基于AR（1）需求模式和固定間隔期訂貨點法的牛鞭效應分析

周章金，郭進利

（上海理工大學，上海 200093）

0 引言

1961年Forrester首先發現需求隨著供應鏈上游逐級放大的現象并做了相應的研究，初步揭示了供應鏈中時間延遲、需求放大等動態性的存在，該現象被稱為“牛鞭效應”，同時也被稱為“Forrester效應”。目前對這種現象的稱謂很多，有一般人所熟知的“蝴蝶效應”，也有稱為牛鞭效應、長鞭效應、供應鏈需求信息的扭曲、信息時滯。

1984年，麻省理工學院的J.D.Sterman教授為證實牛鞭效應的存在主持了一項供應鏈物流管理動態模擬實驗——啤酒實驗。實驗結果顯示：每個經營者都有自己的庫存量決策依據，他們相信市場波動是外部因素造成的，而消費者需求正是順應這種波動而發生變化的。

美國斯坦福大學的教授Lee及其合作者把導致牛鞭效應的原因歸納為以下5種原因：（1）需求信號處理；（2）限量供應和短缺博弈；（3）交貨時間延遲；（4）價格波動；（5）批量訂貨[1]。

本文研究牛鞭效應與其他的定量研究有所不同，本文不考慮供應鏈中的預測因素，而只考慮非預測因素對牛鞭效應的影響。通過基于AR（1）的需求模式和訂貨點法的庫存策略，分析了平滑期、相關系數及提前期等對牛鞭效應的影響，并為盡可能減少牛鞭效應提出了一些方法手段。

1 模型假設及前提

本節的研究對象是由1個零售商和1個生產商組成的簡單兩級供應鏈系統。假設零售商是生產商的唯一買方，他們之間只交易1種產品。雙方的行為發生在一個無限離散的時間范圍內，即 t=-∞,…，-1，0，1，…，∞。 零售商從發出訂單到收到貨物的時間（即提前期）L[2][3]。

用于模擬終端顧客的需求的方法有從簡單的獨立同分布到動態非穩定的一系列隨即過程。實踐證明，沒有任何一種需求預測的方法能夠完全真實的反映實際的情況。由于AR（1）模擬終端顧客需求較為成熟，且計算難度不大，成為眾多學者優先選擇的對象。

同時零售商可采用的需求預測的方法也是琳瑯滿目，例如，一次移動平均法SMA、二次移動平均法DMA、一次指數平滑法SES、布朗單參數指數平滑法BSES、霍爾特雙參數指數平滑法HDES、溫特季節性指數平滑法WSES等等。本文僅采用一次移動平均法SMA。

因此，我們假設零售商面對的終端顧客的需求為一個簡單的平穩AR（1）自相關時間序列：

式中：Dt：t時期終端顧客的需求；

μ：非負常數；

ρ：相鄰兩個時期終端顧客需求之間的相關系數，|ρ|＜1為需求平穩的條件；

εt：市場需求的變動誤差，且εt為滿足均值為0，方差為σ2的獨立同分布隨機變量。

由（1）式我們很容易導出Dt的均值及方差：

圖1 需求預測過程中的牛鞭效應（-1＜ρ＜1，P=5；P=8）

圖2 二級供應鏈牛鞭效應L與P的關系（ρ=0.7）

在這里，我們可以注意到，變量取不同的值代表了不同的需求模式：當μ=0，ρ=1時，需求為隨即游走過程；當ρ=0時，需求為均值為μ，方差為σ2的獨立同分布過程；當-1＜ρ＜0時,相鄰兩期需求負相關,過程呈現振蕩行為；當0＜ρ＜1時,相鄰兩期需求正相關,過程呈現波動趨勢;當|ρ|→1時,需求過程呈非穩定狀態[4]。

2 需求預測過程中的牛鞭效應

移動平均法簡單易用，且效果不錯，被廣泛應用于企業的經營管理中。假設零售商采用移動平均法，平滑期為p，則零售商對時期t的需求預測為：

式中：Dt-i：終端顧客在t-i時期的實際需求。

考慮到訂貨提前期L，這段時期內的總需求預測為：

由（3）式我們可以得出：

由圖1我們可以看出固定ρ，增加平滑期P能夠減小牛鞭效應，但隨著P增加減小作用減少；提前期L越長，牛鞭效應越顯著，同時L小于某最小值時，沒有牛鞭效應發生，該最小值隨著ρ的增大而減小。

3 信息處理過程中的牛鞭效應

零售商對終端顧客的需求做出預測后，需要根據自己的庫存策略向生產商進行訂購。在經典的庫存理論中，有固定量系統，固定間隔期系統和最大最小系統。公司一般都是間隔一定時期來在ERP系統中Run MRP，故采用與Run MRP相同周期的固定間隔補貨期是經濟合理的。即每隔一個周期，采用訂貨點法將庫存補充到一個最高水位yt。有[5]：

yt：零售商采用訂貨點法的得到的t期的最高庫存；

那么零售商向生產商發出訂單的數量為：

將（3）（7）帶入（8），有：

為了方便起見，我們令z=0，故上式有：

則qt的方差為：

令B表示信息處理過程中的牛鞭效應，有：

由于前面有假設|ρ|＜1，故(1-ρP)＞0，因此 B＞1，即零售商向供應商發出的訂貨量始終大于終端顧客的實際需求Dt。進一步分析，有：

因此，隨著提前期L的增大，牛鞭效應將增大；平滑期P越長，牛鞭效應將減小。

至于 ρ，應該分類討論，當 0＜ρ＜1 時，?B/?L＜0，即相關系數ρ越大，牛鞭效應越??；當ρ=0時，B=1+2L/P(1+2L/P)，牛鞭效應ρ與值無關，僅取決與L/P的比值；

當-1＜ρ＜0 時，若 P 為偶數，?B/?L＞0，即相關系數 ρ越大，牛鞭效應越大；

若 P 為奇數，?B/?L＜0，即相關系數 ρ 越大，牛鞭效應越小。

4 信息傳遞過程中的牛鞭效應

本文研究的是耳機供應鏈系統，如果生產商與零售商之間沒有進行信息共享，那么生產商在向上一級訂購原材時，也只能根據零售商以前向他訂貨的歷史數據來進行預測，即零售商的訂購模式就是生產商的需求模式。

將（1）式帶入（9）式得生產商在t時期對零售商的需求預測為：

進一步推導qt的均值和方差：

移相整理得：

我們可以觀察到（17）式中的牛鞭效應的表達式與（11）一樣。同時由（15）我們可以觀察到，當終端顧客的需求信息為AR(1)的時間序列時，零售商采用移動平均法的預測方法和訂貨點法的庫存策略時，生產商與零售商之間信息不共享，那么生產商的需求預測為一個ARMA（1，P）的隨機過程。

5 小結

本文推導了基于AR（1）需求模式和訂貨點法的二級供應鏈牛鞭效應的量化模型，推導了零售商在對終端顧客的需求預測中，零售商在向生產商訂貨的信息處理過程中，生產商在預測零售商的訂貨數量的信息傳遞中的牛鞭效應，并得出了相關結論。為定量計算牛鞭效應提供了依據，也為進一步研究供應鏈系統提供了基礎。

[1]Lee H L,Padmanabhan V,Whang S.The Bullwhip Effect in Supply Chains[J].Sloan Management Review,1997，23.

[2]劉紅,王平.基于不同預測技術的供應鏈牛鞭效應分析[J].系統工程理論與實踐,2007，(7).

[3]曹慶仁,周敏,宋學鋒.固定間隔期補充定貨策略中牛鞭效應的計算[J].中國礦業大學學報,2004，(5).

[4]萬杰,寇紀淞,李敏強.需求信息預測與處理中的牛鞭效應[J].天津大學學報,2003，(5).

[5]劉紅.供應鏈牛鞭效應研究[D].上海海事大學,2006.