組建多目標函數。

圓柱滾子軸承的基本額定動載荷計算公式為[3]：

(1)

式中：λv為接觸狀態系數，可參照標準查得；γ=Dw/Dpw，Dw為滾子直徑，Dpw為滾子組節圓直徑；i為滾子列數；Lw為滾子有效長度；Z為每列滾子個數。

額定靜載荷公式為[3]：

C0=44(1-γ)iLwZDw

(2)

這是多目標約束函數的優化問題，采用線性加權法確定幾個目標函數的權數，再進行相加即得到統一的目標函數。為了便于計算，通常取其負數或倒數，轉化為極小值問題，其表達式為：

F(X)=-ω1C-ω2C0

(3)

式中：F為目標函數；X為優化參數；ω為權數，根據各目標函數對交叉滾子軸承性能的影響因素，取：

ω=[0.8 0.2]

(4)

優化問題一般求的是極小值，故目標函數為：

F(X)=-0.8C-0.2C0

(5)

1.2 設計變量

從(1)和(2)式可知，有關軸承結構設計變量的參數包括滾子組節圓直徑Dpw、滾子直徑Dw、滾子有效長度Lw和滾子個數Z。根據軸承幾何學關系，確定了以上的結構參數，其他結構參數可以通過它們計算出來。因此，軸承優化設計的設計變量可表示為：

X=[DpwDwLwZ]

(6)

1.3 約束條件

1.3.1 滾子組節圓直徑

滾子組節圓直徑關系到滾子直徑的大小和套圈的厚度，進而關系到軸承的壽命。其與軸承平均直徑的差應小于規定值，取值范圍在0.5(de+di)～(0.5+e)(de+di)之間，這里de與di分別為軸承的外徑與內徑，e為規定的常數[4](e的取值為0.02～ 0.1)。交叉滾子軸承套圈壁薄且極限轉速高，其節圓直徑要相對稍大一點，根據經驗e取0.04，則滾子組節圓直徑Dpw的約束條件為：

0.5(de+di)≤Dpw≤0.54(de+di)

(7)

即有：

G1(X)=0.5(de+di)-Dpw≤0

(8)

G2(X)=Dpw-0.54(de+di)≤0

(9)

1.3.2 滾子直徑

滾子直徑Dw的變化對徑向基本額定動載荷C的影響較大，必須充分利用有限的滾子軸承橫截面積，盡可能增大Dw[4]，根據交叉滾子軸承設計經驗，Dw的取值范圍為：

(10)

轉化約束條件為：

G3(X)=0.106(de-di)-Dw≤0

(11)

G4(X)=Dw-0.212(de-di)≤0

(12)

1.3.3 保持架約束條件

保持架最小厚度h根據軸承大小和類型來確定，交叉滾子軸承保持架通常為隔離塊，為實現交叉滾子軸承的高承載能力，需要適當減小隔離塊的厚度，以增多滾子的數目，這里保持架(隔離塊)設計的約束條件可取為：

1.5≤h≤5

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3.4 滾子長度

交叉滾子軸承的滾子是相互垂直交叉地排列在夾角為90°的V形溝槽滾道面上，結合其滾道特殊性，滾子長度的約束條件[4]為：

0.6B-2Lwcos 45°≥0

(18)

G7(X)=2Lwcos 45°-0.6B≤0

(19)

式中：B為軸承寬度。

1.3.5 外圈壁厚

外圈有效壁厚是影響外圈剛度和強度以及滾子直徑和滾子長度的重要參數，最小壁厚應不小于εDw，ε為規定的常數[4](ε的取值范圍為0.3～ 0.35)，根據交叉滾子軸承特殊的內部結構和設計經驗，ε取0.3，因此外圈壁厚的約束條件可以表示為：

(20)

(21)

在所有的約束中，除了約束條件G5，G6為非線性約束條件外，其他約束條件都為線性約束，可用矩陣表示。

2 遺傳優化算法和程序框圖

2.1 遺傳算法

采用Matlab自帶的遺傳算法與直接搜索工具箱(Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox)，簡稱GADS工具箱[5]。其可以處理傳統優化技術難以解決的問題，包括難以定義或不便于進行數學建模的問題；可以解決目標函數不連續或具有高度非線性、隨機性以及目標函數不可微等復雜問題。

遺傳算法工具箱有兩種調用方式：一種是以命令行調用遺傳算法函數ga；另一種是通過命令gatool調用圖形用戶界面使用遺傳算法工具。現用第一種方式進行調用。

2.2 程序框圖

基于Matlab軟件中的遺傳工具箱編制優化計算程序，利用計算機對優化數學模型進行計算尋優，大大節省了人力，縮短了軸承設計周期，其程序框圖如圖1所示[5]。

圖1 遺傳優化計算的程序框圖

3 計算實例分析

根據交叉滾子軸承的優化模型編制Matlab程序，選擇計算參數進行計算。利用Matlab軟件的圖形用戶界面(Graph User Interface，GUI)模塊創建用戶界面(圖2)，從而使工程技術人員不必了解Matlab語言即可使用此優化程序進行設計計算。

圖2左側是優化計算程序的輸入參數，分別為軸承的內徑、外徑和寬度，這些參數是軸承的外形參數，是確定軸承與軸和軸承座配合的已知尺寸。圖2右側輸出優化計算結果，分別為滾子組節圓直徑、滾子直徑、滾子個數、滾子長度、適應度函數值、額定靜載荷和額定動載荷。其中，滾子組節圓直徑、滾子直徑、滾子個數和滾子長度為優化變量參數。適應度函數為衡量優化結果的評價函數，值越小，說明優化狀態越好。額定靜載荷和額定動載荷則是通過優化結果計算出來的衡量軸承使用壽命的重要指標。另外，該程序還設置了重置和計算兩個控件按鈕，重置按鈕使面板中的輸入和輸出參數置0，計算按鈕則是在輸入參數為正數的情況下進行優化計算。

圖2 優化程序界面

由于遺傳優化算法的隨機性，故需要以統計的數據進行處理。以出口的交叉滾子軸承KBCB060-A為例，其外形參數為：內徑24 mm，外徑60 mm，寬度18 mm，基本額定動載荷5 257.8 N。通過計算，隨機抽取10組有效數據，如表1所示。

表1 10組優化參數的數據

從表1可以看出，這10組的適應度函數值差距不大，說明所編的優化算法具有很好的穩定性。同時，通過優化后的設計參數計算出的額定動載荷C值也比較穩定。第5組數據中的適應度函數最小，是優化函數的最優值，并且用這組數據計算出來的額定動載荷值也達到了最大。因此，從這10組數據來看，第5組數據應作為最終的優化結果。

優化前、后的對比結果如表2所示。實際設計中用圓整后的數據，軸承的優化設計參數確定為：Dpw=44.6 mm，Dw=4 mm，Z=24個，Lw=3.8 mm。優化后軸承的額定動載荷提高到5 833.4 N，比優化前提高了10.95%，根據軸承壽命和額定動載荷的關系，額定壽命提高了41.4%。

表2 優化前、后數據對比

4 結束語

通過建立交叉滾子軸承的優化設計數學模型，對軸承的結構參數進行多目標遺傳優化計算。計算結果表明，改進軸承的內部結構參數能顯著提高軸承的額定動載荷，并且試驗證明優化后的軸承壽命有了明顯的提高。為軸承的設計提供了具有實際指導意義的優化設計方法，具有較好的創新意義和工程應用價值，優化結果可直接作為工程設計的參考，充分顯示了滾動軸承優化設計的經濟意義。