一種實用的大電網低頻振蕩概率穩定性分析方法

楊慧敏 易海瓊 文勁宇 程時杰

（華中科技大學電力安全與高效湖北省重點實驗室 武漢 430074）

1 引言

隨著大區聯網，我國電力系統中低頻振蕩現象逐年增多，其嚴重性甚至超過了暫態穩定性，成為系統安全穩定運行的主要障礙[1]。低頻振蕩與系統的小干擾穩定性密切相關，目前的電網調度部門通常會針對電力系統的典型運行方式進行小干擾穩定分析校驗，即根據設定的負荷大小和給定的開機方式，通過數字仿真的方法進行特征值分析和阻尼比等相關指標計算，只有具有一定穩定裕度的運行方式才可能被采用。這種方法屬于確定性的分析方法，但是，由于負荷波動和開機調度等原因，系統的實際運行工況與規劃的典型運行方式總存在差別，而且用于仿真分析的模型參數與系統的實際參數總存在誤差。因此，電網在典型運行方式下，由于上述不確定性因素導致系統發生低頻振蕩的風險有多大，是一個關系到電網安全的重要問題。然而，如果將各種可能的不確定性因素都用確定性方法加以校驗，其計算量將十分巨大，難以應用于實際電網。

概率穩定性分析彌補了確定性方法只能針對某些特定方式進行穩定分析的局限性，因而在電力系統規劃與運行中有廣泛的應用前景。現有的小干擾穩定概率穩定分析方法中，解析法通常假定特征根服從正態分布，并建立特征根與隨機參數間復雜的非線性函數關系，為減少計算量，需要對所研究的問題進行不同程度的簡化，可能出現較大偏差[2-3]。蒙特卡羅仿真法（Monte Carlo Simulation, MCS）能計及多種隨機因素，簡單方便，但需進行大量的抽樣和重復運算[4-5]。研究表明[6]：兩點估計法（Two Point Estimate, TPE）可以較好地解決概率穩定性分析中計算精度和計算量之間的矛盾，對四機兩區系統的仿真結果顯示，TPE法在保證與 MCS法具有相同計算精度的同時，能通過較少的運算得到系統的統計特征，從而避免了 MCS進行大量抽樣、重復計算的缺陷。但要將該方法應用于實際電網的低頻振蕩風險評估分析，則還需要對風險指標和計算方法等進行更深入的研究。系統的風險評估模型可以表示為[7]

即風險由事故發生的概率 P ( I n stable| X0)及其后果E[ I( I n stable)]兩部分組成。本文的研究工作集中在前者，即在預定的電網典型運行工況下，由于負荷波動、參數誤差、開機變化等不確定性因素導致系統發生低頻振蕩的概率有多大，定義了概率穩定性指標，給出了基于TPE的穩定指標計算方法，并以湖北電網為例，驗證了所提方法的有效性。

2 低頻振蕩的概率穩定性指標

常規的電網低頻振蕩穩定性分析過程是：對系統在設定運行點進行線性化并進行特征值分析，如果其中一個或多個特征根的實部位于復平面的右半平面，且該特征根對應的振蕩模式屬于低頻振蕩模式，則系統在該點可能發生低頻振蕩，電網不能在該點運行；如果所有特征根的實部都位于左半平面，則需要考查相應的阻尼比，只有當阻尼比大于某個值（我國電網目前一般設定為 3%）時，才能保證系統具有足夠的低頻振蕩穩定性，而對于阻尼比小于 3%的振蕩模式稱為弱阻尼振蕩模式，它們雖然屬于穩定的振蕩模式，但仍然存在發生低頻振蕩的風險。因此，系統特征根的實部符號及對應振蕩模式的阻尼比大小是衡量電網低頻振蕩穩定性的兩個重要指標。

一般情況下，負荷波動近似滿足正態分布[8]：L～ N (μL, σL)，L為系統負荷，μL和σL分別為負荷的均值和標準差；系統運行參數一般近似滿足多元正態分布[9]。當電網工作在設定的典型運行方式，而電網的不確定性因素按照上述特性變化時，特征根的統計特性可用相應的均值和標準差描述，并可由概率特征根計算確定[10]。

對特征根 λi=αi+ iβi，相應的阻尼比為ξi。當電網由于不確定性因素造成擾動而導致特征根發生變化時，由前述分析可知，為保證電網的穩定性，λi的實部αi必須始終處于左半復平面，即αi位于左半復平面的概率（記為Pα0）必須為1：

式中，f(αi)為αi的概率密度函數。相應地，電網在典型運行方式 X0下發生不穩定低頻振蕩的概率可以定義為

式（2）和式（3）只是給出了電網低頻振蕩概率穩定性的必要條件，為了更好地反映電網的穩定性，還應該給出穩定裕度的概率指標。

記λi的實部αi的均值和標準差分別為和σαi，根據正態分布的特性可知，αi位于區間[- 4σαi,+ 4σαi]內的概率為0.999 94，αi可近似認為完全位于該區間內[11]，為確保系統的穩定性，上述區間應完全位于復平面的左半平面內，即

同理，如果阻尼比ξi也滿足正態分布，具有均值和標準差σξi，當式（2）成立時，必然有

式（2）和式（3）給出了電網低頻振蕩的概率穩定性必要條件，式（4）和式（5）及對應的和反映了概率穩定性裕度。如何根據不確定性因素的分布特性計算出這些指標值成為電網低頻振蕩風險評估的關鍵，本文采用了基于TPE的方法。

3 基于TPE的低頻振蕩概率穩定性分析方法

3.1 兩點估計法TPE

不確定因素可由隨機參數x表示，待求統計特性的變量（如特征根）可由隨機變量z表示，理論上可由x的分布得到z的分布。但當二者間函數關系較為復雜時，z的分布計算將變得極為困難，需要借助于適當的數值計算辦法求得。TPE法是一種有效的獲取隨機變量統計特征的方法，目前在電力系統中已被用于隨機條件下的潮流分析[12-13]和可用傳輸容量的計算[14]等。

記z為N維隨機矢量x的函數

Lk,1=0，Lk,2=1，Lk,3為 xk的斜度系數。將 h(x)在 x的均值附近進行泰勒展開，并忽略交叉項后可得

式中h(i)(·)表示h(·)的第i階偏導數。對式（8）求 zj的均值，計算如下：

若對xk取兩個值，記xk,m=+ ζk,mσk，記 pk,m為取xk,m的集中概率（ζk,m和pk,m為待定系數，m=1, 2，k=1,2,…,N）。分別將式（9）乘以 pk,m后累積有

設式（9）和式（10）展開后前 3階相等，即使 xk達到三階精度，于是

進一步設

則未知數和等式的個數均為4N，可解得

其中，Lk,3的定義見式（7）。

由式（15）可得，zj的均值和標準差σzj為

當h(x)是三階及三階以下多項式，且各個變量相互獨立時，由式（16）可以精確地得到均值。可見，上述TPE法沒有對參數x的分布類型進行限制，避免了需要事先建立zj與x之間的函數關系，且不需要求解式（8）中的高階導數。可以看出，TPE法實質上類似于灰箱分析，能在已知隨機參數三階矩的條件下，通過較少的計算得到待求隨機變量的均值、標準差等統計信息。對于具有n個隨機參數的問題，兩點法僅需要進行2n次計算即可。

3.2 基于TPE的TLPA法

已知以下隨機量的統計特征：實際負荷、發電功率、節點電壓、線路參數，記為 x =(PLQLXCPG… )，待求隨機變量為 z = ( λi…)，其中省略號表示視需要選擇。

則基于TPE法的低頻振蕩概率穩定性分析方法TLPA的步驟如下：

（1）選擇合適的隨機參數，由式（7）計算隨機參數的斜度系數Lk,3。

（2）對每個隨機參數 xk由式（14）計算出相應的待定常數ζk,m和pk,m，m=1,2。

（3）依次對每個隨機參數xk,m=+ ζk,mσk，進行兩次仿真，可分別得到式（15）所示的該隨機參數對特征根第l階矩的估計值的影響。

（4）全部參數循環完畢后，按式（16）和式（17）得到特征值的均值、標準差。

（5）計算穩定概率和穩定指標等。

參與因子、特征矢量和阻尼比等隨機變量的統計特征根可在上述特征根的計算中一并完成。圖 1給出了基于 TPE法的電力系統小擾動穩定分析法TLPA的流程圖。

可以看出，TLPA法沒有限制參數的分布類型，能通過較少的計算得到系統的穩定指標及穩定概率，能大幅減少計算量和所需的時間，且隨機變量維數的增加并不會帶來計算時間的顯著差異。

4 TLPA的應用研究

4.1 IEEE-16節點系統

由于 MCS法計算精度高，常作為基準，用于與其他方法計算結果準確與否的對比。為了驗證TLPA法的有效性，本節將TLPA法與2000次MCS法（記為MCS2000）所得結果進行了比較。算例采用 IEEE-16機系統，系統詳細結構及參數見文獻[15]，借助于Matlab環境下Power System Toolbox（PST）[15]的小擾動穩定仿真程序。

考慮節點41和52上負荷波動幅度為10%，即P41～N(10,1)和 P52～N(24.7,2.47)，分別由 TLPA 法和 MCS2000法計算得到系統的特征根，由于數目眾多，不一一列出，僅給出特征根均值的相圖，如圖2所示，TLPA法求得的特征根均值相對于MCS 2000法的偏差如圖3所示。

由圖 2給出的特征根相圖可以看出，TLPA法與 MCS2000法的計算結果幾乎一致。由圖 3給出的偏差圖可以看出，由TLPA法得到的特征根均值實部相對于MCS2000法最大偏差不超過0.4%。而在計算量上，TLPA法僅需要 4次計算，遠遠小于MCS2000法，這在計算精度以及計算量上得到了很好的協調。

圖1 TLPA法流程圖Fig.1 Flow chart of TLPA method

圖2 兩種方法所得到的特征根均值Fig.2 Mean value of eigenvalue obtained by two methods

圖3 TLPA法得到的特征根實部的偏差Fig.3 Deviation of mean value of α obtained by TLPA

4.2 華中－華北互聯電網

圖4 華中－華北互聯電網結構示意圖Fig.4 CC－NC interconnected bulk power grid structure

由于TLPA法的計算量較小，因此可以應用于實際系統的低頻振蕩風險評估的研究。本文選取華中－華北互聯電網作為實際電力系統的算例，結構如圖4所示。考慮互聯電網中220kV及以上網絡，根據華中電網“十一五”規劃確定的2008年豐大、豐小、枯大、枯小等典型運行方式，重點研究湖北電網的低頻振蕩概率穩定性。在電力系統分析綜合程序（PSASP）下建立了電網計算原始模型[16]，以豐大方式為例，此時系統共有8972條母線，978臺發電機，發電機組考慮了勵磁調節器和調速器。

本文同時考慮了以下兩種不確定性因素對湖北電網低頻振蕩概率穩定性的影響：

（1）負荷波動。由于負荷預測結果與實際總存在一定的偏差，因此可將實際負荷視為一個滿足正態分布的隨機變量。其中，正態分布的均值即為負荷水平，而負荷預測的精度決定了正態分布標準差的大小。本文選取大負荷中心武漢地區（約占全省總負荷的32.6%）作為研究對象，設負荷水平服從均值為其預測值，標準差為5%，傾斜度為0.006的斜正態分布。

（2）重要聯絡線的線路參數變化。以安裝了串聯補償裝置的萬縣-龍泉500kV雙回線為例，假定其補償度服從XC= N( XC,20%)的正態分布。

應用TLPA法計算穩定概率時，首先根據負荷波動及線路參數變化的統計特性計算隨機參數xk,m(m =1,2； k=1,2)，然后計算xk,m時系統的特征根，最后給出穩定概率。具體步驟如下：由式（7）計算每個不確定因素的斜度系數，再代入式（14）計算權重因子ζk,m和參數 pk,m，便可由xk,m=+ ζk,mσk得到 4個隨機參數 xk,m。分別計算4個隨機參數下系統特征根，最后由式（15）～式（17）得到綜合考慮兩種不確定因素下系統特征值的均值、標準差。并由式（2）～式（5）計算出相應的穩定概率和穩定指標，見下表。由于數目較多，只給出了與湖北機組強相關的弱阻尼（阻尼比小于3%）低頻振蕩模式。

由表中的結果可以看出，武漢地區整體負荷水平波動5%并且萬龍線串補服從XC= N(,20%)的正態分布時，對系統穩定性的影響很小，各振蕩模式的穩定概率均為1。以模式1為例，實部為-0.02，阻尼比僅為0.28%，但特征根指標以及阻尼比指標分別達到118.25和2772.11，這表明特征根實部α 和阻尼比ξ 的標準差很小。根據正態分布的函數的性質可知，特征根實部α 落在[- 4 σα,+4σα]內的概率為0.999 94，標準差越小，概率分布越集中在均值的附近。所以，雖然模式1為弱阻尼振蕩模式，但是上述兩個不確定因素對其影響非常小，特征根實部α 在左半平面的概率為 1，并且其概率分布較為集中，仍然是穩定的。對阻尼比指標進行分析可以得到同樣的結論。

本文實際系統算例的狀態矩陣已經達到了23 348階，對這樣大規模的系統進行1次特征值計算已屬不易，若采用 MCS2000法對其低頻振蕩特性進行概率穩定性分析，則需進行2000次特征值計算，計算量過于龐大，難以完成。而考慮兩個不確定因素，TLPA法只需進行 4次特征值計算，相比較 MCS2000法所需的計算量大為減少，可以完成大系統概率穩定性分析。并且，系統規模越大，TLPA法的優勢越明顯。

表 弱阻尼振蕩模式的概率分析Tab. The probability analysis results of oscillation modes

5 結論

本文提出了基于TPE的電力系統低頻振蕩概率穩定性分析TLPA法，定義了概率穩定性指標，給出穩定指標的計算方法。該方法沒有限制不確定參數的分布類型，能夠計算多重不確定因素導致系統發生低頻振蕩的概率，而且在保證與 MCS法具有相等的計算精度的同時，具有計算量小、計算時間短的優勢，已成功應用于實際電網低頻振蕩特性分析。

[1]劉取. 電力系統穩定性及發電機勵磁控制[M]. 北京: 中國電力出版社, 2007.

[2]宗秀紅, 張堯, 武志剛. 電壓穩定的概率特征根分析[J]. 中國電機工程學報, 2006, 26(8): 61-65.Zong Xiuhong, Zhang Yao, Wu Zhigang. Probabilistic eigenvalue analysis for voltage stability[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(8): 61-65.

[3]Wang K W, Chung C Y, Tse C T, et al. Improved probabilistic method for power system dynamic stability studies[C]. IEE Proceedings: Generation,Transmission and Distribution, 2000, 147 (1): 37-43.

[4]李文沅, 盧繼平. 暫態穩定概率評估的蒙特卡羅方法[J]. 中國電機工程學報, 2005, 25(10): 18-23.Li Wenyuan, Lu Jiping. Monte-Carlo method for probabilistic transient stability[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(10): 18-23.

[5]Xu Z, Dong Z Y, Zhang P. Probabilistic small signal analysis using Monte Carlo simulation[C]. Power Engineering Society General Meeting, 2005. IEEE,2005: 1658-1664.

[6]易海瓊, 程時杰, 侯云鶴. 基于點估計的電力系統小擾動穩定概率分析[J]. 電力系統自動化, 2007,31(23): 1-5.Yi Haiqiong, Cheng Shijie, Hou Yunhe. An efficient point estimate method for probabilistic small signal stability analysis[J].Automation of Electric Power Systems, 2007, 31(23): 1-5.

[7]Ni M, Mccalley J D, Vittal V, et al. Online risk-based security assessment[J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2003, 18(1): 258-265.

[8]Schilling M T, Leite da Silva A M, Billinton R.Bibliography on power system probabilistic analysis[J].IEEE Transactions on Power System, 1990, 5(1):1-11.

[9]陳為化, 江全元, 曹一家. 基于風險理論的復雜電力系統脆弱性評估[J]. 電網技術, 2005, 29(4):12-17.Chen Weihua, Jiang Quanjuan, Cao Yijia. Risk-based vulnerability assessment in complex power systems[J].Power System Technology, 2005, 25(4): 12-17.

[10]王克文, 鐘志勇, 謝志棠, 等. 混合使用中心矩與累加量的電力系統概率特征根分析方法[J]. 中國電機工程學報, 2000, 20(5): 37-41.Wang Kewen, Zhong Zhiyong, Tse C T, et al. A hybrid algorithm using moment and cumulant for power system probabilistic eigenvalue analysis[J].Proceedings of the CSEE, 2000, 20(5): 37-41.

[11]Hong H P. Efficient point estimate method for probabilistic analysis[J]. Reliability Engineering &System Safety, 1998, 59(3): 261-267.

[12]Su C L. Probabilistic load-flow computation using point estimate method[J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2005, 20 (4): 1843-1851.

[13]Hong H P. Efficient point estimate method for probabilistic analysis[J]. Reliability Engineering &System Safety, 1998, 59(3): 261-267.

[14]Su C L, Lu C N. Two-point estimate method for quantifying transfer capability uncertainty [J]. IEEE Trans. on Power Systems, 2005, 20(2): 573-579.

[15]Chow J H. Power system toolbox: a set of coordinated m-files for use Matlab[R]. New York:Cherry Tree Scientific, 1996.

[16]PSASP6.24使用手冊[R]. 北京: 中國電力科學研究院, 2003.