鐵路既有曲線整正計算方法研究

劉永孝，張詠軍

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

在既有線平面改建及日常線路的大、中維修中，多根據外業測得的曲線正矢、偏角及測點坐標來確定使該曲線保持圓順所需要的曲線半徑、緩和曲線長度，進而計算出各計算點的撥道量[1]。

鐵路曲線整正常用的計算方法有三種，即偏角法、繩正法、坐標法。其中偏角法和繩正法是基于漸伸線原理進行計算的，計算結果有一定的近似性，對外業施測和內業計算有相應要求，在一定條件下是滿足測量和計算精度要求的[2]。而坐標法具有理論嚴密、公式推求準確、測量計算成果精度高等優點[3]。

在這些撥道計算方法中，以往都是將它們獨自分隔開來，并且分析漸伸線誤差及適用范圍時，都采用了理論分析方法，很少針對實測數據進行對比研究。本文針對同一條曲線，選用相同的曲線參數，將這三種方法結合起來，研究它們之間的轉化公式，計算出各自的撥量值，同時將它們的計算結果進行對比，分析出利用漸伸線整正曲線的誤差大小及規律。

1 曲線整正計算方法間的轉化關系分析

1.1 偏角法轉坐標法

如圖1所示γi－1=180°－ (βi－1－ αi－1)

根據余弦定理有

式中 αi——i測點的累計偏角;

βi－1——i－1 測點與后一測點 i的 20 m 的弦與水平線形成的夾角;

圖1 曲線計算示意

Ei——i點的漸伸線長度;

γi－1——i－1 點的視距線與 i－1 測點與后一測點i的20 m的弦線間的夾角;

li——各計算點與置鏡點的距離，也就是視距。

則有 xi=licosαiyi=lisinαi

xi，yi為各計算點轉化坐標法下的坐標。

如果置鏡點轉變，則置鏡點后的坐標用公式

xn+i=xn+licosαi

yn+i=yn+lisinαi

式中，xn，yn為置鏡點的坐標。

1.2 偏角法轉正矢法

利用漸伸線原理計算撥量采用下面公式

en=En－ E′n

式中 en——計算點的撥量;

En——計算點的既有漸伸線長度;

E′n——計算點的設計漸伸線長度。

根據漸伸線的特性，漸伸線E可以近似地用逐漸加大半徑的累積圓弧段來表示[4]。

各測點相應的漸伸線長度為:E1，E2，E3，…，En，參照圖2所示計算

圖2 漸伸線長度示意

由上式可以得出:第n點的漸伸線長度E′n等于到前一點(n－1)為止的正矢累計的合計數的兩倍。

同理，對于正矢為計劃正矢 f′的曲線上 n點的漸伸線長度為

同理得撥后正矢

1.3 坐標法轉正矢法

第i點的坐標為(xi，yi)，第 i+1點的坐標為(xi+1，yi+1)

則i點的現場正矢為

第i點的撥后正矢為

2 實際應用

2.1 偏角法和坐標法計算撥距分析

圖3 0<α<1時偏角法與坐標法分析數據對比

圖4 1<α<π時偏角法與坐標法分析數據對比

圖5 α>π時偏角法與坐標法分析數據對比

利用偏角法所測曲線的數據，先根據偏角法進行優化得出優化半徑和緩和曲線長度，再計算出撥距。然后利用1.1所述公式將其轉化為坐標法進行計算，在對坐標法進行計算時，取和偏角法優化所取的相同的參數(半徑，緩和曲線長度)，算得坐標法撥距。將偏角法計算撥距結果和坐標法計算結果進行對比分析。上述計算都是通過FORTRAN編程進行，通過對現場實測的大量數據分析，可看出一些規律。現選取其中一些有代表性的曲線撥距分析結果如圖3、圖4、圖5所示。

從圖3可以看出當偏角0<α<1弧度時，利用漸伸線結果算出的撥距和坐標法算出的結果很接近，這說明當偏角小于1弧度時，利用漸伸線算出的撥距結果誤差很小。通過對大量數據分析其誤差最大不超過30 mm，并且隨著偏角的增大，其誤差也隨著增大。

從圖4可以看出，當偏角1<α<π弧度時，利用漸伸線結果算出的撥距和坐標法算出的結果相差較大，這說明當偏角大于1弧度，小于2弧度時，利用漸伸線算出的撥距結果誤差較大。通過對大量數據分析其誤差最大可達到200 mm，并且隨著偏角的增大，其誤差也跟著增大。

從圖5可以看出當偏角α>π弧度時，利用漸伸線結果算出的撥距和坐標法算出的結果相差很大，這說明當偏角大于π弧度時，利用漸伸線算出的撥距結果誤差很大。通過對大量數據分析其誤差最大可達到1 000 mm，并且隨著偏角的增大，其誤差也跟著增大[5]。

2.2 坐標法和偏角法撥后正矢分析

對同一曲線，采用相同的曲線要素，分別用偏角法和坐標法計算其撥距，然后通過公式(1)可算出偏角法的撥后正矢，用公式(2)可計算出坐標法對應的撥后正矢。因坐標法計算出的撥后正矢是精確的，可將偏角法計算出的結果和坐標法計算出的結果進行對比分析，并可計算出偏角法的撥后正矢誤差。通過對大量的數據分析，現取兩個轉角比較大的曲線分析如圖6所示。

圖6 偏角法撥后正矢誤差分析

2.3 討論

通過對大量的數據分析對比，可發現當偏角小于1弧度時，雖然兩種方法計算出的撥距稍有差別，但是其撥后正矢幾乎是相等的，只有個別點有誤差，但誤差不超過1 mm。當偏角大于1弧度小于π時，兩種方法計算出的撥量相差較大，但其撥后正矢只有一些點有差別，但差值都不超過1 mm。當偏角大于π時，兩種方法計算出的撥量相差很大，其撥后正矢的差值也較大，差值最大達到了6 mm。實際上這些差值也就是利用漸伸線原理計算產生的誤差。

3 結論

1)轉角α小于1弧度時利用漸伸線原理計算撥距時，其誤差很小，故對轉角較小的曲線，采用漸伸線原理計算是可行的;當轉角 α大于π弧度時，如果是進行大修作業，且是速度較高的線路，則要考慮改進計算方法，建議最好采用坐標法進行曲線整正計算。

2)偏角越大，半徑越小，用漸伸線理論計算的誤差越大，圓曲線中間的誤差比緩和曲線上的誤差要大。

3)由于漸伸線法在小半徑、轉角較大情況下，撥距誤差最高達1 m，因此在計算精度、可靠性及應用范圍上有一定局限性。

[1] 蘇步寧.一種實用的曲線撥道計算方法［J］.鐵道建筑，1993(1):21-23.

[2] 曲建軍.基于電算應用的既有曲線整正計算的研究［J］.華北科技學院學報，2006(3):80-83.

[3] 林勇奇.應用 EXCEL軟件計算曲線［J］.鐵道建筑，2003(3):37-39.

[4] 何曲波.曲線撥道量的優化計算［J］.鐵道建筑，1997(3):33-36.

[5] 郝贏.改建既有線平面時對傳統誤差分析［J］.鐵道學報，1984(1):71-83.