正弦交變電流有效值的簡(jiǎn)單推證

石 瑩

(甘肅省積石山縣第一中學(xué),甘肅積石山 731700)

交流的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)規(guī)定的.讓交流和直流通過(guò)相同阻值的電阻,如果它們?cè)谙嗤臅r(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等,就把這一直流的數(shù)值叫做這一交流的有效值.課本中就是這樣給出交流有效值的概念后直接引入了正弦交變電流有效值的公式.但對(duì)公式?jīng)]有進(jìn)行推導(dǎo).雖然教參上用高等數(shù)學(xué)知識(shí)給出了詳細(xì)推證,但中學(xué)生很難接受,本文用適合于中學(xué)生的初等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo),幫助學(xué)生搞清公式的來(lái)龍去脈,對(duì)學(xué)生徹底地理解有效值的含義是十分有益的.下面將介紹兩種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法,供讀者參考.

1 初等理論推導(dǎo)法

假定讓一直流和一交流分別通過(guò)相同阻值的電阻 R,經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間T(T是這一交流的周期),直流所產(chǎn)生的熱量為 Q1=I2RT,設(shè)在周期 T內(nèi)交流的平均功率為ˉP,那么交流所產(chǎn)生的熱量為 Q2=ˉPT.如果 Q1=Q2,即 I2RT=ˉPT,那么 I就是交變電流的有效值,則有

設(shè)交變電流i=Imsinω t在周期T內(nèi)的瞬時(shí)功率為P,則

由(2)式可知,交變電流的瞬時(shí)功率等于兩項(xiàng)的和,第1項(xiàng)是不隨時(shí)間變化的常量,第2項(xiàng)是按余弦規(guī)律變化的變量.第1項(xiàng)就是交變電流平均功率,而第2項(xiàng)是一個(gè)余弦量,有時(shí)為正,有時(shí)為負(fù),在一個(gè)周期內(nèi)的平均值等于零.因此交變電流在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率是將(3)式代入(1)式,得再結(jié)合歐姆定律,就可以得到

2 圖像面積割補(bǔ)法

圖1

當(dāng)交變電壓u=Umsinω t對(duì)電阻供電時(shí),通過(guò)電阻 R的電流為i=該交變電流的瞬時(shí)功率為

根據(jù)(4)式可畫(huà)出瞬時(shí)功率 P與時(shí)間t的關(guān)系圖線如圖1所示.

因?yàn)殡姽?W=Pt,所以交變電流在一個(gè)周期內(nèi)對(duì) R所做的功W為P-t圖線中曲線與t軸所圍的面積,利用圖像的割補(bǔ),可得知所以.當(dāng)直流電壓U對(duì)電阻R供電時(shí),在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)R所做的功為則有即得再結(jié)合歐姆定律,就可以得到

上述兩種推導(dǎo)方法簡(jiǎn)單明了,幫助學(xué)生搞清了正弦交變電流有效值與最大值關(guān)系式的來(lái)源,進(jìn)一步深化了有效值概念的理解.