尋找動力學系統主分岔參數的一種方法

秦朝紅，陳予恕

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001，zhh-qin@163.com)

尋找動力學系統主分岔參數的一種方法

秦朝紅，陳予恕

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001，zhh-qin@163.com)

對于多參數系統，為了能很好的研究系統動力學特性隨參數的變化，給出了一種尋找動力學系統主分岔參數的方法.通過對特征根進行擾動，來判斷對系統動力學特性影響最主要的參數.針對不同的特征根類型給出了不同的算法，并舉例進行了驗證.該方法能有效地從諸多的系統參數中識別出對系統動力學特性影響比較大的參數.而且按照參數對系統動力特性影響的大小進行排序，同樣可識別出主要的開折參數.該方法不僅適用于自治系統，同樣適用于非自治系統.

動力系統;特征根;分岔參數

奇異性理論是研究約化方程分岔特性的一種有效的方法.利用奇異性理論［1－5］可分析各個開折參數區域內狀態變量隨分岔參數的分岔情況.但對于實際的動力學系統，往往有很多的參數.通常人們是根據經驗選取某一參數作為一個分岔參數.胡海昌［6］利用模態展開法和近似法研究了動力學系統參數攝動引起結構固有振動特性(固有頻率和振動模態)變化的問題.William［7］對標準的一階攝動法進行了改進，用結構修改前的特征向量關于修改后的質量矩陣的內積來代替關于修改前的質量矩陣的內積，從而提高了一階攝動的精度.陳塑寰等［8－12］對小參數法做了一些補充，并提出了改進方法，如振型一階導數的高精度截尾模態展開法、混合基展開法等.Seyranian，Mailybaev［13］給出了多參數穩定性理論，詳細討論了參數變化時，系統參數對穩定性的影響.本文將利用該思想給出一種尋找主分岔參數的方法.對于特征根為單根和半簡的情況，該方法尤為簡單.對于特征根為虧損的情況同樣適用.該方法不僅可以識別出主分岔參數，而且按照參數對系統動力特性影響的大小進行排序，同樣可識別出主要的開折參數.該方法還可推廣到具有周期系數的動力系統中.

1 特征根分析

考慮特征根問題:

式中:A是m×m階實數矩陣，u是右特征向量.則特征根λ為

式中:I為單位陣.

特征根的重數稱為代數重數k.對應特征根的線性無關的特征向量的最大個數稱為幾何重數kg.通常kg≤k.如果代數重數為k，但幾何重數為 1，那么稱特征根為虧損的.如果代數重數為 1，則稱特征根為單根;如果代數重數為k，幾何重數也為k，那么稱特征根為半簡的.單根和半簡根稱為非虧損特征根.

1.1 虧損特征根情況

首先考慮虧損特征根λ，其存在k個線性無關的特征向量滿足方程:

式中:u0，u1，…，uk－1為長度為 k 的約當鏈，其中，u0稱為特征矢量，u1，…，uk－1為相關矢量.式(3)可寫成矩陣形式為

同樣可以考慮左特征向量及約當鏈問題.

式中:v為特征根λ的左特征向量，vT為v的轉置.

對于非虧損特征根，其左、右特征向量之間滿足正交關系:

1.2 單根情況

如果特征根λ為單根，則存在特征向量u使得

同樣，其左、右特征向量之間滿足正交關系為

1.3 半簡特征根情況

如果特征根為k重半簡特征根，則存在k個線性無關的特征向量滿足方程:

式(11)可寫成矩陣形式為

其左、右特征向量之間滿足正交關系為

式中:δij為 Kronecker Delta符號.

對于所有特征根，可計算其約當標準型為

2 動力系統參數變化對特征根的影響

對于一般的自治動力系統，都可將其寫為一階狀態方程的形式:

式中:X為狀態向量，A為Frechet導數，F(X)為狀態向量X的非線性向量函數.

在實際問題中，矩陣A通常都是參數的函數.假設矩陣A光滑依賴于參數矢量p=(p1，…，pn).

2.1 單根情況

設λ(p0)是A(p0)的單根時，計算p0處λ和u對參數p的導數.將式(9)兩邊對參數求導得

式中:u0為p0處特征根λ0=λ(p0)的右特征向量.式(19)可變形為

其正交條件為

將式(22)兩邊對系統參數求導得

將式(23)兩端左乘v0的共軛矢量v0并與式(20)相加得

G0是非奇異的，于是得

對于單根，通常比較關心的是特征根為0或±iω附近特征根隨系統參數變化的情況.

例1 對于Lorenz方程:

顯然(x，y，z)=( 0， 0，0)是平衡點，其線性化的系數矩陣為

當(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)時，A有3個特征值 0，－ 3，－ 1.根據式(21)可以求得在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近，特征根λ =0隨參數的變化關系為

從式(28)可以看出，在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近參數ρ對特征根λ=0的影響最大.

當(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)時，A有3個特征值± iω，－1.根據式(21)可求得(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，特征根λ =iω隨參數的變化關系為

當參數變化時，特征根實部影響的是動力系統振動的穩定性及解的拓撲性質，而虛部影響的是振動的頻率，由式(29)得:

從式(30)可以看出，在(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，參數σ對特征根λ=iω的實部影響最大.

2.2 虧損特征根的情況

因為實際工程中經常遇到的是二重零根或二重純虛根的情況，下面只討論二重虧損特征根.

設矩陣A(p)，當p=p0時A0=A(p0)有一個虧損的二重根λ0，其左、右特征向量分別為v0，v1和 u0，u1，它們之間滿足

且左、右約當鏈滿足:

假設參數是沿著光滑曲線變化的，且

在起始點處曲線的方向為e=(e1，…，en)，即

p(ε)在ε=0處對ε的二階導數為

沿著曲線p(ε)，可將矩陣A=A(p(ε))展成泰勒級數形式:

由特征根理論知，當參數變化時二重非虧損特征根λ0分裂為兩個單根λ.λ和其對應的特征向量的u的Newton-Puiseux級數形式為

將式(38)和式(39)代入到式(1)得

為了唯一的確定特征向量u，選擇正交條件為

式中:vT1為左特征矢量，且有vT1u0=1.將式(40)的第2式代入到式(42)可得:

將式(41)的第2式與式(31)相比較得

根據式(44)，可將式(41)的第3式寫為

因為A0－λ0I是奇異的，所以w2要有解，只有式(45)右端滿足正交條件為

根據正交條件式(32)可得

將式(43)的第4式左乘vT0并利用式(31)、式(32)、式(44)和式(48)得

由正交條件式(43)得:

將式(51)左乘ˉv0并與式(45)相加得

例2 以Lorenz系統為例.其線性化的系數矩陣為

當(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)時，A有3個特征值02，－1.根據式(54)可得特征根λ=02隨參數的變化關系為

所以在(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)附近，參數ρ對特征根λ=02的影響比較大.

2.3 半簡特征根的情況

這里只考慮雙半簡的情況.其滿足特征方程:

假設在p=p0時，矩陣A0=A(p0)有兩個特征根λ1=λ2=λ，其左、右特征向量分別為v1，v2，u1，u2，它們滿足正交關系式(15).可計算式(62)在p=p0處的導數為

從式(67)可以看出，參數p1對特征根變化的影響更大.

3 非自治系統參數變化對特征根的影響

對于非自治系統，通常可以利用平均法或者多尺度法等將其化為自治系統.將系統化為自治系統后，仍可用上述方法來尋找分岔參數.以非線性Mathieu方程來進行說明.方程形式為

采用多尺度法可求得其一階近似的平均方程為

( 0，0)是式(69)的平衡點，且在( 0，0)處的Frechet導數矩陣為

式(70)的臨界特征可能有4種情況: 0，± iω，02，( 0，0).

3.1 有一個0特征根的情況

從式(72)可以看出，參數μ1對特征根λ=0的影響更大.

3.2 有一對純虛特征根的情況

3.3 有一對虧損0特征根的情況

此時式(75)有一對虧損特征根為λ1= 0，λ2= 0，根據式(54)可求得:

從式(76)可以看出，參數μ1對特征根λ=02的影響更大.

3.4 有兩個半簡0特征根的情況

這種情況不存在.

從上述分析可以看出，當系統有一個0特征根和一對虧損0特征根時，參數μ1對動力學系統的影響更大;當系統有一對純虛根時，參數δ對動力學系統的影響更大.

4 結論

1)該方法可以有效地識別出對系統動力特性影響比較大的參數.對于特征根為單根和半簡的情況，該方法尤為簡單.對于特征根為虧損的情況，該方法雖略復雜，但同樣適用.

2)該方法不僅可以識別出主分岔參數，而且按照參數對系統動力特性影響的大小進行排序，同樣可識別出主要的開折參數.

3)該方法還可推廣到具有周期系數的動力系統中.對于有外激勵的非自治系統，可以用平均法、多尺度法將其化為自治系統，同樣可用該方法識別出對系統動力學行為影響比較大的主參數.

［1］CHEN Y S，ANDREW Y T L.Bifurcation and Chaos in Engineering［M］.London:Springer-Verlag，1998.

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［6］胡海昌.多自由度結構固有振動理論［M］.北京:科學出版社，1987.

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［12］陳塑寰.結構動態設計的矩陣攝動理論［M］.北京:科學出版社，1999.

［13］SEYRANIAN A P，MAILYBAEV A A.Multiparameter Stability Theory with Mechanical Application［M］.Singapore:World Scientific，2003.

A method to find the main bifurcation parameter of dynamic system

QIN Zhao-hong，CHEN Yu-shu

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zhh-qin@163.com)

To study the change of bifurcation properties of the system with structural parameters，a method to find the main bifurcation parameter of the dynamic system is presented in this paper.After disturbing the eigenvalue of Frechet matrix，the main bifurcation parameter is found.Different algorithms are given for different eigenvalue forms.The bifurcation parameter which has appreciable effect on dynamic characteristics of the system can be effectively identified from multiple parameters.And the unfolding parameters can be identified as well according to the effects of parameters on the system.This method can not only be used in autonomous systems，but also in nonautonomous systems.

dynamic system;eigenvalue;bifurcation parameter

O322

A

0367－6234(2010)05－0716－05

2009－04－01.

國家自然科學基金重點資助項目(10632040).

秦朝紅(1979—)，女，博士研究生;

陳予恕(1931—)，男，教授，博士生導師.

(編輯 張 紅)