最小二乘法在PCB板厚控制中的應用

楊榮福

（廈門榮廈機電工程有限公司，福建廈門361009）

中國的PCB產量已居世界第一，但仍是PCB進口國家，所以PCB工業要向更深層次發展，才能滿足我國信息產業的要求。現在面臨的挑戰為：轉型、成本和環保方面三大主題[1]。具體到制造過程中，就是要提高PCB的制造精度，降低成本。這需要制造技術人員改善工藝，進行測試實驗，分析實驗所得數據，這些就成為工藝技術人員和品質檢驗人員工作的重點。而最小二乘法是科研人員和工程人員最普遍使用的方法之一，若用手算實現，則非常復雜，當用Excel和MATLAB實現起來，則輕松簡單了。本文以PCB板厚估計的曲線擬合為例，說明了最小二乘法與Excel及MATLAB結合在PCB制造過程中的應用。

1 最小二乘法基本原理

在對試驗數據統計分析研究工作中，常需從一組觀測數據

（xi,yi）（i=1,2…,N）中，

求得變量x與y之間的某種近似關系y=φ（x）。

從幾何圖形上看，就是根據N個給定的點（xi,yi）（i=1,2…,N）求一條近似曲線，由于一般實驗數據很多，而且觀測數據本身還有誤差，因此所求的曲線不要求過所有的給定點（xi,yi），即不要求

而只要求函數y=φ（x）能反映數據的基本變化趨勢，滿足

按這樣確定的更一般的提法是：對于給定的數據

（xi,yi）（i=1,2…,N），

選取線性無關的函數族Σφ（xiΣ） 及權函數 ω（x），要求在函數類

φ*（x）=aφ0+aφ1+…+aφm（m ＜ N），使

顯然上式是（m+1）個變量a0,a1,…，am的二次函數

由多元函數極值的必要條件，有

引入內積

方程組就可用矩陣形式表示為

稱為法方程，

則可寫成

ATWAα=ATWY

由于 φ0,φ1,…,φm線性無關，

法方程存在惟一解

從而得

最小平方誤差為

若 φ0,φ1,…，φm還是標準正交系，則

這種方法叫做最小二乘法[2]。

2 PCB板厚估計問題的提出

多層PCB的板厚是其制造過程中品質控制的重要項目，因多層PCB板厚有如下規律[3]：中央厚，四周薄（見圖1）。為了所有板厚達到規定范圍，則要求制造過程中板面積不能太大，但太小浪費成本，故確定一個合適的面積，是制造前要考慮的。但具體相對中心點各半徑處的厚度與半徑有何規律，則尚無確定的數量關系。故可做專門的試驗，獲得原始數據，再用最小二乘法進行曲線擬合，找出二者之間的近似關系函數，在實際產品投入時，就可以此公式計算，從而可在PCB拼版時確定一個合適的面積。

3 最小二乘法在PCB板厚估算中的應用

最小二乘法的使用，是基于所獲得的實驗數據的。經過對試驗PCB板厚的測量，數據見表1，就可以根據這些數據進行最小二乘法做曲線擬合了。下面分別用EXCELL和MATLAB進行實際操作，并進行了結果對比，工程人員可以根據現實狀況選擇所用的工具。

表1 實驗測的板厚數據

3.1 用Excel實現曲線擬合結果

Excel數據處理，就是使用Micro office中的Excel數據處理軟件，利用公式和函數對工作表中的數據進行求和、分類匯總和計算。打開Excel文檔，先把試驗數據填人數據表格中，然后插入圖表，并為數據添加趨勢線，選擇顯示公式和顯示R的平方值，就可以輕松地得到擬合曲線的公式及平方誤差了。取3階多項式擬合得近似公式

y=-8e-005x3+0.000 8 x2-0.017 5 x+2.016 6，

平方誤差

R2=0.998 9。

曲線結果見圖2。

圖2 Excell擬合結果

圖3 Matab擬合結果

3.2 用Matlab實現曲線擬合結果

Matlab是一種功能十分強大、運算效率很高的數學工具軟件。在matlab語言中，使用polyfit（X，Y，N）函數來求解最小二乘曲線擬合問題[4]，其中

X，Y為相對應所測數據，N為擬合階數。

取 X=x0，Y=y0，N=3

求近似公式得

Y=-6.791e-007x3+3.375 3 e-005 x2-0.003 49 x+2.016 6

平方誤差δ2=2.784 4 e-005。

曲線結果見圖3。

3.3 用Excel和MATLAB實現后的結果比較

通過以上例子可以發現：利用最小二乘法原理與Excel及MATLAB均可計算和畫出的曲線清晰美觀的關系圖，得出近似關系式及平方誤差。但兩者的結果不相同，由δ2=2.784 4 e-005遠小于R2=0.998 9可知，MATLAB編程實現的結果精度要高，Excel則簡單方便，直接可以將結果嵌在工作報告里了，在要求精度不高時，得到廣泛使用。

4 結束語

PCB制造資料整理，是PCB制造過程中從試驗—試驗資料整理—提交報告整個環節中，比較重要的一個環節，其好壞直接決定著試驗報告的水平和質量。把最小二乘法原理與Excel及MATLAB數據處理工具用在資料整理工作中，將會大大提高工作效率，提高工作質量。

[1]林金堵.中國PCB行業狀況與挑戰[J].印制電路信息，2009，（1）：16-19.

[2]李 紅.數值分析[M].武漢：華中科技大學出版社，2003.

[3]周敏.最新印制電路設計制作工藝與故障診斷、排除技術實用手冊[M].吉林：吉林音像出版社，2003.

[4]周金萍.MATLAB6實踐與提高[M].河北：中國電力出版社，2001.