電磁炮發射軌道受指數函數磁壓力的變形計算

劉 文，李 敏，白象忠，張海軍

(1.燕山大學理學院，河北秦皇島 066004，liuwen1961@hotmail.com;2.燕山大學建筑工程與力學學院，河北秦皇島 066004)

電磁炮發射軌道受指數函數磁壓力的變形計算

劉 文1，李 敏1，白象忠2，張海軍1

(1.燕山大學理學院，河北秦皇島 066004，liuwen1961@hotmail.com;2.燕山大學建筑工程與力學學院，河北秦皇島 066004)

為解決電磁炮發射軌道受力變形的精確計算，以利于延長導軌的使用壽命并提高發射精度，將某型電磁炮的發射軌道模擬為移動載荷作用下彈性基礎上的簡支梁，采用歐拉梁理論建立梁的力學模型，推導出受任意指數函數磁壓力控制方程的解析解，改變了長期以來利用均布壓力近似代替變力求解問題所造成的誤差;運用MATLAB軟件對彈性基礎的彈性系數、阻尼系數、軌道質量和載荷的出口速度對梁變形的影響進行了數值分析.結果表明，彈性基礎的彈性系數、移動載荷的出口速度對梁變形的影響比較顯著，阻尼系數、軌道質量的大小對梁變形沒有明顯的影響.為求解電磁炮發射軌道受任意函數的磁壓力作用時的變形以及推動電磁炮的實用化奠定了理論基礎.

電磁炮;發射軌道;歐拉梁;指數函數磁壓力;拉格朗日方程;解析解

電磁炮是一種全新概念的武器，其技術不僅在軍事領域，而且在航空、航天、交通運輸、工業生產、科學研究等領域具有不可估量的應用前景，各發達國家均從戰略高度予以重視并不斷加大力度開展研究.80年代以來，尤其是最近十年來，隨著新技術、新材料的不斷發展，電磁發射技術在發射裝置、發射重量、彈丸速度、大功率電源等方面的研究取得了一系列成果.美國的蘇倫斯·利弗莫爾國家實驗室和洛斯·阿拉莫斯國家實驗室曾合作，將2.2 g的彈丸加速到10 km/s的超高速.中國工程物理研究院流體物理研究所率先建造了我國第一臺電磁軌道發射試驗裝置，把0.34 g的彈丸加速到16.8 km/s.相比之下常規火炮的發射速度僅能達到2 km/s，這一速度已接近物理極限，使射程不可能更遠.相反電磁發射系統的推力比火藥發射的推力大10倍，能把彈丸加速到每秒幾公里至每秒幾十公里的高速度，使彈丸具有巨大的動能和極強的穿透力，從而大大提高了武器的射程和威力［1－3］.

T.Tzeng［4］采用彈性基礎梁作為電磁發射裝置軌道的力學模型，并給出了控制方程的數值解.胡宇偉［5］針對電磁軌道炮的工作過程進行了理論剖析、模型建立及仿真分析.王勝［6］采用了傅里葉變換研究了空間上歐拉梁表面移動荷載引起的位移場的計算.

上述的研究都將磁壓力近似為均布力并忽略了阻尼力對梁變形的影響，毫無疑問，這種情況的計算都存在力學分析和計算時的缺陷.作為高技術高精度的電磁發射裝置，工程上要求對其進行精確的理論分析與計算，然而，至今尚未有人給出其精確的解析解，“非線性問題沒有通解，而且歷史上得到的一些特解少得如同珍寶.”［7］因而推出變壓力之解析解是非常有意義的.事實上，各學科中的理論解析解，包括工程實際問題的解析解，都是非常有意義的.一方面它可以全面徹底地闡明它所表達的力學圖景，另一方面它可作為標準解，促進廣泛應用的各種數值解的產生.

本文考慮了阻尼力，并將軌道作為彈性基礎上的簡支梁，建立了移動載荷作用下的力學模型［8－9］，利用分離變量法和計入阻力的拉格朗日方程，推導出控制方程的解析解，并對彈性基礎的彈性系數、阻尼系數、軌道的質量以及移動載荷的出口速度對梁變形的影響進行了數值分析.

1 力學模型

圖1給出了由電源、導軌、電樞組成的電磁軌道發射裝置的工作原理示意圖.電流經過導軌、電樞后流回電源，構成閉合回路.流經導軌、電樞的電流在它們圍成的區域內形成強磁場，該磁場與流經電樞的電流相互作用，產生強大的電磁力，該力將推動電樞和置于電樞前的發射載荷沿著導軌作加速運動，直至將發射載荷發射出去.

圖2為該問題的力學模型——彈性基礎上受隨時間變化的非線性載荷作用的簡支梁.考慮阻尼力對梁的影響，根據歐拉梁理論，得到移動載荷作用下的彈性基礎梁的控制方程為一個瞬時四階微分方程［10］:

其中w為梁的撓度，m=ρbh為梁的單位長度的質量，ρ為軌道材料的密度，b和h分別為軌道梁橫截面的寬和高度，EI為該梁的抗彎剛度，k為彈性基礎的彈性常數，c為彈性基礎的阻尼系數.式(1)中的函數p(x，t)=q(x)［1－(x－vt)］是指以速度v沿著軌道向前傳播的電磁力，v由Heaviside單位階躍函數 H(x－ vt)表示［11］，q(x)=q(abx+c).

圖1 電磁軌道發射裝置發射原理簡圖

圖2 模擬成彈性基礎梁的軌道力學模型

2 齊次方程的通解

齊次方程為一個四階偏微分方程，采用分離變量法求解，目的是使問題轉換為常微分方程.

式(1)所對應的齊次方程的通解可表示為

把式(2)代入式(1)的齊次方程得

也可以表示為如下的形式:

由式(4)假設

和

即

式(5)的解可以表示為

其中

根據簡支梁的邊界條件

式(7)的解可以表示為［12］

因此

由于 θi(x)的正交性［13］，滿足

w(x，t)可以表示成θi的線性組合，即

其中Ai，Bi可以由初始條件確定.

3 控制方程的解析解

式(1)的解析解可以由下面的計入阻力的拉格朗日方程求得，其中T為梁的動能，U為梁的總變形能，G為耗散函數.

梁的動能T可以表示為［14］

梁的總變形能由梁的應變能Ub和彈性基礎的應變能Uf組成.

總的變形能U為

耗散函數G為

電磁力 p(x，t)=q(x)［1 －H(x－vt)］在虛位移δφi下所做的虛功可以表示為

其中Qi表示廣義力

將T，U，G，Qi代入計入阻力的拉格朗日方程，可以得到微分方程:

其中

式(9)的通解為

由此，式(1)的解可以表示為

由初始條件

有

因此，將式(11)的解代入到式(10)就可以得到方程(1)的解 w(x，t).由 w(x，t)可以進一步得到軌道上的彎矩和剪力，為更全面地討論電磁發射裝置的動力響應提供依據.

4 數值分析

由于電磁軌道發射裝置制作材料的差異，彈性基礎的彈性系數和阻尼系數、軌道的質量以及載荷的出口速度可能會對軌道的變形產生影響［15］，因此有必要對其作比較分析.

已知軌道材料［16］的楊氏模量E=120 GPa，彈性基礎的彈性系數k=2.532×1010Pa，軌道材料的質量密度ρ=8 700 kg/m3，截面寬度b=3×10－2m，高度 h=1×10－2m，軌道長度為 L=2 m，電磁載荷q(x)=110sin(1/2)x MPa.

圖3給出了彈性基礎的彈性系數對梁的動態響應［18－19］.時間 － 撓度曲線隨著彈性系數 (k)的增加而呈下降的趨勢.在本文所給的計算條件下，k=2.532×1010Pa的材料在t=1×10－3s時，梁的撓度(w)為7×10－3m，而 k=5.064×1010Pa的材料在 t=1×10－3s時，梁的撓度(w)為3.4×10－3m，前者比后者增加了106%.

圖3 不同彈性基礎的彈性系數下的撓度變化圖

圖4給出了彈性基礎的阻尼系數對梁的動態響應.時間－撓度曲線隨著阻尼系數的增加而呈緩慢下降的趨勢.

圖4 不同彈性基礎的阻尼系數的撓度變化圖

圖5給出了軌道質量(m)對梁的動態響應.對比鋁軌道與銅軌道，時間－撓度曲線隨著m的增加并沒有出現明顯的變化，因此，在選擇軌道的材料時，可以選擇性價比更優的鋁材料.

圖5 不同軌道質量下的撓度變化圖

圖6給出了載荷的出口速度對梁的動態響應.時間－撓度曲線隨著載荷移動速度(v)的增加而呈增加的趨勢，在本文所給的計算條件下，v=1 000 m/s的材料在t=1.6×10－3s時，梁的撓度(w)為8×10－3m，而v=1 200 m/s的材料在t=1.6×10－3s時，梁的撓度(w)為 12.5×10－3m，前者比后者減小了56%.

圖6 不同載荷出口速度下的撓度變化圖

5 結論

1)考慮了非線性磁壓力及阻尼力，將軌道看作是彈性基礎上的簡支梁，建立了電磁發射裝置的力學模型.

2)利用分離變量法和計入阻力的拉格朗日方程，推導出齊次方程的解及受指數函數分布壓力控制方程的解析解，豐富和發展了彈性力學理論，為解決電磁軌道受任意分布壓力之解析解的難題奠定了理論基礎.

3)通過MATLAB軟件分別進行了地基的彈性系數、阻尼系數、軌道質量和載荷的出口速度對梁變形的影響:地基彈性系數越大，梁變形的越小.載荷的出口速度越大，梁的變形越大，而梁的質量和阻尼系數對梁的變形幾乎沒有影響.

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Deformation calculation of electromagnetic Launcher’s rail subjected to exponential magnetic pressure

LIU Wen1，LI Min1，BAI Xiang-zhong2，ZHANG Hai-jun1

(1.School of Sciences，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China，liuwen1961@hotmail.com;2.School of Civil Engineering ＆ Mechanics，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China)

In order to accurately calculate of the force－deformation of electromagnetic launcher’s rail for the purpose of extending the rail life and improving the firing accuracy，the electromagnetic launcher’s rail was modeled as a simply supported beam on elastic foundation by moving load.The mechanical model of the beam was built by using Euler beam theory，and the analytical solution to the equation subjected to exponential magnetic pressure was derived，which can avoid the errors resulting from the uniform pressure used to replace the variable force.The influence of the elastic coefficient，the damping coefficient，the mass of rail and the load’s velocity on the deformation of beam was numerically analyzed with MATLAB.The result shows that the elastic coefficient and the load’s velocity have obvious effect on the deformation of the beam，while the damping coefficient and the mass of rail do not.The study lays a foundation for solving the electromagnetic launcher’s rail subjected to magnetic pressure of arbitrary function and promoting the practicality of the electromagnetic guns.

electromagnetic gun;launcher’s rail;Euler beam;exponential function magnetic pressure;Lagrange equation;analytical solutions

TJ399;O343.3

A

0367－6234(2010)08－1336－05

2008－11－27.

國家自然科學基金資助項目(50875230).

劉 文(1961—)，男，副教授，博士研究生.

(編輯 劉 彤)