買多少盒才能收集齊

野口哲典

現在，商家的營銷手段簡直到了登峰造極的地步。比如，有的食品廠商會在糕點的盒子里附贈造型獨特、制作精良的玩偶，其中不僅有卡通小動物和卡通人物，還有明星的卡通形象。與糕點相比，也許這些可愛的玩偶更加吸引人。

其實，這種附贈玩具的營銷手段早已出現，只不過現在的廠商把它運用到了一個新的高度。包裝盒中附贈的玩具不僅對小朋友有很強的吸引力，就連很多成年人也為之著迷。本來糕點是主要商品，玩具只是附贈品，但是現在看來，糕點似乎成了附贈品。

由于糕點的盒子里裝入了玩具或玩偶，它不僅可以在超市的食品柜臺銷售，還可以在玩具店銷售。由此可見，商家的這一營銷手段還極大地擴展了商品的市場。

其實，這種營銷手段的高明之處還包括以下兩個方面：第一，附贈的玩偶是成套的，有的10種一套，有的20種一套，有的甚至更多；第二，從糕點的包裝盒看不出里面裝的是哪種玩偶，只有買回家打開包裝盒才能知道。于是，那些想集齊一整套玩偶的人必須多多購買這種糕點。

此外，商家還會有意控制附贈玩偶中一種或幾種的數量，降低它們出現的概率，從而加大集齊一整套玩偶的難度，而這恰恰能激發收集者的興趣。于是，為了收集齊一整套10種玩偶，有人會買幾十甚至上百盒的糕點。

接下來，我們將從概率學的角度研究一下，要收集齊一整套玩偶，平均需要買多少盒糕點。

假設，一套玩偶有兩種。要集齊這兩種玩偶，我們平均要買多少盒糕點？

為了便于計算，我們假設這兩種玩偶出現的概率是相同的。只要買一盒糕點，我們就可以得到其中一種玩偶。之后再買糕點時，得到另一種玩偶的概率為 1/2。這就是說，再買兩盒糕點就有可能得到另外一種玩偶。不過，這只是平均值，實際情況不一定如此。

我們再來看看更為復雜的情況。假設一套共有5種玩偶，那么要集齊一整套玩偶，平均要買多少盒糕點？我們同樣假設5種玩偶出現的概率相同。

只要買一盒糕點，我們就可以得到第一種玩偶；再買糕點時，第二種玩偶出現的概率為 4/5，而4/5的倒數為5/4＝1.25，這也就是說平均要買1.25盒糕點才能得到第二種玩偶；同理，平均要買5/3≈1.67盒糕點才能得到第三種玩偶；第四種，5/2＝2.5盒；第五種，5/1＝5盒。因此，要集齊全部5種玩偶，平均要買：

1+1.25+1.67+2.5+5=11.42

因此，必須平均購買12盒糕點才可以集齊一整套5種玩偶。

如果一套有10種玩偶，平均要買29盒糕點才能集齊整套玩偶；如果一套有20種玩偶，則平均要買72盒糕點才能收集齊整套玩偶。我要反復強調的是，前面計算出來的只是平均值，并不是說實際購買這么多糕點就一定能集齊整套玩偶。不僅如此，實際上，商家還會有意降低某種玩偶出現的概率，于是要買更多的糕點才有可能集齊整套玩偶。

（陳圓摘自陜西師范大學出版社《每天懂一點成功概率學》一書）