嚙合過程中人字齒行星傳動(dòng)齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算方法

常樂浩 劉 更 吳立言 徐醫(yī)培

西北工業(yè)大學(xué),西安,710072

0 引言

行星齒輪減速器多采用大螺旋角及大齒寬的人字齒傳動(dòng),具有較大的重合度。隨著齒面嚙合位置和嚙合節(jié)點(diǎn)載荷分配的變化,齒根的彎曲應(yīng)力是不斷變化的。因此,計(jì)算出整個(gè)嚙合過程中變化的彎曲應(yīng)力,才能滿足齒輪動(dòng)強(qiáng)度與可靠性的要求。自20世紀(jì)70年代以來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用有限元法對(duì)齒輪彎曲應(yīng)力的計(jì)算進(jìn)行了很多研究[1-5],計(jì)算了嚙合過程中變化的彎曲應(yīng)力和應(yīng)力極值。但這些研究主要存在以下方面的局限性：①輪齒的幾何模型大多存在較多的近似處理(如以圓角代替過渡曲線),模型不夠準(zhǔn)確;②分析多集中在直齒輪和小螺旋角的斜齒輪,對(duì)大重合度的人字齒輪研究較少;③齒輪載荷分布多沿嚙合線平均分配,不能反映真實(shí)的嚙合情形;④計(jì)算多為某一個(gè)嚙合位置下的輪齒應(yīng)力,尚不能真實(shí)地得到高重合度齒輪最危險(xiǎn)的齒根應(yīng)力。

如需校核大重合度人字齒輪的彎曲強(qiáng)度,須計(jì)算一個(gè)嚙合周期中彎曲應(yīng)力隨時(shí)間的變化歷程。這就必須建立更為準(zhǔn)確的齒輪三維模型,同時(shí)計(jì)算出齒輪在不同嚙合位置下的載荷分配。本文將對(duì)這些問題進(jìn)行研究,并提出適合行星傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算方法。

1 齒輪參數(shù)化模型的建立

文獻(xiàn)[6]根據(jù)齒輪范成加工原理,通過刀具坐標(biāo)系和齒面坐標(biāo)系間相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系,推導(dǎo)出了被加工齒輪的漸開線和過渡曲線的方程。根據(jù)已知的方程,利用三維建模軟件可對(duì)齒輪進(jìn)行精確的建模。本次計(jì)算用到的齒輪基本參數(shù)如表1所示,建立的完整參數(shù)化模型如圖1所示。其中太陽輪右端為齒式聯(lián)軸器的一部分,與輸入軸相連;行星輪個(gè)數(shù)為3;內(nèi)齒環(huán)外側(cè)為花鍵齒,兩個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)稱的內(nèi)齒環(huán)構(gòu)成一組內(nèi)齒輪,與組合齒圈等組件相連。

表1 各齒輪的基本參數(shù)

圖1 各齒輪的完整模型

2 載荷分配的計(jì)算

齒輪嚙合時(shí)嚙合齒對(duì)的數(shù)目是變化的,各輪齒間的載荷并非平均分配。對(duì)于直齒輪或小螺旋角的斜齒輪,多采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算不同時(shí)刻輪齒間的載荷分配。然而對(duì)大重合度的人字齒而言,經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果通常不夠準(zhǔn)確,所以必須尋找更為合理準(zhǔn)確的方法。

卜忠紅等[7]提出了一種計(jì)算斜齒輪副嚙合剛度和載荷分配的新方法。該方法首先通過有限元計(jì)算得到齒面的柔度系數(shù),再運(yùn)用線性規(guī)劃法進(jìn)行處理,可求出人字齒輪副在不同嚙合位置下的嚙合剛度,并能得到各條接觸線上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)載荷。本研究中,外嚙合齒輪副的每個(gè)基節(jié)被劃分為8個(gè)嚙合位置,前4個(gè)嚙合位置在五齒嚙合區(qū),后4個(gè)嚙合位置在四齒嚙合區(qū),整個(gè)齒面共有36條接觸線;內(nèi)嚙合齒輪副的每個(gè)基節(jié)被劃分為7個(gè)嚙合位置,前4個(gè)嚙合位置在五齒嚙合區(qū),后3個(gè)嚙合位置在四齒嚙合區(qū),整個(gè)齒面共有32條接觸線。

系統(tǒng)輸入功率為36 775k W,輸入轉(zhuǎn)速為3150r/min,每對(duì)外嚙合副的法向總載荷為237.6k N,每個(gè)內(nèi)齒環(huán)嚙合副的法向總載荷為118.8k N。按文獻(xiàn)[7]計(jì)算得到太陽輪單側(cè)單齒和內(nèi)齒環(huán)單齒所受的法向載荷歷程,如圖2所示。圖2中,端面基節(jié)比T為輪齒從進(jìn)入嚙合到某一嚙合位置所經(jīng)過的基圓弧長(zhǎng)與基圓齒距的比值,數(shù)字4和5代表該位置時(shí)的嚙合齒對(duì)數(shù)。通過圖2還可得到在不同嚙合位置下,傳動(dòng)載荷在各嚙合齒對(duì)間的分配。行星輪單齒載荷歷程取與太陽輪的載荷歷程相同。由于接觸線較多,故在此不詳細(xì)列出各接觸線上的載荷分布情況。

圖2 單齒的法向載荷歷程

3 齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算

3.1 計(jì)算模型

由于該行星齒輪傳動(dòng)的齒輪重合度較大,同時(shí)嚙合的輪齒多達(dá)4～6個(gè)。對(duì)重合度在4～5之間的齒輪副,單個(gè)輪齒在整個(gè)嚙合過程中先后要與9個(gè)不同輪齒嚙合。以人字齒太陽輪為例,它與行星輪共有3處嚙合,因此在完整嚙合過程中先后有54個(gè)輪齒參與嚙合。完整嚙合過程的計(jì)算要涉及36或32個(gè)不同的嚙合位置。因此,若采用完整模型計(jì)算不同嚙合位置時(shí)的齒根應(yīng)力大小,必須將所有涉及輪齒都進(jìn)行密化,其計(jì)算量將十分龐大。為此,在保證計(jì)算精度的條件下,通過適當(dāng)簡(jiǎn)化計(jì)算模型,減小有限元計(jì)算規(guī)模,實(shí)現(xiàn)整個(gè)嚙合過程中齒根應(yīng)力的計(jì)算。

通過試算我們發(fā)現(xiàn),某個(gè)輪齒的齒根應(yīng)力主要受到本身及其相鄰的2個(gè)齒上所承受的嚙合力的影響,而與其相鄰較遠(yuǎn)的齒上的嚙合力對(duì)該齒的齒根應(yīng)力的影響非常小,可以忽略。所以為了完成上述大規(guī)模計(jì)算,將太陽輪、行星輪和內(nèi)齒環(huán)模型統(tǒng)一處理為下述的五齒模型：只保留一處相互嚙合時(shí)的5個(gè)齒,并在中間的3個(gè)齒上加載,另外2個(gè)齒保留齒輪的完整性;其余未嚙合輪齒均以節(jié)圓圓柱面代替。太陽輪的簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3 簡(jiǎn)化的模型

3.2 邊界條件的施加

由于采用簡(jiǎn)化模型,所以邊界條件也需進(jìn)行相應(yīng)的改變。

(1)太陽輪。花鍵處施加周向位移約束,以代替太陽輪與輸入軸連接的花鍵。

(2)行星輪。軸孔處施加徑向位移約束,以代替行星輪與行星軸之間的作用。

(3)內(nèi)齒環(huán)。對(duì)外側(cè)花鍵節(jié)圓面上所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全約束,以代替內(nèi)齒環(huán)與組合齒圈的作用。

對(duì)因簡(jiǎn)化模型而忽略的齒輪嚙合副,可以在相應(yīng)位置的節(jié)圓面處施加固定約束,以代替該位置處的嚙合作用。太陽輪的簡(jiǎn)化有限元模型如圖4所示。

圖4 太陽輪簡(jiǎn)化有限元模型

3.3 計(jì)算過程

下面以太陽輪為例介紹求解整個(gè)嚙合過程中齒根應(yīng)力的過程。

太陽輪與行星輪嚙合的總重合度為4.3504,一個(gè)基節(jié)內(nèi)嚙合位置的總數(shù)nmesh=8,接觸線總數(shù)n line=36。用圖5表示簡(jiǎn)化的齒輪模型。將5號(hào)齒定為關(guān)注對(duì)象,1～9號(hào)齒為在整個(gè)嚙合過程中先后與5號(hào)齒嚙合的輪齒,其中4、5、6號(hào)齒為參與本次計(jì)算的輪齒,用實(shí)線表示,其余輪齒用虛線表示。觀察輪齒5從進(jìn)入嚙合到退出嚙合整個(gè)嚙合過程中齒根彎曲應(yīng)力的變化。

隨著經(jīng)濟(jì)全球化和世界多極化的發(fā)展，中國(guó)認(rèn)為維和行動(dòng)有助于全球經(jīng)濟(jì)的健康穩(wěn)定增長(zhǎng)。②在綜合實(shí)力不斷提高的基礎(chǔ)上，中國(guó)對(duì)聯(lián)合國(guó)維和行動(dòng)的貢獻(xiàn)越來越大，已全面深入地參與到維和、發(fā)展、人權(quán)、裁軍、環(huán)保等多個(gè)領(lǐng)域的聯(lián)合國(guó)事務(wù)中，成為聯(lián)合國(guó)維和行動(dòng)的堅(jiān)定支持者和積極參與者。

利用Pro/E與ANSYS接口程序,將齒輪模型導(dǎo)入ANSYS中,設(shè)定單元類型和材料屬性,并劃分有限元網(wǎng)格。為了得到較為精確的結(jié)果,需在輪齒4、5、6的齒面和齒根進(jìn)行網(wǎng)格密化。載荷及位移邊界條件的施加過程如下：

圖5 齒輪簡(jiǎn)化模型示意圖

如圖5所示,K=i(i=0,1,2,3,4)表示5號(hào)齒在某個(gè)時(shí)刻已經(jīng)歷的完整基節(jié)數(shù)目。K=0時(shí),1～5號(hào)齒參與嚙合;K=1時(shí),2～6號(hào)齒參與嚙合,依此類推。K每改變一次,太陽輪與另兩個(gè)行星嚙合處施加的固定約束就要旋轉(zhuǎn)一個(gè)輪齒的角度。

用變量k mesh表示一個(gè)基節(jié)內(nèi)嚙合位置的順序,其值從1～n mesh變化。設(shè)5號(hào)齒上接觸線編號(hào)為mesh num,mesh num=Kn mesh+k mesh,通過改變K和k mesh,可保證 mesh num從1到n line變化。meshnum=1表示該齒在進(jìn)入嚙合臨界點(diǎn);mesh num=n line表示該齒在退出嚙合臨界點(diǎn)。比5號(hào)齒提前一個(gè)基節(jié)進(jìn)入嚙合的4號(hào)齒上的接觸線編號(hào)為meshnum+nmesh,比5號(hào)齒延遲一個(gè)基節(jié)進(jìn)入嚙合的6號(hào)齒上的接觸線編號(hào)為mesh numn mesh。計(jì)算時(shí)只在 4、5、6號(hào)齒上進(jìn)行加載,忽略其余齒的載荷。若4號(hào)和6號(hào)齒上接觸線編號(hào)小于0或大于n line,表明該齒未處于嚙合狀態(tài),將不施加載荷。

太陽輪的整個(gè)計(jì)算過程共需要36次靜力學(xué)計(jì)算。計(jì)算過程中,可采用ANSYS的APDL語言控制實(shí)現(xiàn)載荷和約束的自動(dòng)施加,并實(shí)現(xiàn)多次循環(huán)計(jì)算。每步計(jì)算結(jié)束時(shí),提取出所需節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值,并保存入數(shù)組。在循環(huán)計(jì)算完成后,可在ANSYS中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,實(shí)現(xiàn)結(jié)果的自動(dòng)保存。計(jì)算的流程如圖6所示。

4 計(jì)算結(jié)果及分析

通過計(jì)算,可得到所關(guān)注輪齒在整個(gè)嚙合過程中最大應(yīng)力的變化歷程,如圖7～圖9中的a圖所示,圖中的數(shù)字4和5代表該位置時(shí)的嚙合齒數(shù)。找出最大應(yīng)力的極值點(diǎn)編號(hào)后,從結(jié)果中選出該節(jié)點(diǎn)在其他嚙合位置下的應(yīng)力,其變化歷程如圖7～圖9中的b圖所示。圖10給出了在最大彎曲應(yīng)力發(fā)生的嚙合位置下,各接觸線上的載荷分布情況,圖中數(shù)值為該接觸線上節(jié)點(diǎn)載荷的最大值。

圖6 計(jì)算流程圖

圖7 太陽輪各嚙合位置下的應(yīng)力

分析圖7～圖10,我們可以看出大重合度齒輪的齒根應(yīng)力有如下特點(diǎn)：

(1)輪齒在剛進(jìn)入嚙合時(shí),承受載荷較小,齒根應(yīng)力也較小。隨著嚙合時(shí)間的增加,齒根應(yīng)力也會(huì)很快地達(dá)到較大值,由于人字齒嚙合齒對(duì)較多,齒根的最大應(yīng)力在嚙合齒數(shù)交替時(shí)變化并不明顯,因此傳動(dòng)更為平穩(wěn),應(yīng)力波動(dòng)較小,如圖7～圖9中的a圖所示。

圖8 行星輪各嚙合位置下的應(yīng)力

圖9 內(nèi)齒輪各嚙合位置下的應(yīng)力

圖10 最大應(yīng)力時(shí)各接觸線上的載荷分布

(3)應(yīng)力極值點(diǎn)一般出現(xiàn)在整個(gè)嚙合過程的中期,即接觸線最長(zhǎng)的時(shí)候(見圖10),且應(yīng)力有“低-高-低”的變化趨勢(shì)(見圖7～圖9中的b圖),這與實(shí)際情況也較為吻合。經(jīng)辨認(rèn),這些點(diǎn)可能出現(xiàn)在輪齒邊緣的齒根處,也有可能出現(xiàn)在輪齒中段的齒根處。

(4)對(duì)直齒輪而言,應(yīng)力極值點(diǎn)一般為少齒嚙合區(qū)的上界點(diǎn),但對(duì)大重合度的齒輪而言,應(yīng)力極值點(diǎn)可能出現(xiàn)在多齒嚙合區(qū),如表2所示。

表2 各齒輪的應(yīng)力極值情況

(5)從圖10可以看出在最大應(yīng)力產(chǎn)生時(shí),考察齒在產(chǎn)生最大應(yīng)力時(shí),其接觸線上的最大節(jié)點(diǎn)載荷并不一定是該時(shí)刻所有齒對(duì)節(jié)點(diǎn)中載荷的最大值。這時(shí)因?yàn)辇X根應(yīng)力不僅要受到接觸線上節(jié)點(diǎn)載荷的影響,同時(shí)與嚙合位置有關(guān),齒根產(chǎn)生最大彎曲應(yīng)力的時(shí)刻難以直接得到。

5 結(jié)論

(1)本文在對(duì)齒輪進(jìn)行了精確的三維參數(shù)化建模的基礎(chǔ)上,利用線性規(guī)劃法求解了齒輪副在嚙合過程中各位置的載荷分配。本方法可以實(shí)現(xiàn)齒輪在整個(gè)嚙合過程中各嚙合位置的自動(dòng)計(jì)算和結(jié)果處理,得到最大應(yīng)力點(diǎn)的位置及其應(yīng)力變化過程。

(2)人字齒在整個(gè)嚙合過程中的彎曲應(yīng)力波動(dòng)較小,最大應(yīng)力一般出現(xiàn)在考察齒承受最大載荷的時(shí)刻附近。

(3)由于各接觸線的載荷分配并不均勻,所以不同嚙合位置對(duì)齒根的作用無法直接預(yù)測(cè),導(dǎo)致人字齒輪的齒根最大彎曲應(yīng)力點(diǎn)可能出現(xiàn)在少齒嚙合區(qū),也可能在多齒嚙合區(qū)。

(4)應(yīng)力極值點(diǎn)在整個(gè)嚙合過程中的應(yīng)力變化曲線與法向載荷歷程的趨勢(shì)較為吻合。

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