在勻強磁場中導體自由下落運動問題的探究

單文忠

(湖南省株洲南方中學,湖南株州 412002)

如圖1所示,水平勻強磁場在豎直方向足夠長,有一金屬導體在磁場中水平自由下落,問金屬導體在下落過程中做怎樣的運動?

在這個問題的探究中,有些學生認為金屬導體做自由落體運動,原因是:“金屬導體不在閉合電路中,雖切割磁感線但無感應電流,故不受安培力只受重力,所以金屬導體做自由落體運動.”有些學生認為金屬導體下落雖無感應電流,但有感應電動勢,據公式 E=Blv可知,隨著速度的增大,金屬導體棒兩端的電勢差增大,金屬導體中必有電荷移動,故其受安培力作用,所以金屬導體做變加速或勻加速運動.

金屬導體到底做怎樣的運動,下面我們先來看2道例題.

圖1

例1.(第10屆全國中學生物理競賽決賽題)如圖2所示,在豎直放置的兩平行光滑長直金屬導軌的上端,接有一個電容為C的電容器,有一勻強磁場與兩金屬導軌平面垂直,磁感應強度為 B,現有一質量為 m,長為L的金屬桿ef,在 t=0時由靜止沿導軌下滑,試分析在電容器擊穿前金屬桿做怎樣的運動,假設圖中任何部分的電阻和電感均可忽略不計.

解析:分析題意,我們可先假定金屬桿做加速度為a的勻加速直線運動,在任意時刻對桿有

圖2

在極短時間Δt內,(1)式中電容器的充電電流為

其中Δq為電容器在Δt時間內所充電量,有

由(1)～(3)式得

即mg-CB2L2a=ma,故

(4)式表明金屬桿ef做初速為零、加速度為a的勻加速直線運動.隨著金屬桿速度的增加,據公式 E=BLv可知,電容器兩端的電壓也增大,當電壓增大到Ub時,電容器被擊穿,金屬桿的運動狀態改變.事實上金屬桿及導軌不可能沒有電阻,故電容器被擊穿后金屬桿先做減速運動,最后做勻速運動.

例2.(第12屆全國物理競賽預賽題)假想有一水平方向的勻強磁場,磁感應強度 B很大,有一半徑為R,厚度為d(d?R)的金屬圓盤,在此磁場中豎直下落,盤面始終位于豎直平面內并與磁場方向平行,如圖3所示,試分析金屬圓盤在此磁場中做怎樣的運動?假定金屬圓盤的電阻為零,并設金屬圓盤的密度 ρ=9×103kg/m3,其介電常數為ε=9×10-12C2/N?m2.

圖3

圖4

解析:如圖4,金屬圓盤下落過程中厚度d切割磁感線產生感應電動勢,它自身可“等效”為例1中的電容器.設圓盤兩個表面堆積等量異種電荷±Q.

電容器的電容為

電容器的帶電荷量為

盤中電流為

對盤,由牛頓第二定律

由以上各式聯立得

又因為

將(8)式代入(7)式得

可見金屬圓盤做初速為零、加速度為 a的勻加速直線運動,并還可知:加速度a小于g,a越小B則越大.那么 a到底比g能小多少?現實生活中能做到嗎?現在我們假設a比g小即

比較(9)、(10)兩式代入數據可得:B=106T.從這個結果看,磁場要強到不可思議的程度,是做不到的.也就是說,金屬圓盤自由下落的加速度非常接近g.

比較例1和例2及我們要解答的問題,不難發現它們其實是一種物理模型,金屬導體桿可“等效”為金屬圓盤,金屬圓盤可“等效”為平行板電容器.而我們需要解答的問題與例2更為類似,只是金屬導體比金屬圓盤橫截面積小得多,長度長一些而已,沒有根本的區別,由例2的(9)式可得:金屬導體應做自由落體運動.上面兩類學生的觀點都只是停留在認知表象,均不正確.