加速度不能套用速度分解的模式

王 鍇

(四川省萬源中學,四川萬源 636350)

1 問題的來源

筆者現任教高三物理課,在某次月考時,發現試卷中有這樣一道題:

如圖1所示,一條輕繩跨過定滑輪兩端,左端連接一個重物,右端連接一個小車.小車在水平面上做勻加速直線運動.問以下說法哪些是正確的.

(A)重物所受細繩拉力大于重物的重力.

(B)重物所受細繩拉力小于重物的重力.

(C)重物做變加速運動且加速度不斷變大.

(D)重物做變加速運動且加速度不斷變小.

題目所給的答案為(A)、(C).經分析,可把小車的速度分解為沿著繩子方向的分速度 vr和垂直于繩子方向的分速度vt.而輕繩左端重物向上運動的速度vm就等于沿著繩子方向的分速度vr,根據速度分解關系有

圖1

當小車向右運動時,θ角不斷變小,所以cosθ不斷增大,且小車的速度 v又不斷增大,所以重物向上運動的速度vm不斷增大,可推知重物向上做加速運動.所以重物所受細繩的拉力大于重物的重力,故(A)選項正確.但是(C)選項就值得商榷了.出題者的原意是:把以上分析速度的方法推廣到兩物體的加速度.即認為重物的加速度 am也等于小車的加速度沿繩方向的分加速度ar.以致得出重物加速度也不斷增大的結論.筆者認真查閱了大學的力學教材.發現問題沒有那么簡單.結論是:加速度不能套用速度分解的模式去解算.

2 問題的分析及解決

如圖2所示,以繩端為原點建立自然坐標系,其中er表示沿著繩伸長方向的單位矢量,et表示垂直于繩子方向的單位矢量.

本問題的以上解法錯在簡單地認為重物的加速度am也等于小車的加速度沿繩子方向的分加速度ar.實際上,由于小車的兩個分速度 vt和vr都在發生變化,而且都包括大小和方向兩方面的變化.所以小車的加速度應該有4個分量,分別為:小車沿著繩子方向的分速度vr的大小變化產生的加速度vr的方向變化產生的加速度;小車垂直繩子方向的分速度 vt的大小變化產生的加速度以及 vt的方向變化產生的加速度.

圖2

用矢量分析公式來計算小車的加速度有

根據矢量分析相關公式有

進一步有

最后有

整理可得

從計算結果可以看出,其中小車沿著繩的方向的分速度vr的大小變化產生的加速度和小車垂直于繩子方向的分速度vt的方向變化產生的加速度沿著er的方向即繩子的方向,且與er同向即沿著繩伸長的方向,與er方向相反,即沿著繩伸長的反方向.同理在垂直于繩子方向上也包括vr的方向變化產生的加速度和vt的大小變化產生的加速度且二者是同向的.

其中vr的大小變化產生的加速度和vt的方向變化產生的加速度二者的矢量和才等于小車的合加速度沿繩子方向的分量.即有

而根據繩長不變,只有vr的大小變化產生的加速度才等于重物上升的加速度.這個加速度并不等于小車沿繩子方向的分加速度.即

那么重物上升的加速度究竟是多少呢?應該說這和問題的具體情況有關.為了簡化分析,在不違背題意的前提下,我們可作如下假設,如圖 3所示.

假設小車的初位置在定滑輪下方,即計時開始時輕繩兩邊均處于豎直狀態.且右邊繩長為H.并設小車從靜止開始以加速度a做勻加速直線運動.則有重物的加速度為

圖3

經計算可得

其實既然vr的大小變化產生的加速度和vt的方向變化產生的加速度的矢量和等于小車的加速度沿繩子方向的分量,那么以上結論可以簡化為

可見重物的加速度隨時間的變化是十分復雜的一個函數,我們可以得出結論:重物的加速度隨時間并不是簡單地增大或減小.隨著參數取值的不同,有可能是在某些區間內加速度增大,而在另一些區間內加速度卻要減小.即使隨時間一直增大,這個結論的復雜程度也遠遠超出了中學生能解決的程度.

3 結論及分析

通過對以上問題的分析我們可以看出,由于加速度是物體位矢對時間的二階變化率.對于加速度的分析計算,不能簡單地照搬分析速度的方法和結論,必須考慮到速度矢量的大小的變化和方向的變化均能產生加速度.在分解加速度時更要想清楚,分加速度的物理意義,不然就會得出錯誤的結論.

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程?力學(第2版).北京:高等教育出版社,2004.23

2 強元戶攵木.經典力學.北京:科學出版社,2003.7.

3 謝樹藝.工程數學矢量分析與場論(第2版).北京:高等教育出版社,1985.9