調用伽瑪函數實現變厚齒強度的概率可靠性調優計算

張楓念

東風汽車傳動軸有限公司

1 偏置設計的變厚齒

在以往進行可靠性設計計算時,在計算得出可靠性系數后,還再要查表,才能得出可靠度值。因為直接計算時,其中的拉普拉斯函數是很麻煩的,為了手算方便,列出標準正態分布數值表供使用是很必要的,這樣可減少許多計算工作量。然而這種做法在用計算機作可靠性調優計算時是很不理想的,它會阻礙計算機的自動高效的調優計算。現在可通過編程,在計算機上調用伽瑪函數實現變厚齒可靠性調優計算。因為在偏置設計的變厚齒強度的計算中,可以只用變動一個參數,即變動偏移距bom就能改變強度校核的安全系數和概率可靠性設計中的可靠度。

所以用它來說明調用伽瑪函數實現變厚齒強度的概率可靠性調優計算,是最為恰當的例子。偏置設計即為有一寬度為b的扇齒,此時扇齒的零變位系數截面即O-O截面在小端一側,形成bom＞0時,則此扇齒是偏置設計,它能提高扇齒強度,見圖1所示。若取bom=0,為不偏置,此時零變位截面O-O與扇齒中間截面m-m重合,稱其為正置設計。任意某端截面q-q處的變位系X(q)即如下求得：X(q)=(S(q)×tgδ)/m;S(q)為距離(mm)是端截面q-q處與O-O截面的距離,它在 0～b/2范圍內變動,δ為切削角,m為模數,此式可計算各不同截面的的變位系數,以及齒形參數。最后本文還對現代可靠性設計,如何建立在我們已積累了較多經驗的強度校核基礎上作了探討。

圖1 偏置設計Fig.1 Offset design

2 變厚齒齒根彎曲強度校核計算

因為可靠性計算所應用的應力、強度的數學模型都是應用原來在機械零件強度校核計算中的數學模型。所以在進行變厚齒齒根彎曲強度概率可靠性計算之前,我們把變厚齒齒根彎曲強度校核計算的數學模型和校核方法作一介紹是很有必要的。

現在我們先建立直齒變厚齒的強度計算方法,由于此變厚齒是轉向器搖臂軸上的變厚齒,是屬于慢速大載荷的傳動件,從以往實際使用中出現的失效形式得知 ,設計搖臂軸齒扇需計算扇齒的齒根彎曲強度,現提出如下方法。

(1)首先提出一個假設 ：

因為直齒變厚齒齒扇的幾何特點就是各端截面的變位系數都不相同,齒廓大小也不相。因此,在這樣的扇齒上沿齒寬的載荷分布是不均等的,沿齒寬的剛度大小也是不一樣的。我 們假設扇齒上載荷分布的大小是與其對應的剛度成正比,而各端截面的剛度是與各截面的分度圓齒厚S成正比。變厚齒的分度圓半徑r,是該齒扇的一個常量,而分度圓齒S在同一齒扇的齒寬上是變化的,大端齒厚SL最大,小端齒厚SS最小。見圖1所示。

式中 ：m=齒扇模數;z齒扇全齒數

α—齒扇壓力角;XL、XS—大小端變位系數。

因此扇齒的合力作用點可通過計算獲得 。從圖2知,如果Sx把大梯形分成兩個面積相等的小梯形,即建立一方程式：為大梯形面積等于兩個相同面積的小梯形。

圖2 假設扇齒上載荷分布Fig.2 Gear load distribution on the assumption that

為了便于計算把上面等底角梯形改成有一底角為直角的梯形,其面積不變,把現有已知的參數代入即得：

展開整理得：

即得：

式中G=arc tan(SS+SL)/b

設y?b處為合力作用點。y—合力距大端系數,y=bxl/b

現以模數m=3～6的循環球轉向器為例,對常見的三種參數組合試求y值如表1所示。

表1 常見的三種參數組合試求 y值Table 1 Common make up of three parameters demand y

表中：m模數,Z全齒數,α°壓力角,δ°切削角,b/m齒寬系數合力y距大端系數。由上表知,切削角δ對y值的影響較大;當切削角δ變小,齒厚變化趨于平緩,y趨向 0.5即向齒寬中間移動,而模數m對y值的影響不大。從以上表1知y值的范圍為：y=0.4538～0.4463。

因此,在簡化計算時即可取 y=0.5,即將作用在齒寬中點的合力作計算載荷。并以齒寬中間端截面作為圓柱齒扇的截面,b為齒寬,以此作一圓柱齒扇 ,即構成一個變厚齒扇的當量齒扇。而這個圓柱齒扇即可按標準GB3480漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法進行計算 。

(2)齒扇的兩種載荷

1)名義載荷

在汽車轉向器總成技術條件里規定,轉向器疲勞試驗時需在搖臂軸上施加額定輸出扭矩T(即是垂臂球銷上的載荷),這就是齒扇的名義扭矩載荷。

式中：L1—搖臂兩孔中心距(m);G1—汽車的前軸載荷(N),名義載荷力Ft=2000T/d(N)

式中：d—分度圓直徑(mm),Ft—中間端面內分度圓圓周上的名義切向力即圓周力(N)

2)計算載荷

由于轉向器在工作中會產生各種附加載荷,將這些附加載荷計入,就成為計算載荷,影響附加載荷的因素很多也較復雜,這里將按GB3480闡述彎曲強度的計算切向力

式中的各項附加系數進行逐項分析選取。

KA—使用系數,考慮由于嚙合外部因素,引起的動力過載影響系數,由路況不良造成較為頻繁的逆向加載是KA中的主因素,按其經常行駛路況的優劣取L=1.05～1.35之間,農用車、礦用車、越野車取大些。偶爾有駛過溝槽楞坡等引起較大的逆向沖擊,則納入沖擊試驗范圍。

KV—動載系數,是考慮齒扇嚙合時振動產生內部附加載荷影響系數,因齒扇的齒面加工精度為8級,工作時的速度又較慢,即使進行疲勞試驗,也不大于每分鐘30次循環,因此引起的附加載荷是很小的,故取KV=1～1.05。

KFβ—齒向載荷分布系數,從大多數轉向器的結構看,齒扇的中線與兩支承的對稱中心都不重合,大多存有一偏距S,若兩支承距為L,比值S/L＞0.1即為非對稱結構,此時KFβ用下式計算得

冪指數

式中：h—齒高。

KFα—齒間載荷分配系數,由于搖臂軸齒扇的重合度較低,若以齒扇中間端截面處的重合度。εam如表2所示。

一般εr=1.1～1.35取KFa=1～1.02

(3)齒根彎曲強度計算

若將扇齒看成寬為b的懸臂梁,不計摩擦力的作用,則作用于齒頂的總作用力Fbt

由嚙合線可分解為切向力Fbt? cosα Fat和徑向力Fbt?Sinα Fat切向力將引起齒根彎曲應力σb徑向力則引起齒根壓應力σc,而壓應力比彎曲應力小得多。

表2 重合度εa m計算值Table 2 Overlap εa mCalculating Value

確定齒根危險剖面位置的方法有多種,這里采用30°切線法,由光彈應力分析此法所確定的危險剖面位置比較符合實際。是符合α=20°的實際,而轉向器扇齒α=25°～27°居多,因而與實際尚存有一定的細微誤差。

1)由圖3知在齒根危險剖面上所受的彎矩

hFa—彎曲力臂,αFat—齒頂端面載荷作用角。

SFt—扇齒端面上的危險剖面齒厚。

圖3 30°切線法的齒根危險剖面Fig.3 30°tangent law Dedendum dangerous section

則名義齒根彎曲應力σW,從 σW=M/W 從上面知

則名義彎曲應力

分子分母均除以m2

令

2)齒形系數YFa的具體計算。

由表2知一般轉向器齒扇的重合度ε＜2,所以在計算齒根彎曲強度時計算齒形系數按GB3480要求選取YFa,按齒頂受載的那一種,即按表3計算

YFa是考慮當載荷作用于齒頂時,齒形對名義彎曲應力的影響。計算YFa,主要是要算出SFn、hFa及齒形系數YFa,可按表3算得,先設定刀具是采用無凸臺的齒條形刀具如圖4所示 。E—為刀齒對稱線的距離hf p—為齒條形刀具于刀齒厚Sc=(πm/2)處的刀齒齒頂高,即刀具的分度截面處的齒頂高,α—齒條刀具齒形壓力角 ,ρ f p—齒條形刀具齒頂兩圓角半徑。計算時的變位系數X取齒扇中間端截面的變位 系數x=Xm齒頂壓力角αa同樣也取中間端截面的齒頂壓力角為αa=αam,αam=arc cos(d b/dam),

圖4 刀具輪廓尺寸Fig.4 Contour Tool Size

dam—齒扇中間端截面處的齒頂圓直徑,db—基圓直徑。齒頂受載齒形系數YFa的有關計算公式

刀尖圓心至刀齒對稱線的距離E

輔助角值θ=(2G/Z)tgθ-H,用牛頓迭代法解,

初值θ=-H/(1-2G/Z)

危險剖面齒厚SFn

30度切點處曲率半經/m ：

齒頂壓力角αav=Arc cos(rb/ra)

齒頂圓齒厚半角 γ α

彎曲力臂/m ：

齒形系數齒形系數yFa=[6(hfa/m)Cos(αFav)]/[(sf/m)2Cos(α1)]

3)應力修正系數Ysa,載荷作用齒頂是的修正系數,應力修正系數Ysa。是將名義彎曲應力換算成齒根局部應力的系數 。它考慮了齒得過渡曲線處的應力集中效應 ,以及彎曲應力以外的其它應力的影響 。齒根的局部應力σFa

式中 ：La=SFa/hFa;qs=SFa/2ρ f

再用彎曲強度計算的重合度系數yε對上述局部應力進行修正成為齒根基本應為σF0

yε一是將載荷由齒頂轉換到單對齒嚙合區上界點的系數,對轉向器齒扇 、齒條嚙合的重合度都在1＜εam＜2的范圍內 ,則 yε可由下式算得,yε=0.25+0.75/εam(因為以上選齒頂受載齒形系數YFa中不包含重合度系數;但計算齒根應力基本值σF0時應包括)

再考慮到載荷各系數的影響,齒根的計算應力為

(4)許用齒根應力σFp的計算

1)彎曲疲勞極限σFlim

根據齒扇所使用的材料,直接從GB3480中查取。σFlim值。材質及熱處理均為優良者取上限,否則相應遞減。搖臂抽齒扇多為合金鋼進行滲碳淬火,其硬化層深度δ≥0.15m(m為扇齒模數),硬度HRC58—62時,一般 σFlim=350-520 N/mm2。因為目前實際生產技術水平存有一定的離散性,下面的算例取σFlim=485～510

2)計算齒扇的許用齒根應力σFp

由于所計算齒扇與標準中直接選取的σFlim值,存在試驗條件不同等因素,必須進行相應的修正,因此齒扇的許用齒根應力為：σFP=(σFlim?yST?yNT/SFmin)?yδrelT?yRrelT?yX;式中：yST—選用 σFlim值的修正系數,當按GB3480標準選用 σFlim值時,規定yST=2.0

yNT—彎曲強度的壽命系數,用來考慮當齒輪只要求有限壽命 N＜3×106時,齒扇的許用齒根應力可以提高的系數。現行的汽車轉向器總成質量分等標準QC/T29.098,規定轉向器疲勞試驗的循環次數,優等品為2.5×106,一等品為2×106,合格品為1.5×106在計算時應立足于高起點取NL=2.5×106次循環yNT=(3×106/NL)0.115

yδrelT—持久壽命時的相對齒根圓角敏感系數,是考慮所計算的材料、幾何尺寸等對齒根應力的敏感度與疲勞極限σFlim的求得有所不同,而引入的系數。系數yδrelT可按下式算得

式中 ρ′—材料滑移層厚度,滲碳淬火鋼 ρ′=0.003 mm

Xo—齒很危險剖面處的應力梯度與最大應力的比值。

Xo=1/5(1+qs),qs—齒根圓角參數,qs=SFt/ρ f

XT試驗疲勞極限時齒根危險剖面處的應力梯度與最大應力的比值,XT≈1/5(1+qsT)GB3480推薦qsT=2.5

yRrelT—持久壽命時相對齒根表面狀況系數,是考慮齒廓根部的表面狀況,主要是齒根圓角處的粗糙度對齒根彎曲度的影響,搖臂軸齒扇齒面粗糙度Rz=10-20之間,故可采用下式計算

yx—彎曲強度計算的尺寸系數yx,是考慮在尺寸增大(扇齒模數m＞5 mm)時,使材料強度降低的尺寸效應系數,主要影響因素是材料及其硬度和結構尺寸。由GB3480彎曲強度計算的尺寸系數yx圖可知在扇齒模數m≤10時,yx=1

本例扇齒模數5 mm＜m＜8 mm,彎曲強度計算的尺寸系數yx=1

(5)彎曲強度的計算安全系數SF

本例齒根彎曲強度的校核計算到此就結束。

3 變厚齒齒根彎曲強度的概率可靠性計算

由以上所述知變厚齒齒根彎曲強度校核計算的計算量很大,世界各國也都有其相應的標準,如我國就有GB3480漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法。由于是采用分離系數法可以把計算分成很多細項來研究,多少年來里面積累了無數前人的經驗和研究成果,使計算方法變得比較完善、成熟。但計算量也越來越大。自從有了計算機輔助計算,大大減輕了強度校核的負擔。如果對分離系數的諸多細項建立了相關的隨機變量處理的機制和方法,并積累了足夠的隨機數據資料,便可以開展概率可靠性計算。

(1)變厚齒齒根彎曲正應力概率模型

對于已知載荷作用于齒頂時齒根彎曲正應力σF的計算公式如下：

齒根彎曲正應力σF的分布規律尚無統一定論,這里定為服從對數正態分布,為齒根彎曲正應力σF概率模型 。其 σF的均值

計算彎曲應力σF的變異系數

齒間載荷分布系數變異系數Ckfα=0.033KFα;作用力變異系數Cft=0.049;使用系數變異系數Cka=0.046;速度系數變異系數Ckv=0.04;齒向載荷分布系數變異系數Ckfβ=0.033;齒間載荷分布系數變異系數 Ckfα=0.033.

(2)變厚齒齒根抗彎曲疲勞強度概率模型齒扇的齒根抗彎曲疲勞強度σFp的計算公式如下：

這里設定為服從對數正態分布,為齒根抗彎曲疲勞強度σFp的概率模型,其σFp的均值

與變異系數CσFp分別為：滲碳淬火鋼彎曲疲勞極限σFlim的變異系數CσFlim=0.0813;彎曲疲勞極限應力修正系數yST的變異系數CyST=0.047619;壽命系數yNT的變異系數CyNT=0.03;圓角敏感系數yδrelt的變 異 系數 Cyδrelt=0.033;齒 根表 面 狀況 系 數yRrelt的變異系數CyRrelt=0.05;尺寸系數 yx的變異系數Cyx=0.02;重合度系數變異系數Cyε1=0.0278