帶趨勢的二元選擇面板數(shù)據(jù)模型估計

韓本三

（西南財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院，成都 610074）

0 引言

微觀面板模型是個有趣的也是富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。因為面板數(shù)據(jù)模型由傳統(tǒng)的線性過度到非線性面臨很多問題而且不同的數(shù)據(jù)類型處理方法上也差別很大。最基本的模型是帶有固定效應(yīng)的二元面板模型，稱為兩時期兩狀態(tài)模型（見Arellano和 Honore，2001）。這個二元模型是個潛變量模型，因變量被描述為解釋變量的線性組合與個體固定效應(yīng)以及隨個體時間而變化的設(shè)定沖擊的和。我們感興趣的參數(shù)是解釋變量的系數(shù)。如果我們用通常的極大似然法估計，會產(chǎn)生“意外參數(shù)問題（Baltige，2005）。因為隨著個體數(shù)N增加固定效應(yīng)的個數(shù)也在增加。對于Logit模型，Chamberlain(1980)發(fā)現(xiàn)二元因變量按時間求和對個體固定效應(yīng)是個最小的充分統(tǒng)計量（即 S-充分性，Barndorff-Nilsen，1987）。這樣便得到了解釋變量系數(shù)的條件Logit估計。這種方法的一個關(guān)鍵假設(shè)是設(shè)定沖擊間相互獨立性。Magnac(2004)在沒有沖擊獨立的條件下，推廣了條件Logit模型，提出了相應(yīng)的半?yún)?shù)估計。

1 沖擊獨立下的條件Logit估計

基本模型如下：

yt=1，當且僅當 xtβ+ηt+ε+μt>0；否則 yt=0

其中t=1,2,3,4；xt是L維實向量。為簡便模型省略了個體下標 i。

假設(shè)R：

（1）x1(1)-x2(1)-x3(1)+x4(1)在整個實線上連續(xù)變化，xt(1)表示 xt的第一個分量，β(1)=1，即β的第一個分量為1；

（2）x1-x2-x3+x4的取值不共線；

（3）隨機沖擊(μ1,μ2,μ3,μ4)具有嚴格正的、連續(xù)的、有界的密度函數(shù)，并且與x1,x2,x3,x4,η,ε獨立。

假設(shè)（1）和（2）是為了保證模型能夠被識別，參照Magnac(2004)。假設(shè)（3）是為了得到充分統(tǒng)計量的一個等價刻畫。對于條件 Logit估計，μ1,μ2,μ3,μ4還被假設(shè)為獨立的， 并且服從Logistic分布。

當K=0或4時，上述結(jié)論顯然是成立的。下面說明當K=1時結(jié)論是成立的，其他情況類似。當K=1時會有四種情況出現(xiàn)，我們選擇y1=1,y2=y3=y4=0來說明

證明：容易知道K和S的取值范圍分別為{0,1,…,3,4}和{0,1,…,8,10}。當K=0,4或S=0,10時，結(jié)論顯然成立。因為K,S取值是相關(guān)的，根據(jù)其范圍我們可得只有當K=2,S=5時，y1,y2,y3,y4的取法才不唯一，此時y1=1,y2=y3=0,y4=1或y1=0,y2=y3=1,y4=0。

上述結(jié)果與η和ε無關(guān)。同理可得

從而我們可以寫出條件似然函數(shù)為

其中當 y1=0,y2=y3=1,y4=0時，wi=1；當y1=1,y2=y3=0,y4=1時，

對于T>4的情況，我們可以對個體時間序列按相鄰的四個作為一組，構(gòu)造似然函數(shù)，可以證明似然函數(shù)形式是相同的，區(qū)別僅在于K和S的取值上。這種方法雖然在一致性上沒有問題，但對于有效性，還有值得考慮的地方，因為我們將一個四期的面板模型轉(zhuǎn)化為了一個截面數(shù)據(jù)模型。

2 充分性的等價刻畫

第二部分的條件Logit估計方法有兩個很強的假設(shè)：μt間的相互獨立性和Logistic分布假設(shè)，因而受到批評（Magnac，2004）。 正如 Magnac(2004)中的做法，我們希望能夠在沒有沖擊獨立的假設(shè)下得到其似然函數(shù)，對于Logistic分布假設(shè)，一個自然的方法是利用半?yún)?shù)方法。充分性定義仍然和前面一樣：

下面我們給出充分性的一個等價刻畫。

證明：令 zt=-xtβ-ηt-ε，根據(jù)假設(shè) R（3）有

由充分性定義，我們只需要證明對(y1,y2,y3,y4)∈{(1,0,0,1),(0,1,10)}定理1成立。因為在對條件下，其概率和為1，所以我們只需要考慮一種情況就可以了。

根據(jù)假設(shè) R 可知 r(z1，z2，z3，z4)在 R4是光滑的，并且 z1，z2，z3，z4在整個實軸上變動。

這樣要使得 r(z1，z2，z3，z4)與 η、ε 無關(guān)，即有 z1，z2，z3，z4一種組合能夠消除η和ε，并且能夠保留我們需要估計的參數(shù)β。 因為 xt可能導(dǎo)致線性無關(guān)性，我們只需要考慮 z1，z2，z3，z4的線性組合。這樣只存在兩類組合方式：z1-z2-z3+z4和(z1-z4)+3(z3-z2)。其他組合是這兩種組合中一種的常數(shù)倍，所以我們只需要考慮這兩種類型。假設(shè)

在假設(shè) R 下，當 z1→∞ 時，c((z1-z4)+3(z3-z2))→c(∞)=0，當z3→∞ 時，c((z1-z4)+3(z3-z2))→c(∞)=∞，矛盾。 所以我們有

我們還可以看出c(·)在R上是從∞到0的嚴格遞減的函數(shù)。根據(jù)定理2可得沒有獨立性假設(shè)下的條件似然函數(shù)

3 結(jié)論

本文考察了帶趨勢的二元面板模型估計問題。對于非線性模型，差分方法已經(jīng)不再適用。但是由于固定效應(yīng)模型中固定效應(yīng)參數(shù)會隨著個體樣本增加而增加，從而利用極大似然估計會出現(xiàn) “意外參數(shù)問題 （incidental parameters prob-lem）”。為此，本文第二部分在隨機沖擊獨立并且其分布是Logistic分布的假設(shè)下，證明了對個體固定效應(yīng)和趨勢項系數(shù)是充分的。利用這個結(jié)果寫出了相應(yīng)的條件似然函數(shù)（2）。但是這兩個假設(shè)太強，本文第三部分放松了這兩個假設(shè)，并且得到了對個體固定效應(yīng)和趨勢項系數(shù)仍是充分的充要條件。據(jù)此我們可得到在沒有這兩個假定的情況下的半?yún)?shù)估計式（4）。

對本文的一個直接推廣是解釋變量不一定要求是線性組合形式xtβ，一般的形式為ft(xt,β)。這樣我們的結(jié)果就是非線性函數(shù)的差分。如果Matzkin(1992)中條件被滿足，ft(xt,β)甚至可以部分未知的。

一個比較困難的問題是帶趨勢的三期二元面板模型。本文的充分性對三期面板是不適用的。因為在充分性的每個可能取值條件下，yt的值都是確定的，從而條件似然函數(shù)都與個體固定效應(yīng)和趨勢項系數(shù)無關(guān)。考慮三期的一個明顯優(yōu)點是我們可以將一個四期轉(zhuǎn)化為兩個三期，從而可能增加信息度，提高有效性。

更困難可能是將這個方法推廣到其他模型中去，比如Poisson模型，動態(tài)模型(Honore和 Kyriazidou，2000)以及 Tobit類模型估計。

[1]Arellano,M.,B.E.Honore.Panel Data Models:Some Recent Developments[A].In Handbook of Econometrics,Vol.5,ed.By E.Leamer and J.J.Hechman[Z].Amsterdam:NorthHolland,2001.

[2]Chamberlain,G.Analysis of Covariance with Qualitative Data,the Review of Economic Studies,Vol.47,No.1[J].Econometrics Issue，1980,（1）.

[3]Honore,B.E.,E.Kyriazidou PanelDataDiscreteChoiceModels with Lagged Dependent Variables[J].Econometrica,2000,70.

[4]Matzkin,R.Nonparametric and Distribution-Free Estimation of the Binary Threshold Crossing and The Binary Choice Models[J].E-conometrica，1992，（60）.

[5]Baltige,B.H.Econometric Analysis of Panel Data(3rdedition)[M].Chichester:John Windy&Sons Press,2005.

[6]Magnac,T.Panel Binary Variables and Sufficiency:Generalizing Conditional Logit[J].Econometrica,2004，6（72）.

[7]Manski,C.F.Identification of Binary Response Models[J].Journal of the American Statistical Association,1988，（83）.