拔河比賽的力學分析

神 鵬

(江蘇省銅山縣茅村中學,江蘇銅山 221135)

拔河比賽是學校經常開展的群眾性體育活動之一,學生比較熟悉.有些學生以為:勝利的一方對繩子的拉力比失敗一方對繩子的拉力要大.當物理課講到牛頓第三定律,在不計繩子質量的情況下,雙方的相互拉力大小相等時,他們并不很理解,經常會問:“拔河雙方相互拉力大小相等,為什么還會有勝負之分呢?”解釋好這一問題,對學生掌握牛頓第三定律是有益的.

為了便于分析研究這一問題,我們首先假定拔河雙方均只有一人參加比賽,畫出力的示意圖.對甲乙雙方的受力情況進行分析,如圖1所示.

圖1

甲受4力作用:重力 m1g(m1為甲的質量);地面對甲的支持 N1;地面對甲的摩擦力 f1;乙對甲的拉力F21.乙受4力作用:重力 m2g(m2為乙的質量);地面對乙的支持力N2;地面對乙的摩擦力 f2;甲對乙的拉力F12.

下面對拔河比賽問題做出具體分析.

1 從力矩作用分析轉動效果

在甲、乙雙方拉緊繩子,做好拔河比賽的準備,但開始比賽的號令尚未下達之前,每一方都已處于力矩平衡狀態.先分析甲,參看圖2.將甲的等效立足點記為O1(由于兩腳前后分開而立,這個立足點應理解為地對兩腳的支持力的合力作用點),支持力 N1和摩擦力 f1均通過 O1,故對 O1而言無力矩作用.設O1到拉力 F21的作用線的距離為h,到重力 m1g的作用線的距離為a;則F21對O1的力矩大小為:M1=F21?h(順時針力矩);m1g對 O1的力矩大小為M2=m1g?a(逆時針力矩).由于甲處于力矩平衡狀態,所以M1=M2.

對乙來說,也有類似情況,參看圖3.支持力N2和摩擦力f2均通過O2(O2為乙的等效立足點),故無力矩作用.設O2到拉力F12的作用線的距離為h(設繩是水平的),O2到重力的作用線的距離為b,則:F12對 O2的力矩大小為M3=F12?h(逆時針力矩);m2g對O2的力矩大小為 M4=m2g?b(順時針力矩).由于乙也處于力矩平衡狀態,所以M3=M4.

圖2

圖3

上述分析說明:要維持身體平衡,不但身體要向自己后方傾斜,而且傾斜程度必須滿足平衡條件對重力臂的要求,在雙方都處于力矩平衡時,很明顯有 M2=M4.

拔河開始后,設甲的身體又向后傾斜了一些,重力臂a加大,重力矩M2增大.為了維持力矩平衡,甲對繩子的拉力就要增大.依牛頓第三定律,繩子對甲的拉力相應增大.即使甲尚未達到新的力矩平衡,繩子張力的增加也會導致乙受到的力矩 M3的增大.倘若乙尚未改變姿式,即b未變,則 M3＞M4,乙的平衡遭到破壞,將以 O2為軸向逆時針方向轉動.轉動開始后,重力臂逐漸減小,若乙不改變其立足點,身體必須前傾.為了防止前傾,其立足點必須向前移動,以迅速增加重力臂 b,從而獲得較大的重力矩 M4,以求與已經增大了的 M3取得平衡.即使能達到新的平衡,乙離決定勝負的分界線的距離也變近了些.

從上述分析中看到,無論是對維持力矩平衡來說,還是對爭取勝利來說,重力矩都起一定作用.而重力矩的大小又由重力大小和重力臂大小的乘積來決定,由此我們可以得出兩點認識:(1)拔河隊員的體重越大越好;(2)拔河比賽中,在腳下不打滑的前提下,身體越向后傾斜越好.

2 用牛頓第二定律分析平動效果

在拔河比賽進行過程中,每一方都使自己的身體盡量向后傾斜.這個傾斜是以腳下不打滑為前提條件的.這就是說,腳基本上處于將要滑動又尚未滑動的狀態.因此我們可以近似認為,鞋底與地面之間的摩擦為最大靜摩擦.

設甲與地面之間的靜摩擦系數為μ1,乙與地面之間的靜摩擦系數為 μ2,則有

為了討論方便,先認為每一方在豎直方向上是平衡的,則有 N1=m1g,N2=m2g;于是(1)、(2)式可以分別寫為

現再假定繩是水平的,m1＞m2,μ1＞μ2,我們分下面兩步對水平運動做些分析.

(1)比賽開始時,設乙是在已經獲得了最大靜摩擦力的條件下,維持其水平方向的平衡的(見圖 4).依 ∑Fx=0有如下關系式:

此時甲也應該是平衡的(見圖5),依 ∑Fx=0有如下關系式

很明顯,甲受到的摩擦力數值上與 μ2m2g相等.這就是說,甲還有進一步利用腳下摩擦力的可能,而乙腳下的摩擦力已不能再增加.

圖4

圖5

(2)比賽開始后,雙方通過繩子相互作用.將雙方視為一個整體,相互作用即為內力.當甲腳下獲得了最大靜摩擦力時,依牛頓第二定律列出整體的動力學方程如下

(7)式中,ax為整體水平運動的加速度.很明顯,ax的方向與μ1m1g的方向相同,即整體將開始向甲的方向移動.這是甲方取勝的有利開端.

從(7)式看出,只要 μ1m1g＞μ2m2g,就會有上述結論.而且不僅僅當 m1＞m2、μ1＞μ2時如此,當 m1=m2、μ1＞μ2或 m1＞m2、μ1=μ2時,也一定如此.這使我們認識到:拔河隊員的體重越大越好;所穿鞋的底子越粗糙越好.

3 對拔河技術的力學原理的分析

先從拔河時隊員的準備姿式談起.我們看到,雙方隊員除了身體向后傾斜之外,一般重心都盡量壓低.重心壓低時,雙腿屈折,似蹲似坐.現將甲方的準備姿式畫出,如圖6所示.取這種姿式,由于減小了拉力的力臂,對力矩平衡是有利的,但更重要的是可以得到較大的最大靜摩擦力.

在腳下不打滑的條件下,當甲做用力蹬地、迅速挺身這一技術動作時,其重心向上、向后同時發生位移,而且重心位移的開始階段必然是加速的.設重心加速度向上的分量為 ay,將牛頓第二定律用于豎直方向,則有

所以

將(8)式代入(1)式,可得

圖6

圖7

(9)式表明,當甲做用力蹬地、迅速挺身這一技術動作時,由于增大了腳與地面間的壓力,可以獲得地面給予他的較大的靜摩擦力,而且這一瞬間的摩擦力可以大于μ1m1g.這個摩擦力究竟能大到什么程度,取決于技術動作的質量好壞.由此可見,用力蹬地、迅速挺身這一技術動作,在拔河比賽中有重要作用.這一技術動作完成的好壞,主要由身體條件決定.一般說來,身體健壯、肌肉發達、動作整齊者往往占有優勢.絕不能將此理解為勝利的一方對繩子的拉力大于失敗的一方對繩子的拉力.學生在這個問題上發生的誤解,原因多出在這里.

在拔河比賽中,相互拉力基本上是在水平方向上,一方身體重心的加速上移,基本上不受對方的制約.只要自己原來的身體姿式正確,重心較低,身體獲得向上的瞬時加速度是不成問題的.在產生向上的加速度的同時,腳下就獲得了較大的靜摩擦力,只要這個摩擦力大于對方與地之間的摩擦力,身體重心的后移也就變為現實.一次蹬地、挺身的動作完成以后,甲的姿式如圖7所示.在甲的立足點不變的情況下,重心已后移,這就加大了重力矩.此后甲應該乘勢再降低重心,適當地改變立足點,做好下次用力蹬地、迅速挺身的準備.

人手的握力大小,對拔河的勝負也有一定影響.拔河時,手與繩子之間不應該有相對滑動.這就對手握繩子的壓力大小提出了一定要求.設手與繩子之間的靜摩擦系數為μ0,手握繩子時對繩子的壓力最大為Nmax,則手與繩子之間的靜摩擦力最多為μ0Nmax.當對方對繩子的拉力大于自己的手與繩子之間的最大靜摩擦力時,手與繩子之間就會發生滑動,滑動摩擦力又較最大靜摩擦力小一些,于是對方連同繩子一起向其后方的運動已無法阻止,失敗已無法挽救.前邊提到的蹬地動作,主要是由下肢肌肉的協調配合完成,而握力的大小主要與上肢肌肉發達程度有關.如果隊員一做蹬地動作,手與繩子之間就滑動,蹬地動作也是無效的.這就要求拔河隊員的四肢都應該健壯有力.