2009年高考理科綜合(全國Ⅰ卷)第26題的幾種解法

趙清香 王建中

(長治學院附屬太行中學,山西長治 046000)

圖1

題目.如圖 1,在 x軸下方有勻強磁場,磁感應強度大小為 B,方向垂直于xy平面向外.P是y軸上距原點為h的一點,N0為x軸上距原點為a的一點.A是一塊平行于x軸的擋板,與 x軸的距離為的中點在y軸上,長度略小于.帶點粒子與擋板碰撞前后,x方向的分速度不變,y方向的分速度反向、大小不變.質量為 m,電荷量為q(q＞0)的粒子從P點瞄準N0點入射,最后又通過P點.不計重力,求粒子入射速度的所有可能值.

解法1:利用通項求解

圖2

如圖2所示,設粒子的入射速度為 v,第 1次射出磁 場的點為 N0′,與板碰撞后再次進入磁場的位置為 N1,粒子在磁場中運動的軌道半徑為 R,有

粒子速率不變,每次進入磁場與射出磁場的位置間距離 x1保持不變

粒子射出磁場與下一次進入磁場位置間的距離 x2始終不變,與 N0′N1相等,由圖可知

設粒子最終離開磁場時與擋板相撞 n次,其中n=0、1、2、3……,若粒子能回到 P點,由對稱性,出射點 x的坐標應為-a,即

由(3)、(4)兩式,得

若粒子與擋板發生碰撞,則

聯立,得

由(1)、(2)、(5)式有

代入,得

解法2:按碰撞次數分別羅列求解

設粒子的入射速度為 v,第 1次射出磁場的點為 N0′,與板碰撞后再次進入磁場的位置為N1,粒子在磁場中運動的軌道半徑為 R,有

(1)與擋板不發生碰撞時,由圖 3可得

由(1)～(3)式,可得

圖3

圖4

(2)與擋板發生一次碰撞時,由圖 4可得

由(1)、(2)、(4)式,可得

(3)同理與擋板第二次碰撞時,從圖 5還可得

由(1)、(2)、(5)式,可得

當粒子欲與擋板第3次碰撞時,必滿足

化簡,得

圖5

圖6

如圖 7,由對稱性可知,粒子第 1次返回 x軸上的位置坐標可能為

其中 n=0、1、2、3 ……為粒子打在 A板上可能的次數.

由圖可得

由幾何關系得

圖7

(3)

將(1)～(3)式聯立,可得

所以

圖8

解法4:通過碰撞點的橫坐標求解

其中 n=0、1、2、3……

則由圖 8知

聯立(1)、(2)式,得

當 n=1時,碰撞點在“x=0處”,即 A板的中點,此時粒子與 A板相碰1次后回到P點,此時粒子速度

當 n≥3時,由(1)式知,粒子與 A板的碰撞點在“x≥處”,由于 A板在第 1象限最長小于故粒子將直接從 A板的右端外側飛走,不再與 A板發生碰撞,因而n的可能取值只有n=0、n=1、n=2.