“微元法”在高中物理教學中的滲透

蔡麗芬 王 飛

(1.南京師范大學物理科學與技術學院,江蘇南京 210097;2.沈陽師范大學物理科學與技術學院,遼寧沈陽 110034)

“微元法”通俗地說就是把研究對象分為無限多個無限小的部分,取出有代表性的極小的一部分進行分析處理,再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學思維方法.“微元法”是高中物理涉及到的一種數學方法之一,滲透著微積分的思想,是物理學發展過程中最重要的科學思維方法之一,是牛頓力學的數學基礎.微元法對中學生來說顯得有一定的難度(屬于較高要求).但在人教版的高中物理新教材中恰當地選擇了一些物理問題進行“微元法”的滲透,使學生逐步對“微元法”了解、熟悉,層次較高的學生甚至能利用“微元法”解決一些實際問題,近幾年的江蘇高考中也將微元法的應用作為對較高層次學生的要求.

1 “微元法”在新教材中的呈現

人教版的高中物理新教材強調方法,對科學方法的學習做了系統化、結構化的處理,在整個必修教材中對微元法采用了逐步滲透的方法.現將涉及內容統計如表1.

表1

從表1可以看出,新版教材的必修部分在各個章節都將“微元法”以多樣化的形式展現給學生,使學生在潛移默化中對“微元法”有所認識、了解、熟悉.

2 課堂內外對“微元法”的滲透

教師除了讓學生通過教材對“微元法”的思想有所了解之外,還可以在平時的教學中經常性的補充一些微元法的應用問題,使學生在實踐中對“微元法”領悟更深,豐富學生處理問題的手段,拓展學生的思維.現筆者從以下幾個方面舉些例子.

(1)利用微元法將變力做功轉化為恒力做功.

例1.如圖1(a)所示,某個力 F=10 N作用于半徑 R=1 m的轉盤的邊緣上,力F的大小保持不變,但方向保持任何時刻均與作用點的切線一致,則轉動1周,這個力F做的總功為多少?

圖1

解析:由于力F的方向與作用點的速度方向一致,因此力F做功不為零,且此力不為恒力.可以考慮把圓周劃分為很多“微元”來研究.如圖1(b)所示,當各小段的弧長Δs足夠小(Δs→0)時,在這 Δs內F 的方向幾乎與該小段的位移重合,每一小段里恒力 F做功 ΔW=FΔs,則 F做的總功為 W=FΔs1+FΔs2+FΔs3…=F?2πR=20πJ.

這等效于將本來是曲線的圓周拉直.在這里,力 F所做的功相當于力和物體運動路程的乘積.

(2)利用微元法“化曲為直”求曲線運動的瞬時速度

例2.某行星圍繞太陽C沿橢圓軌道運行,它的近日點A離太陽的距離為a,行星經過近日點 A時的速度為vA,行星的遠日點B離太陽的距離為b,如圖2所示,求它經過遠日點B時的速度vB的大小.

圖2

解析:由開普勒第二定律可得,近日點速度大,遠日點速度小,具體大小關系如何?在這里我們可以利用微元法在近日點和遠日點分別取很短的時間Δt,如圖2所示,在Δt內可認為行星做勻速直線運動,掃過的面積即三角形面積,根據開普勒第二定律有

所以

(3)利用微元法“化整為零”從局部求整體

例3.杯子中裝有半杯水,當杯子以恒定的加速度 a向右運動時,液面形狀如何?

圖3

解析:此問題若直接取杯中水研究很難突破液面形狀問題,我們可在液面上任取一薄薄的微液片,如圖3所示,設其質量為Δm,微液片受向下的重力G和內部液體的彈力N,因其加速度水平向右,所以G、N的合力F必水平向右,設液面與水平面的夾角為θ.由牛頓第二定律有F=Δmgtanθ=Δma.所以

(4)利用微元法將一般回歸到特殊

例4.如圖4所示,均勻帶電圓環的帶電荷量為+Q,半徑為 R,圓心為 O,P為垂直于圓環平面的對稱軸上的一點,OP=L,P點的場強為多少?

圖4

解析:本題中的帶電體為一般帶電體,而非點電荷,所以不能直接運用點電荷電場公式.但我們可以利用微元法將一般帶電體的場強計算轉化為點電荷場強的計算,即在圓環上取一小段Δl,設圓環上電荷的分布密度為ρ,則該小段的帶電荷量Δq=ρ?Δl,在 P點產生的場強:E=而r2=R2+L2,P點處的場強又可分解為

因為圓環上電荷分布具有對稱性,所以y軸方向的合電場為0.則 P點的場強為

通過上面的舉例我們可以看出,“微元法”使曲與直統一起來了,使變與不變統一起來了,使一般與特殊統一起來了.通過對教材的認識,通過平時的訓練,相信學生在教師的引導下必定能夠逐漸領會微元法的奇妙之處,達到一通而百通. (收稿日期:2010-02-01)