由一道月球繞地球公轉周期習題解法引起的思考

呂 銘

(南京師范大學物理科學與技術學院,江蘇南京 210046)

在求解物理問題時,有時會遇到運用等時性的思想方法來解決的問題.我們在處理這些問題時雖然數學表達上是嚴密的,但是卻加大了運算量把題解得不夠“物理”.有時我們運用了一些物理中的思維方法,但是卻存在邏輯上不夠嚴密的問題.這些對于學生來說是都有一定的弊端,學生的物理概念以及思維方法都是在潛移默化中建構起來的.我們一定要弄清楚整個分析過程以及數學近似的來龍去脈,讓學生透徹地學習與掌握知識以及處理問題的科學方法.若不這樣就會對物理過程產生誤解,并導致產生錯誤的認識.下面通過一道有關運動學的例題來說明此問題.

例1[1].已知地球上觀察月亮從圓月(望月)到下一個圓月的周期為Tm=29.5(天),地球繞太陽公轉的周期為Te=365.25(天),問月亮繞地球的公轉周期 T為多少?

解法1[1]:假設地球繞太陽的軌道、月亮繞地球的軌道近似為圓軌道,并認為月亮、地球、太陽始終在同一平面內.

首先,從圖1中可看到,當地球從D運動到E的整個時間,月亮正從 A運動一個周期后進一步抵達C.假設月亮在 A、C正好都是圓月(這是地球上看到的月亮全部被太陽照亮).顯然,月亮經歷的時間并不是月亮繞地球的公轉周期,而是在公轉周期后再加時間 T′.月亮從 A到B經歷的時間才是月亮繞地球1周的公轉周期.(注意,這里把B、C畫在同一個圓上了,實際上,B應在地球未到達E的圓上.)

利用圖中所表示的時間寫出關系式

為求 T,必須先求 T′.利用地球繞太陽的時間和角度關系得

再利用月亮繞地球的時間和角度關系

聯立上述3個方程,可得

質疑1:當月球從B繞到C轉過θ角度時,實際上地球在這個時間段里并不是靜止的,兩者在上述解法中并不滿足嚴格意義上的等時性,而從式(2)與式(3)的對比中卻表明兩者是轉過了相同的角度.從邏輯上來講,有理由肯定解法1是有問題的,但是從文獻[2]中知道(4)式的答案卻是正確的.這里可以做這樣一種推測,題目在求解中肯定用到了近似,那么解法1是在哪里用到了近似呢?這樣做近似的理由是什么,到底哪里是問題的突破口?我們通過以下的解法來作進一步探析.

圖2

解法2:參見圖2,設開始太陽、地球、月球三者成一直線,O點表示太陽,A點表示月球.大家知道當月球繞地球公轉1周(T)在地球右側(即 B點處),這時太陽、地球、月球三者不在同一條直線上,而要再次看到滿月需要月球轉動 θ(即 C點處)所用時間為

又從題設條件知道地球繞太陽公轉1周需要 Te=365.25(天),則由此可得θ的關系式

一開始假設地球旋轉θ角后就不動了,這是不夠準確的.那么假設在月球轉過θ的這段時間內地球又轉過θ1,那么以同樣的假設可知地球轉過θ1之后停下來,這時月球經

的時間回到滿月的位置.依此類推得

由條件易知

所以原式

質疑2:我們已經看出文獻[1]在詮釋等時性時是有誤的.而解法2是從嚴格的數學分析出發的,雖嚴密但多了些“數”的味道,少了些“理”的風采.那么能不能撇開大量的數學運算而又抓住物理的實質呢?答案是肯定的.接下來可通過第3種解法來分析這個問題.

解法3:等時法.如圖3,假設在月球的左側非常近的地方有一個衛星D也參與了繞地球轉動且轉動周期與月球繞地公轉周期相同.開始太陽、地球、衛星、月球四者成一直線,O點表示太陽,B點表示地球,D表示衛星,C表示月球.當經過時間 t地球繞太陽轉過θ角度后,發現 O、B、D在同一直線上而C轉過1周后仍在地球的右側,則有

圖3

即

其實解法3的實質是將一個物體運動分解的多個過程類比成兩個物體運動的同一過程,但是這兩個物體的運動存在著指定的約束,從而省略了較為繁瑣的數學推導過程.至此我們得到了與解法1和解法2相同的答案,也顯示了物理過程的實質.解法3解答了從解法2中留下來的的質疑,過程簡潔清晰.

質疑3:等時法的過程明了,步驟清晰.那它還可以在哪些題中體現優越性呢?下面再舉兩例.

例2[3].速率為30 km/h的兩列火車在相挨并行的軌道上相向而行,當兩火車相距60 km的時候,一只每小時能飛60 km的鳥離開一車直向另一車飛去,當鳥到達另一車時就立即飛回第一車,以后就繼續這樣來回的飛.問:鳥一共飛了多少距離?

解法1[3]:我們著眼于一個物體運動分解的多個過程.兩車各行駛30 km時相遇,經過的時間為1 h,因而鳥也飛了1 h.當鳥從甲往乙飛時,取甲為參照系,從甲往乙飛的方向為正方向,則乙車 v乙=30 km/h,方向為負,鳥對甲的速度為 v1=30 km/h,方向為正,第1次與乙車相遇,得

第2次飛行:鳥到達乙后,立即回頭向甲飛.這次飛行和第1次不同,因為取甲為參照系,甲是不動的,但鳥和乙同時一直向甲前進,乙的前進不影響第2次飛行,但卻使第3次飛行距離變短了.

設第2次飛行需時 t2,鳥飛行的距離為 d2,第2次飛行鳥的速度為 v2=90 km/h,方向為負,則

將t1的關系代入得

第2次飛行結束時,甲,乙相距

即

所以鳥一共飛行的距離為

解法2:等時法.這里不像例1解法3一樣需要構造一個等時性模型.我們很容易知道火車所用的時間與鳥飛行所用的時間相等.設火車所用時間為t,鳥飛行速度為v,兩列火車的速度分別 v01,v02,則知

因為鳥的速率保持v,且運動不間斷,則鳥所行的路程為

例3[1].A、B、C 三個芭蕾舞演員同時從邊長為l的三角形頂點 A、B、C出發,以相同的速率 v運動;運動過程中始終保持A朝著B,B朝著C,C朝著A.試問經多少時間3人相聚?每個演員跑了多少路程?

圖4

解法 1[1]:如圖 4,仍然著眼于一個物體運動分解的多個過程,并根據小量近似有

所以

圖5

進而可得

綜合以上3例可以看出,對于這樣一類速率始終不變,物體最終到達的位置是易于判斷的物理問題.可以著眼于一個物體運動分解的多個過程的方法來處理,但是其中用到了較為繁瑣的小量近似以及極限思想;我們又可以著眼于等時性的原理將運動物體的內在約束找到,往往能將問題簡單化.

1 王建忠.啟東中學奧賽訓練教程?高中物理(第2版).南京:南京師范大學出版社,2006.68-69

2 高崇伊.地球和月球的公轉周期與自轉周期.物理通報,2003(7):17-18

3 范小輝.新編高中物理奧賽實用題典.南京:南京師范大學出版社,2008.2-3