利用“恢復系數”速解碰撞問題

柴守剛

(甘肅省會寧四中,甘肅會寧 730700)

物體的碰撞過程受多個物理規律的制約,在判斷碰撞的問題時,需要綜合以下3個方面進行分析:①碰撞前后的狀態要符合具體的物理情景;②碰撞過程要遵循動量守恒定律;③碰撞前后的總動能要滿足 Ek前≥Ek后.解決起來比較繁瑣.若直接利用碰撞的恢復系數這一關系,則可提高解題的速度,達到事半功倍的效果.

碰撞的恢復系數:對于一維完全彈性碰撞,用 m1和m2分別表示兩球的質量,碰撞前的速度分別為v10和v20,碰撞后的速度分別為v1和v2,系統動量守恒有

兩球碰撞的整個過程可分為壓縮階段和恢復階段,在碰撞過程始末,系統動能不變.有

如已知 m1、m2、v10和 v20,就可以根據以上兩式求出碰撞后的速度 v1和 v2.

由動量守恒方程得

將動能不變方程寫成

由(1)、(2)式,得

即 v10-v20=-(v1-v2).這里的 v10-v20即在碰撞前m1相對于 m2的相對速度;v1-v2是碰撞后 m1相對于m2的相對速度.上式表明,經過完全彈性碰撞,兩物體相對速度的大小不發生變化,但方向改變.

實驗證明,對于材料一定的球,碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比.于是有比例常數e叫做恢復系數,由兩球材料的彈性決定.對于完全彈性碰撞v2-v1=v10-v20,e=1;對于完全非彈性碰撞,碰后具有相同的速度v1=v2,e=0;對于一般非完全彈性碰撞,0＜e＜1.

例1.甲、乙兩球在光滑水平軌道上同向運動,已知它們的動量分別為 p甲=5kg?m/s,p乙=7 kg?m/s,甲追上乙并發生碰撞,碰后乙球的動量變為 p乙=10 kg?m/s,則兩球質量m甲與m乙的關系可能是

(A)m乙=m甲. (B)m乙=2m甲.

(C)m乙=4m甲. (D)m乙=6m甲.

解析1:綜合運用動量守恒定律和碰撞過程的能量關系 Ek前≥Ek后以及實際的物理情景,求出乙球的質量范圍.

設碰后甲球的動量為 p甲′,由動量守恒定律有 p甲+p乙=p甲′+p乙′.解得 p甲′=2 kg?m/s.碰后,p甲′、p乙′均大于零,表明甲、乙兩球同向運動,應有 v乙′≥v甲′,即解得 m乙≤5m甲.取等號時,甲、乙發生完全非彈性碰撞.

碰撞過程中,動能不增加,

正確答案應為(C).

解析2:(利用碰撞的恢復系數關系解答)

設碰后甲球的動量為 p甲′,由動量守恒定律有p甲+p乙=p甲′+p乙′,解得:p甲′=2 kg?m/s.由碰撞的恢復系數

故正確答案應為(C).

例2.(2009年廣東高考物理 19題)如圖 1所示,水平地面上靜止放置著物塊B和C,相距l=1.0 m.物塊 A以速度v0=10 m/s沿水平方向與B正碰.碰撞后 A和B牢固地粘在一起向右運動,并再與C發生正碰,碰后瞬間C的速度v=2.0 m/s.已知 A和B的質量均為m,C的質量為A質量的k倍,物塊與地面的動摩擦因數μ=0.45.(設碰撞時間很短,g取10 m/s2)

(1)計算與C碰撞前瞬間AB的速度;(2)根據 AB與C的碰撞過程分析k的取值范圍,并討論與C碰撞后AB的可能運動方向.

圖1

參考答案:

(1)設AB碰撞后的速度為v1,AB碰撞過程由動量守恒定律得

設與C碰撞前瞬間AB的速度為v2,由動能定理

聯立以上各式解得

(2)若 AB與C發生完全非彈性碰撞,由動量守恒定律得

代入數據解得k=2.此時 AB的運動方向與C相同.若AB與C發生彈性碰撞,由動量守恒和能量守恒得

聯立以上兩式解得

代入數據解得k=6.此時 AB的運動方向與C相反.

若AB與C發生碰撞后AB的速度為0,由動量守恒定律得

代入數據解得k=4.

綜上所述得:當2≤k＜4時,AB的運動方向與C相同;當 k=4時,AB的速度為 0;當4＜k≤6時,AB的運動方向與C相反.

另解:(應用碰撞的恢復系數關系解答)

解答(2):依第(1)問,AB與C碰撞前,AB的速度v2=4 m/s,C的速度為0;碰撞后C的速度為vC=2 m/s,設碰撞后 AB的速度為v2′.則兩球碰撞中恢復系數e滿足

AB與C的碰撞瞬間,系統動量守恒

由(2)式得

由(3)、(4)式得:當-2≤v2′＜0時,4＜k≤6,AB 的運動方向與C 相反;當 v2′=0時,k=4,AB 的速度為0;當0＜v2′≤2時,2≤k＜4,AB的運動方向與C相同.