半(非)參數模型和抗差M估計法在多波束測深數據誤差處理中的應用

朱振華

(廣州海洋地質調查局，廣州 510760)

1 概述

剔除了明顯粗差的河道多波束測量數據中，其邊緣波束尤其近岸測量條帶邊緣波束由于缺乏校正手段，受到的系統誤差影響較大。為了提高該部分數據精度，必須對其系統誤差和小粗差進行處理。由于系統誤差的影響，本來的正確數據可能被認為是小粗差，原本是小粗差的點可能被遮蔽而作為正確數據，因此，在數據存在若干人工檢測點的情況下，本文采用半(非)參數法先處理系統誤差并修正高程值后再以抗差M估計法檢測異常，期望在最大程度上還原真實水深值。

2 半(非)參數模型

在內河聲納測量中，系統誤差的主要來源是測船橫搖。由于聲納測量屬于動態測量，觀測結果存在著無法參數化的系統誤差。半參數模型為解決此類問題提供了可行之道，該模型表達為間接平差模型的延伸:

式中:L和Δ為n維觀測向量，Δ～(0，σ2)是觀測誤差向量，x為參數向量，B為列滿秩矩陣，S=[s1，s2，…，sn]T是一非參數待定量，作為系統誤差的描述。列出其誤差方程為:

由最小二乘原理VTPV=min求得的法方程只有t個方程，無法確定S和Δ的估值。根據Fisher和Hegland(1999)的觀點[1-2]，給出補償最小二乘準則為:

式中:R為正規化矩陣，α稱為規范化參數或平滑因子。以式(2)為條件，由拉格朗日乘常數法構造函數:令，經過一系列推導可得:

其中 N=BTPB，M=P+αR-PBN-1BTP。由文獻[1]和[2]的觀點，取:

G的定義請見上述文獻。由于rank(R=n-1＜n)，需要增加一個約束條件再次由拉格朗日乘常數法構造函數求條件極值。當測船在變化平緩的河道以較慢速度測量時，可以認為一個橫搖期間所測量的河床點實際高程相等，而橫搖是周期性運動，在一次橫搖中對高程值的正負影響基本相互抵消，在一定范圍測區內可將系統誤差之和看作零，即，得:

拉格朗日函數為:

令W=P-PBN-1BTP，推導得到式(8)的解:

確定S的估值和正規化矩陣R后，采用L-曲線法確定α的值。以一小段河道為例，當在近岸處人工測量若干深度并作為真值)z代替式(1)中的Bx，即以檢測點的真誤差l=z-)z為觀測值時，系統誤差為S，觀測噪聲為Δ，則可以將式(1)的系數陣看作零，這時稱為非參數估計，式(1)可表達為:

分別由式(10)、式(11)可推出:

其中 M=PαR，γ =eTM-1WL/(eTM-1e)，W=P=E。對由式(13)確定的系統誤差向量S，建立如下函數關系:

將該河段邊緣波束共數千個原始數據代入上式，即可求得各點的系統誤差。表1中x為橫坐標，y為縱坐標，為方便起見，縱橫坐標分別省去前面三、四位數字，即各點原坐標應為(455***.**，3799***，**)，z為多波束測深值，)z為同一平面坐標的人工測量值，共21個。S1為非參數法去除的系統誤差。

3 抗差M估計濾波法

根據黃謨濤的觀點[3]，基于M估計的抗差解為:

表1 兩種方法去除的系統誤差對比 m

第k+1步迭代解為:

式中:A為方程系數矩陣，L是自由項，X為模型待定參數向量，pi為觀測值的權，為等價權陣。等價權值pi采用楊元喜提出的 IGGⅢ[4]方案:

式中:v′i=vi/，k0和 k1分別取 1.0 ～1.5 和 2.0 ～3.0，權值由上一次迭代得到的加權平均值計算殘差，再判斷比較條件來確定。k次迭代后的為:

由迭代解表達式，設受檢測點鄰域內某點深度為zi(i=1，…，m)，可得基于抗差M估計的選權迭代加權平均值計算公式如下:

4 結論與建議

去除系統誤差后，高程的歪曲現象得以暴露。高程的歪曲包括粗差遮蔽和高程放大，即去除系統誤差前，某些點會被錯誤判斷為異常或原本屬于懷疑異常點卻被漏檢。系統誤差被去除后，點的真值最近似值就得以還原。因此，沿用2節中的例子，對去除系統誤差后的示例數據進行小異常的檢測。取所有迭代權穩定后為迭代停止條件，用抗差M估計法篩選異常值。表2是去除系統誤差前后提取異常值的對比，而圖1是去除系統誤差前后實驗河段原始數據及異常值分布圖，借助 MATLAB 顯示[6]。

表2中可以看到，去除系統誤差前篩選到8個異常值，去除系統誤差后篩選到9個異常值，在去除系統誤差前后篩選的所有異常值中，前7個異常值都被檢測到，它們的平面坐標一致。去除系統誤差前篩選到的第8個點(加粗顯示)因受到系統誤差影響導致高程被放大而被誤列為異常點，該點去除系統誤差后高程為30.05 m;去除系統誤差后篩選到的第8、9個異常點(加粗顯示)在去除系統誤差前因受到系統誤差遮蔽而未被檢測到，其實際高程值分別為30.17 m和30.39 m。圖1中(a)和(b)中黑色點分別為表2中所篩選的異常值。

從上述結果可以看出，本文所采用的兩種方法在處理河道多波束測量數據高程誤差歪曲現象中取得了良好的效果，同時有效地修正了高程值。但是該處理方法也存在一定的缺點，目前只在變化平緩的河道可以取得較好的效果，應進一步改善算法，使其局限性得以突破。

表2 去除系統誤差前后篩選的異常值

圖1 去除系統誤差前后剔除的異常值示意圖

[1] 胡昌宏.半參數模型的估計方法及其應用[D].武漢大學博士學位論文，2004.

[2] 孫海燕，吳云.半參數回歸與模型精化[J].武漢大學學報信息科學版.2002，27(2):172-174.

[3] 黃謨濤，翟國君，王瑞，歐陽永忠，管錚.海洋測量中異常數據的定位研究[J]. 海洋測繪，1999，(2):10-19.

[4] 楊元喜.抗差估計理論及其應用[M].北京:八一出版社，1993.

[5] 趙建虎.多波束深度及圖像數據處理方法研究[D].武漢大學博士學位論文，2000.

[6] 王紅，邸國輝，熊燕.水下地形測量高程異常點剔除方法研究[J]. 四川測繪，2004，27(1):36-38.