基于主成分分析的BP神經網絡及其在需水預測中的應用

龍訓建 錢 鞠 梁 川

水資源是人類社會生存與發展中不可替代的重要自然資源及生態環境系統的基本要素[1]。隨著人口增長和工農業生產的發展,水資源供需矛盾日益加劇,所面臨的水危機日益嚴重;加上社會經濟用水擠占了生態用水,使得天然河湖萎縮、消失,土地荒漠化等,造成生態環境失調,嚴重阻礙了經濟社會的持續發展[2～4]。用水量的高速增長和水資源的短缺使得水資源規劃和用水系統的優化調度越來越重要,進行需水量預測則成為了實現水資源規劃和管理的有效手段之一[5]。作為全國首批節水型社會試驗縣之一,近年來,甘肅省瓜州縣經濟建設快速發展,產業結構戰略性調整,對水資源需求、開發和利用提出了新要求,因此,確保水資源的高效利用成為了經濟和社會可持續發展的重要保證。

國內外關于需水預測研究歷史悠久,但由于近年來水資源與經濟社會之間的矛盾愈加突出,對于水資源需求的研究方式也呈現多樣化發展趨勢[6]。各種計算模型、模擬程序(如定額預測、回歸分析預測、指數法預測、灰色模型預測、神經網絡模型等)都嘗試應用于需水預測方面的研究[7～9]。選擇合理的需水預測方法,不僅可以增加水資源配置研究工作的實際操作性,還可得到更符合社會經濟發展趨勢的結果。無論采用何種需水預測模型,都需要對影響因子進行篩選。因子選擇過少,必然會影響預測結果的準確性;因子過多,會使網絡訓練復雜化,可能陷入局部優化問題,難以得到全局優化解。人工神經網絡是當前國際學術界十分活躍的前沿研究領域,具有廣泛的應用領域。本文首先應用主成分分析法確定影響總需水量的主要因子,然后以此構造BP神經網絡的輸入樣本,進行BP神經網絡的訓練與預測,以提高模型的學習和泛化能力。

1 研究方法

1.1 主成分分析法

在相關影響因子分析中,主成分分析是將多個指標化為少數相互無關的綜合指標的統計方法。其基本思想是通過變量的相關系數矩陣內部結構的研究,找出能控制所有變量的少數幾個隨機變量去描述多個變量直接的相關關系[10]。從數學角度而言,這屬于降維處理技術。對于有n個樣本的p個變量的原始資料矩陣X(n×p),進行主成分分析過程為：

a.對原始數據矩陣 X(n×p)標準化處理,得到新的數據矩陣

b.建立標準化后的p個指標的相關系數矩陣R

d.計算貢獻率em和累計貢獻率Em。

e.計算主成分荷載zm。它表示主成分與變量之間的相關系數。

1.2 BP神經網絡需水預測

人工神經網絡是通過數學方法對人腦若干基本特性進行的抽象和模擬,是一種模仿人腦結構及其功能的非線性信息處理系統[11,12]。經過半個多世紀的發展,由于各種網絡結構和算法系統的產生,已逐漸發展成較為完善的人工神經網絡理論體系。BP神經網絡是該技術中應用最為廣泛的一種,其特點有[11,13～15]：自適應、自組織、自學習的能力、非局域性和非凸性的突出優點。正是這些特點使得該方法已經解決了許多實際問題,其生命力也恰恰在于廣泛的實用價值[11]。為了能夠更好地泛化全局最優問題,許多學者提出了很多針對性的辦法,主要包括以下三方面的改進[11]：一是提高網絡的訓練速度;二是提高訓練精度;三是避免落入局部極小點。

通常情況下,需水預測BP神經網絡模型包括輸入層、隱含層和輸出層3部分。3層BP神經網絡模型的理論計算步驟大致為：

第1步,將樣本的輸入、輸出變量歸一化處理,即將所有數據轉化至[0,1]之間。給每個連接權值wij,vjt,閾值與賦予區間(-1,1)內的隨機值。

第2步,用輸入樣本 xk=(x1k,x2k,…,xnk)、連接權值和閾值θj計算隱層各單元的輸入,然后用通過傳遞函數計算隱層各單元的輸出bj。

第3步,利用隱層的輸出bj、權值 vj和閾值γt計算輸出層各單元的輸出Lt,然后通過傳遞函數計算輸出層各單元的實際輸出Ct。

第4步,利用網絡目標向量 Tk=(y1k,y2k,…,yqk)與網絡的實際輸出Ct,計算輸出層的各單元訓練誤差dtk。

第5步,利用連接權值vjt、輸出層的訓練誤差dt和中間層的輸出bj計算隱層各單元的訓練誤差ejk。

第6步,利用輸出層各單元的訓練誤差dtk與隱層各單元的輸出來修正連接權值閾值。

2 結果與分析

2.1 確定需水量主要影響因子

選取瓜州縣1988～2007年總需水量序列資料和區域社會經濟資料作為基礎數據(部分統計結果見表1),將總需水量作為主成分回歸分析的因變量,國內生產總值、工業產值、農業總產值、人口總數、耕地面積、播種面積和大牲口數量7個因子作為自變量,應用SPSS分析軟件的主成分分析功能,求得相關系數矩陣R,結果見表2。從表2可知,7個因子存在不同程度的相關性。其中,國內生產總值與農業總產值的相關系數為0.981,國內生產總值與人口總數、人口總數與農業生產總值的相關系數均為0.965。由此可提取出彼此獨立的變量,篩選有代表性的因子構造BP神經網絡的輸入樣本。

根據表2的相關系數矩陣和主成分分析步驟b～d,得到所篩選7個因子的相關系數矩陣R的特征值和貢獻率計算結果,列于表3。從表3可以看出,第1個因子的貢獻率為80.987%,前2個因子的累計貢獻率達到93.193%,由此表明這2個因子基本上代表了原來7個因子93.193%的信息。由于通常情況下,因子累計貢獻率達到90%以上時就可以反映相關因子的影響,因此,可確定所選7個因子中的前2個因子代替原變量。

由式(6)計算表3中前2個因子的荷載矩陣,結果見表4。由表4可看出,國內生產總值、工業產值和農業總產值對第一主成分的相關系數都超過了0.95,相對其他因子貢獻最大;大牲口數對第二主成分貢獻最大。因此,選用國內生產總值、工業總產值、農業總產值和大牲口數4個因子作為主成分,并以此構造BP神經網絡輸入樣本。

2.2 改進的BP神經網絡

2.2.1 模型的建立

建立BP神經網絡需水預測模型,首先要確定輸入層、隱含層和輸出層的節點數。輸入層的節點數為影響水資源需求量的因子數。通過主成分分析法,與瓜州縣年總需水量有顯著關系的主要影響因子包括：國內生產總值、工業總產值、農業總產值、大牲口數,由此可得出輸入層為4個節點。各因子1988～2007年的統計結果見圖1。預測對象為年總需水量,因此輸出層為1個節點。隱含層節點數的確定采用試算法,選取訓練與測試結果誤差最小所對應的隱含層神經元數作為最后確定的隱含層節點數。

表1 瓜州縣典型年需水量及社會經濟統計表Table 1 Water demand&social economy statistics of Guazhou,Gansu

表2 各自變量的相關系數矩陣Table 2 Correlation coefficients matrix of variables

表3 主成分特征值和貢獻率Table 3 Eigenvalues and contribution rates of principle constituents

表4 主要因子的荷載矩陣Table 4 Load matrix of main indices

圖1 四個主成分因子年際變化序列Fig.1 Variation of annual distribution of the four main indices

2.2.2 模型求解

通常情況下,為了加快訓練過程中的收斂速度,需對原始數據進行歸一化處理,具體計算公式為：

從樣本數據中選取1988～2004年樣本進行網絡訓練,2005～2007年的已知樣本對網絡進行檢驗。同時,選取適當初始學習率η=0.9,運算次數10 000,允許精度E=0.05,訓練函數采用Polak-Ribiere共軛梯度法的Purelin函數。經試算,在隱含層神經元數為8時,訓練效果最佳,預測值與實際值對比結果見圖2。采用此次訓練結果進行樣本檢驗,檢驗結果及檢驗誤差見表5。

從圖2可知,各年需水量預測值與實際值擬合精度較高,曲線基本重合。表5中檢驗結果表明,絕對誤差小于±0.05×109m3,在允許誤差范圍內。顯然,這種基于主成分分析法構造BP神經網絡的輸入矩陣的訓練過程誤差較小,取得的預測結果也令人滿意。

圖2 BP神經網絡預測結果Fig.2 Prediction outcome of BP neutral networks

表5 總需水量預測檢驗結果Table 5 Testing outcome of total water demand prediction

3 結論

a.通過主成分分析,確定了影響瓜州縣需水量的主要因子,包括國內生產總值、工業總產值、農業總產值、大牲口數。這4個因子的累計貢獻率達到93.193%。

b.由于神經網絡模型具有局部逼近的特征和較強的非線性映射能力,因此它能夠較好地模擬具有較強非線性變化特點的需水預測問題。基于主成分分析的BP神經網絡簡化了網絡輸入樣本,消除了網絡輸入之間的相關性,降低了網絡的輸入層數,改善了程序執行效率,從整體上提高了網絡的性能。最終取得了良好的預測結果。

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