直擴通信系統同步和波束形成的正交多干擾子空間矩陣對方法*

王 鵬，王 劍，陳建樹，山秀明

（清華大學電子工程系 北京 100084）

1 引言

擴頻（spread spectrum）技術已成熟并應用于GPS導航和通信這兩個最具影響力的領域中。碼分多址（CDMA）移動通信系統的商用化確立了其在第三代移動通信系統的主流地位，并且向著智能化的方向繼續發展[1]。

CDMA系統面臨著多種干擾，其中多個用戶同時接入造成的多用戶干擾限制了系統的容量，多徑效應產生頻率選擇性衰落導致符號間串擾，同信道多窄帶干擾嚴重影響CDMA系統的性能甚至造成接收機前端阻塞。RAKE接收可以有效解決多徑問題，多用戶檢測可以緩解多用戶干擾，但兩者都是立足于時域和頻域，沒有利用干擾空間分布的差異。

在擴頻通信系統中，多址干擾和同信道多窄帶干擾一般來自不同的空間方向，多徑干擾也來自不同的方向，解決多向干擾和信道的各向異性帶來的空間選擇性衰落則離不開陣列天線技術和智能天線技術[2，3]。

直接序列擴頻（direct sequence spread spectrum）通信[4]中的陣列天線應用可以分為兩類：一類是分集接收[5，6]，期望信號經過多個獨立信道到達接收端，運用分集增益提高信噪比，此方法的性能優勢是對抗空間選擇性衰落；另一類是通過波束形成以抑制干擾，提高捕獲性能和可靠性。現有的方法大多需要導頻信道信息和訓練序列。此外，在強單頻干擾和多址干擾背景下性能受限，如參考文獻[7]中利用導頻信道信息，借助自適應陣列空時相關器進行碼捕捉，但這一方法需要附加期望信號的波達方向信息。

在盲信號處理領域，Torrieri在參考文獻[8]和[9]中提出用于直擴系統的Maximin(最大最小)自適應波束形成算法。其基本思想是從接收到的陣列信號中提取干擾信號后利用其消除解擴后疊加在期望信號上的干擾分量。Choi Seung等人在參考文獻[10]中提出了PAPC-SG自適應波束形成算法，與Maximin方法的差別在于干擾子空間的構造不同，因而適用環境不同。

本文在Maximin方法的基礎上，提出了一種正交多干擾子空間構造方法，用以提取同信道多窄帶干擾信號，同時利用期望信號與干擾信號到達方向不同，對自相關矩陣對進行廣義特征值分解實現干擾背景下PN碼序列的同步和波束形成。在信號同步上，無需導頻信道信息和訓練序列信息。在同步過程中得到的與λmax相應的特征向量w可以直接作為波束形成器的權向量進行下一步的波束形成。

2 矩陣對信號處理

假設天線為線陣，具有L個陣元。為簡化問題，不考慮多徑的影響。陣列天線接收端共收到一個期望用戶信號和D個干擾信號，包括多址干擾和窄帶干擾。第n時刻快拍x(n)∈UL(L維復歐式空間即酉空間)，表示為：

其中，α0為期望信號信道衰減，a(θ0)和 a(θiI)為期望信號和第i個干擾的導向矢量，θ0和 θiI為相應信號的到達角。v(n)為零均值復加性高斯白噪聲，其方差為σ2。siI(k)為干擾信號序列，sd(n)為期望信號序列，表示為：

這里，b(k)為信息符號，c(n)（n=0,1,…,N-1）為擴頻碼序列，N為擴頻增益。

若在接收端實現了信號同步，接收端的數字基帶信號X(k)∈UL×N的形式為：

這里，c0為期望用戶擴頻碼矢量，Z(k)為干擾信號。

這里，siI(k)為第i路干擾符號，V(k)為噪聲，H表示取共軛轉置，V(k)、X(k)為 L×N 維矩陣。

矩陣對波束形成方法的本質可表述為：首先將式(3)向信號子空間S=span{c0}和干擾信號子空間I投影，然后用矩陣對方法處理。不同類型的矩陣對波束成形方法的差別只在于干擾信號子空間的選擇。Maximin方法[8，9]和PAPC-SG方法[10]選用的都是UN(N維酉空間)中的一維子空間。

Maximin方法選用的I空間為：

其中， 為Hadamard積，v0為子空間的數字中心頻率。PAPC方法選用的I空間為：

經深入分析可以發現，S與IM為正交子空間，并且式（3）向IM投影能有效分離數字頻率為v0的窄帶干擾信號，同時攜有干擾方向的信息；S與IP線性無關，但不正交，向IP投影后只攜有干擾方向信息。

為解決多向窄帶干擾背景下的同步干擾抑制問題，本文在Maximin方法的基礎上，提出干擾信號子空間方法，選取I空間為S的正交補空間，即

令 H=[S S]，則式(3)中 X(k)向空間 H的投影結果XP(k)為：

式（9）中Xs(k)為基帶信號X(k)在信號子空間的投影結果，XI(k)為X(k)在干擾子空間的投影結果，*為取共軛運算。

計算自相關矩陣Rs和RI：

對Rs和RI進行廣義特征值分解，即計算方程式(12)，求解矩陣對（Rs，RI）的廣義特征值λ和廣義特征向量w[11]。這里我們著重分析信號的最大廣義特征值λmax。

容易證明，矩陣對（Rs，RI）的非平凡廣義特征值即期望信號或干擾信號的功率，一般期望信號貢獻最大(主)廣義特征值，D個獨立干擾信號貢獻D個非平凡廣義特征值，設它們分別為 γ0和 γ1，γ2，…，γD，其 余 L-D-1 個 廣義特征值為平凡的，取值為 1[12]。另外，此時矩陣對（Rs，RI）的主廣義特征值對應的特征向量即為最優波束形成器的權向量。

3 單頻干擾背景下PN碼序列的同步問題

基于前面的信號處理流程，我們提出的正交干擾子空間方法可以解決強單頻干擾背景下的PN碼序列同步問題。

在考慮同步問題時，式（2）中的信息符號 b(k)為常數(如 1 或者-1)，在同步導引時段，構造式（13）：

這里，nd為期望信號與本地序列相比的時延。注意：式（13）與式（3）的根本差別是式（3）的第二個等號對于式（13）并不成立，因為此時未實現信號同步。

基于式(13)，按照前面提出的正交干擾子空間方法處理，考察矩陣對（Rs，RI）的最大廣義特征值。當PN碼處于同步位置時，矩陣對（Rs，RI）將出現 最大(主)廣義特征值 ，主廣義特征值受到天線增益和擴頻增益影響，會出現明顯的峰值[12]；當擴頻碼未處于同步位置時，期望信號將泄漏到干擾通道中，此時廣義特征值比較均勻，不會出現峰值。因此，λmax的取值可以作為同步與否的判據準則。

在仿真實驗中，選陣列數L=10，PN碼為Gold序列，碼長 N=255，載波頻率為 1 GHz，信號帶寬為 3.1 MHz，引入兩項干噪比(INR)為30 dB和40 dB的單頻干擾，到達角分別為30°和-50°。期望信號信噪比(SNR)為-10 dB。圖1給出了相應的仿真結果。可以看到，在同步位置λmax出現顯著峰值，在非同步位置λmax幅值很低。上述仿真實驗表明，在強單頻干擾背景下，本文所提出的方法可實現有效同步。同樣的仿真條件下，可驗證參考文獻[13]中的LMS算法和參考文獻[14]中提出的自適應門限方法均不能實現同步。

設閾值為γ，將λmax與閾值γ比較進行判斷。當λmax≥γ，判定PN碼同步。捕獲概率和虛警概率是門限的函數。為此，仿真實驗選取Gold序列碼長為N=31，載頻為1 GHz，信號帶寬為3.1 MHz，觀察符號數k=8，引入兩項干噪比（INR）分別為30 dB和40 dB的單頻干擾，到達角分別為40°和-30°，期望信號信噪比(SNR)為-15 dB。圖 2是在門限γ改變時的仿真結果。由圖2可知，捕獲概率和虛警概率均為閾值的單調減函數。

最后考察捕獲概率和虛警概率相互關系曲線。仿真背景條件與圖2相同，得到的虛警概率-捕獲概率曲線如圖3所示。圖中，k 為觀察符號數，選擇 k 分別為 4、8、12、20。可以看到捕獲概率Pd關于虛警概率Pfa為上凸的單調增函數。當觀察符號數越多時，曲線越凸，性能越好。在虛警概率為10-1量級，k=20時，捕獲概率Pd已接近1，這證明了正交干擾子空間方法在強干擾環境下的性能優勢。

4 最優波束形成

在實現Gold序列同步后，將式(3)解擴。事實上，式(3)向H=[S S⊥]的投影結果式(9)中的第一項Xs(k)即期望信號的解擴信號，式(9)中的第二項為干擾信號。波束形成問題是選擇權向量w∈UL作用于式(9)XP(k)，得到Y(k)為：

定義最優波束形成器的目標函數為輸出信噪比SINR：

于是，存在的問題是選取權向量w使SINR最大。其中，Rs和 RI定義如式(10)和式(11)。

最佳wopt滿足：

本文提出的正交多維干擾子空間（見式(7)和式(8)）方法，簡稱OP(orthogonal projection)方法，可以有效分離多窄帶干擾，而Maximin方法只能有效分離一個窄帶干擾。當然兩者都保留了信號到達方向信息。PAPC方法只保留了信號到達方向信息，不能有效分離窄帶干擾。在存在單頻干擾時，PAPC方法一定不如Maximin方法和本文提出的OP方法。從式(7)和式(8)可知，OP方法還可借助FFT實現快速運算。

為了驗證OP方法、PAPC-SG方法和FP(filter pair,即Maximin)方法的性能，本文設計了仿真實驗。仿真實驗中，選陣列單元數L=10，陣列間距為半波長，載波頻率為1 GHz，帶寬為 3.1 MHz，Gold序列碼長 N=31，引入 7項干噪比為 40 dB的多址干擾，到達角分別為45°、35°、-35°、-45°、0°、-50°和-58°，引入 干噪比為 40 dB 的BPSK干擾，帶寬與期望信號相同，期望信號到達角為20°。

圖4在不同信噪比下比較了OP方法和PAPC方法的性能。曲線是1 000次統計平均的結果。可以看出OP方法的收斂性能和穩態性能均明顯優于PAPC方法。

圖5分別為OP、PAPC、FP方法的誤碼率仿真曲線。仿真實驗中，考慮期望信號為兩徑信號，到達方向分別為 20°和-20°，延時分別為 0個碼片和 12個碼片，信噪比為-15 dB，觀察符號數為k=10。其他條件與圖4相同。圖中橫坐標為陣列總信噪比 (total-array signal-noise ratio，TSNR)，定義為:

式(17)中，α02+α12為兩徑期望信號功率和，σ2為帶內噪聲功率。從圖5可知，在同等條件下本文的OP方法誤碼性能優于FP方法，更優于PAPC-SG方法。

5 結束語

本文首先闡述了矩陣對信號的處理方法，接著分析了Maximin方法和PAPC方法，在Maximin波束形成方法的基礎上提出了一種正交多干擾子空間矩陣對方法，該方法可有效分離同信道多窄帶干擾信號，利用期望信號與干擾信號到達方向不同，對自相關矩陣對進行廣義特征值分解實現干擾背景下PN碼序列的同步和波束形成。在信號同步上，無需導頻信道信息和訓練序列信息；在同步過程中得到的與主廣義特征值相應的特征向量可以直接作為波束形成器的權向量，進行后續的波束形成。尤其在強多用戶干擾和強單頻干擾背景下，與PAPC方法和FP方法相比具有明顯的性能優勢。在強窄帶干擾背景下，如在信噪比為-15 dB、干噪比為30 dB仍然可以有效地捕捉到PN碼，實現信號同步。利用較少的符號數就可以在強干擾背景下實現最優波束形成，并且迅速收斂。

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