質(zhì)量分布均勻的圓盤對盤外質(zhì)點(diǎn)引力的討論

馮德強(qiáng)

(江蘇省南菁高級(jí)中學(xué),江蘇江陰 214400)

近期某刊物刊登了一篇文章——《萬有引力》復(fù)習(xí)之我見,談到一個(gè)例子.半徑為R質(zhì)量為M的均勻等厚的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為的內(nèi)切的小圓板,并將挖出的放于距大圓板圓心為3R的地方,如圖1,三個(gè)圓心在同一直線上,求月牙形板與小圓板之間的萬有引力.

圖1

文中提出了兩種解法,并指出第1種解法是錯(cuò)的,而認(rèn)為第2種解法是正確的.(解法1明顯錯(cuò)誤,故此處從略)原解法2如下:設(shè)完整的大圓板對相距3R的小圓板的萬有引力為F1=這個(gè)力可以看成是月牙形圓板和要挖的那個(gè)小圓板作為整體對外邊的那個(gè)小圓板的萬有引力的合力,而要挖的那個(gè)小圓板對外邊小圓板的萬有引力為 F2=這樣月牙形板對小圓板的萬有引力就為F=F1-F2=

筆者認(rèn)為,該解法2也是錯(cuò)誤的.問題的根源在于:我們是否可以把質(zhì)量分布均勻的圓盤對盤外質(zhì)點(diǎn)的引力等效為盤心對質(zhì)點(diǎn)的引力?答案是否定的!除非圓盤與盤外質(zhì)點(diǎn)相距無窮遠(yuǎn),可將圓盤視為質(zhì)點(diǎn).本文將詳細(xì)地研究處理引力問題時(shí)的等效問題,與讀者共同討論.

眾所周知,如果將原題中的圓板改為質(zhì)量分布均勻的球體,我們是可以按照原文中的方法來處理的.而實(shí)際上也只有質(zhì)量對稱分布的球體(球殼、球面),在計(jì)算對球外一質(zhì)點(diǎn)才可以等效為質(zhì)量集中到球心進(jìn)行計(jì)算.證明如下:我們只需證明質(zhì)量均勻分布的薄球殼對球外質(zhì)點(diǎn)引力問題即可(對球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零,此處不證).

思路1:用類比法考慮,由于萬有引力定律與庫侖定律的相似性,可用電場高斯定理證明均勻帶電球殼對球外點(diǎn)電荷的電場力等效于電荷集中于球心對點(diǎn)電荷的庫侖力.因此質(zhì)量均勻分布的薄球殼對球外質(zhì)點(diǎn)引力也可如此等效.

思路2:結(jié)合數(shù)學(xué)積分推導(dǎo).設(shè)質(zhì)量均勻分布的薄球殼的密度為 ρ,O為球心,球半徑為 r,球殼的厚度為 t,且t?r,球殼外質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為 m,位于 P點(diǎn),OP=R,如圖2.

圖2

設(shè)在球殼 A點(diǎn)處的一個(gè)質(zhì)元對m的引力為F1,由球殼的對稱性,可以找到與 A對稱的B點(diǎn)處取一個(gè)與A點(diǎn)處的質(zhì)元相同的質(zhì)元,并設(shè)該質(zhì)元對m的引力為F2.與OP連線的夾角為 α.易知,F1與 F2的合力必沿PO連線方向.我們在球殼上取一環(huán)帶,環(huán)的半徑為 rsinθ,周長為 2πrsinθ,寬為 rdθ,θ為由環(huán)到球心O 的連線與OP的夾角,dθ為連接球心與環(huán)帶的兩側(cè)的球半徑間的夾角.已知球殼的厚度為 t,因此,環(huán)帶的體積為

環(huán)帶的質(zhì)量為

由于環(huán)帶上各質(zhì)元到P的連線與OP的夾角都相等,均為 α,各質(zhì)元到P點(diǎn)的距離也都相等,均為 x,所以環(huán)帶對質(zhì)點(diǎn)的引力的大小為

式中 x、α和θ間滿足下列關(guān)系

根據(jù)余弦定理,有 x2=R2+r2-2Rrcosθ.

對上式等號(hào)兩端進(jìn)行微分,得 2xdx=2Rrsinθ dθ,聯(lián)立以上各式,消去α和θ化簡后得

就是整個(gè)環(huán)帶對質(zhì)點(diǎn)的引力.

整個(gè)球殼可以看作是由一系列環(huán)帶組成,所有這些環(huán)帶的圓心都在OP連線及其延長線上,到P點(diǎn)的距離各不相同,最小 R-r,最大 R+r.即變量 x的范圍從R-r到R+r.故球殼對質(zhì)點(diǎn)的總的引力為

下面討論質(zhì)量均勻分布的圓盤對盤外質(zhì)點(diǎn)的引力問題,實(shí)際上我們只需研究質(zhì)量均勻的圓環(huán)即可.因?yàn)閳A盤可以看作有無數(shù)圓環(huán)組成.

首先討論圓環(huán)對在過圓心的垂直軸上的點(diǎn)的引力.

如圖3,圓環(huán)單位長度質(zhì)量為λ,半徑為 R,在其過圓心 O的垂直軸上距離O點(diǎn)為x處有一質(zhì)點(diǎn)P,質(zhì)量為 m.求圓環(huán)對 P的引力.取環(huán)上關(guān)于 O點(diǎn)中心對稱的微元 A、B,長為 ΔL.質(zhì)量為 Δm.對 P點(diǎn)的引力分別為F1和F2.由于對稱性,F1和F2大小相等,方向均與 PO連線夾角為α.易知 F1和 F2的合力必沿 PO方向.因此整個(gè)圓環(huán)對P點(diǎn)的引力必沿PO方向.大小計(jì)算過程如下:

圖3

其次討論圓環(huán)對環(huán)外且與圓環(huán)在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)的引力.

在這種情形下,要定量計(jì)算非常困難.筆者試從定性分析的角度說明,圓環(huán)對環(huán)外且與圓環(huán)在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)的引力不能等效為質(zhì)量集中到環(huán)心對質(zhì)點(diǎn)的引力.借助均勻球面模型,如圖4,在球面上取上下對稱的兩個(gè)面元ΔS,將整個(gè)球面看作由此兩面元與剩余部分組成.當(dāng)面元無限小時(shí)(實(shí)際不可能做到),由于剩余部分即可視為整個(gè)球面,而整個(gè)球面對P點(diǎn)引力可等效為球心對P點(diǎn)引力,因此此時(shí)的面元對P點(diǎn)引力也可等效至球心.設(shè)想面元逐漸增大,則通過前面類似的計(jì)算可知:兩個(gè)面元對P的引力的等效點(diǎn)應(yīng)在球心偏左位置,而除兩面元以外的球面部分對P的引力的等效點(diǎn)在球心偏右位置(這樣合效果才會(huì)在球心).依次推得,當(dāng)面元無限接近半球面時(shí),球面的剩余部分對 P的引力才可等效于球心.實(shí)際上這是不可能做到的.也就是說,當(dāng)面元取得接近半球面時(shí),剩余部分即為一圓環(huán)而且與P在同一平面上,由上面推理知,其對P的引力的等效點(diǎn)應(yīng)在圓心偏右的位置.而一定不在圓心.

也許有讀者會(huì)簡單地認(rèn)為,把圓環(huán)分為兩個(gè)半圓環(huán),其中一個(gè)離考察點(diǎn)近,另一個(gè)離考察點(diǎn)遠(yuǎn).又因?yàn)橐Ρ磉_(dá)式中分母上有距離平方關(guān)系,近的半圓環(huán)對考察點(diǎn)的引力要比遠(yuǎn)的半圓環(huán)對考察點(diǎn)的引力要大得多,所以等效點(diǎn)必在圓心靠近考察點(diǎn)的一側(cè).筆者認(rèn)為不能這樣簡單的理解,因?yàn)榍蛎娌灰部梢赃@樣考慮嗎?但結(jié)論卻不同.

圖4