一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的解析化方法

程世利 吳洪濤 王超群,2 姚 裕 朱劍英

1.南京航空航天大學(xué),南京,210016 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué),南京,210031

0 引言

一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是指動(dòng)靜平臺(tái)均為平面任意六邊形,且兩平臺(tái)通過(guò)6條腿進(jìn)行驅(qū)動(dòng)和控制的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題至今為止仍沒(méi)有得到圓滿解決。求解該問(wèn)題的主要方法有解析法和數(shù)值法[1]。解析法求解可以得到全部的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,適合進(jìn)行理論分析,但是其求解過(guò)程極其復(fù)雜[2]。在過(guò)去的十幾年中,國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者采用不同的方法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了研究,得出了一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解具有40個(gè)解的結(jié)論[3-6]。Zhang等[7]通過(guò)求解一個(gè)21階的系數(shù)行列式得到了一元20次代數(shù)方程。Wu等[8]通過(guò)構(gòu)造15個(gè)相容方程,求解15階的系數(shù)行列式,也得到了一元20次代數(shù)方程。文獻(xiàn)[9-10]分別通過(guò)Gr?bner基得到了15個(gè)相容方程,求解15階的系數(shù)行列式,同樣得到了一元20次代數(shù)方程。這些方法中求解的系數(shù)行列式無(wú)論是21階還是15階,其計(jì)算速度均難以滿足工程應(yīng)用的需要,系數(shù)行列式的階數(shù)還需要進(jìn)一步降低。

借鑒文獻(xiàn)[10-11]的方法,結(jié)合獨(dú)立研究的成果,筆者提出了一種求解一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的解析化方法。將9個(gè)變量中的6個(gè)變量用其余的3個(gè)變量表達(dá);利用Gr?bner基算法,增加9個(gè)方程,從而使得用于問(wèn)題求解的相容方程達(dá)到15個(gè);采用正交補(bǔ)消元法進(jìn)行逐步消元,最終通過(guò)求解一個(gè)10階系數(shù)行列式,將一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題表達(dá)為一元20次的代數(shù)方程。

1 基本定義

一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示,動(dòng)靜平臺(tái)的6個(gè)球鉸中心分別位于兩個(gè)平面之中。在這兩個(gè)平面上分別取一點(diǎn)O′、O作為動(dòng)靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)。Z′軸、Z軸分別垂直于各自的平臺(tái)平面,動(dòng)坐標(biāo)系 O′X′Y′Z′與動(dòng)平臺(tái)固連 ,靜坐標(biāo)系OXYZ與靜平臺(tái)固連。

圖1 一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

為了研究問(wèn)題的方便,旋轉(zhuǎn)矩陣采用方向余弦矩陣R來(lái)描述：

動(dòng)坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的位置矢量P=[PxPyPz]T,則一對(duì)頂點(diǎn)之間的連桿矢量為

式中,lk為桿k的長(zhǎng)度;ek為桿k的方向單位矢量;ak為動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的矢量;bk為靜平臺(tái)頂點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量。

對(duì)式(2)取矢量的模,就有桿長(zhǎng)的標(biāo)量方程式。顯然,將其平方展開(kāi)之后,由于動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)與靜平臺(tái)頂點(diǎn)為平面布置,所以a k、b k的Z分量為零,設(shè)W=[WxWyWz]T是P在動(dòng)坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式,則得到平方桿長(zhǎng)的方程式(為了表達(dá)簡(jiǎn)潔,略去下標(biāo)k)：

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的消元過(guò)程

2.1 主次變量的線性表示

式中,Aa0∈ R6×6,Aa1∈ R6×4為系數(shù)矩陣。

現(xiàn)在就可以通過(guò)式(5)將η1中的分量用η2中的分量表達(dá)出來(lái)：

由式(6)可以看出每一個(gè)主變量均與3個(gè)次變量存在著線性關(guān)系。在式(6)中,cij(i=1,2,…,6;j=0,1,2,3)為由動(dòng)靜平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和桿長(zhǎng)決定的參數(shù),對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題,當(dāng)桿長(zhǎng)給定以后它們都是常數(shù)。

2.2 基本相容方程

由于旋轉(zhuǎn)矩陣 R是正交矩陣,所以有如下關(guān)系：

通過(guò)對(duì)式(4)、式(6)及式(7)進(jìn)行不同的組合后就得到了6個(gè)只含有 ξ6、ξ7、ξ9三個(gè)變量的四次方程式：

2.3 基于Gr?bner基的相容方程

Buchberger引進(jìn)的Gr?bner基方法是多項(xiàng)式消元的高效率手段[12]。Gr?bner基的基本思想是,在原非線性多項(xiàng)式系統(tǒng)所構(gòu)成的多項(xiàng)式環(huán)內(nèi),通過(guò)對(duì)變量多項(xiàng)式的適當(dāng)排序,求多項(xiàng)式的S-多項(xiàng)式并進(jìn)行約簡(jiǎn)和消元,最后生成一個(gè)與原系統(tǒng)完全等價(jià)且便于直接求解的三角化標(biāo)準(zhǔn)基[10]。借助于這個(gè)思想可以找到更多的相容方程來(lái)求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題。

在科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica中提供了基于Buchberger算法的指令。在這里對(duì)相容方程eq1～ eq6求Gr?bner基,變量的分次字典序列為,在所求得的基中選取階數(shù)不高于四次的9項(xiàng)來(lái)解決并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題：

采用不同的分次字典序得到的Gr?bner基的數(shù)量也是不同的,但是對(duì)于確定的分次字典序,Gr?bner基的數(shù)量是確定的,順序也是確定的。

2.4 正交補(bǔ)消元

本節(jié)研究應(yīng)用正交補(bǔ)方法進(jìn)行消元,將一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表達(dá)為一元20次代數(shù)方程。具體思路是先用1、ξ7和ξ9分別乘以eq 1～eq 15這15個(gè)方程,這樣方程的總數(shù)就變?yōu)?5,但同時(shí)ξ7和ξ9最高的次數(shù)升高到了5;然后將ξ6作為保留變量,消去ξ7和ξ9,最后可以得到只含有ξ6的一元20次代數(shù)方程。

將45個(gè)方程簡(jiǎn)寫為矩陣的形式,就有

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn),M 1中元素是ξ6的四次多項(xiàng)式,M 2中元素是ξ6的一次多項(xiàng)式,M 3中元素是ξ6的零次多項(xiàng)式,即M3是常數(shù)矩陣。現(xiàn)在的主要任務(wù)是采用正交補(bǔ)消元的方法,不僅要把λ2、λ3消去,還要把M 1中的關(guān)于ξ6的三次項(xiàng)和四次項(xiàng)消去。

具體計(jì)算是采取逐步消去的方法,最終得到關(guān)于 λ1的方程組：

或者簡(jiǎn)記為

其中,M ∈R20×10,為常數(shù)項(xiàng)矩陣,N11為M中的系數(shù)矩陣為M中的系數(shù)矩陣。

計(jì)算表明,M的每個(gè)元素都是ξ6的二次多項(xiàng)式,任取M中的10行記為M s,根據(jù)齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零,則有

通過(guò)式(21)就可以得到關(guān)于ξ6的一元20代數(shù)方程。Ms的階數(shù)為10,可以在計(jì)算軟件中直接使用det命令求解,而且計(jì)算速度也是令人滿意的。在方程的階數(shù)上盡管同樣是20次,但是本文算法可以直接給出關(guān)于位姿變量的一元20次方程的表達(dá)式,而且計(jì)算速度快,這是區(qū)別于其他算法的優(yōu)勢(shì)。關(guān)于位置與姿態(tài)的其他分量,可以很容易地由本文有關(guān)公式及旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性計(jì)算得出。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解數(shù)值算例

在本節(jié)中用一個(gè)具體的計(jì)算實(shí)例來(lái)驗(yàn)證本文方法的正確性。動(dòng)靜平臺(tái)頂點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)[10],如表1所示。由于是平面布置,所以Z坐標(biāo)分量為零。

表1 動(dòng)靜平臺(tái)坐標(biāo)參數(shù)

為了方便地確定算法的正確性,先計(jì)算一組反解,用得到的桿長(zhǎng)條件進(jìn)行正解計(jì)算。旋轉(zhuǎn)矩陣R為

動(dòng)平臺(tái)位置矢量P=[6 7 8]T。經(jīng)過(guò)反解計(jì)算得到的桿長(zhǎng)如下：l1=12.3607,l2=10.9525,l3=14.5091,l4=18.7247,l5=18.2090,l6=18.0355。

按照本文所提出的算法進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的計(jì)算,便可以得到關(guān)于ξ6的一元20代數(shù)方程。由于M ∈ R20×10,便導(dǎo)致M s有多個(gè),即最終的一元20次方程有多個(gè)。本文取了其中的8個(gè),它們?cè)赱-1,1]之間的曲線如圖2所示,其中一條曲線的代數(shù)方程如下：

圖2 ξ6的曲線示意圖

經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得知,這8個(gè)方程具有相同的根,它們是-3.995 760,-3.623 640,-2.271 930,-0.894 215,-0.725 021,-0.240 800,-1.303 730-2.675 810i,-1.303 730+2.675 810i,34.426 100-5.284 850i,34.426 100+5.284 850i,0.663 737,0.731 804,1.188 710,1.228 070,28.722 700,35.962 100,1.196 870-0.568 458i,1.196 870+ 0.568 458i,0.628 531 -0.755 161i,0.628 531+0.755 161i。

由旋轉(zhuǎn)矩陣 R可知,ξ6初始設(shè)置的值為-0.240 800,方程中的根包含了這個(gè)值,這表明本文的算法是完全正確的。受篇幅所限,位置與姿態(tài)的其他分量計(jì)算以及裝配模式從略。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的解析化方法。運(yùn)用Gr?bner基算法,擴(kuò)充了9個(gè)相容方程,使得相容方程增加到15個(gè)。這些增加的有用信息,對(duì)于解決問(wèn)題是有幫助的。基于這15個(gè)相容方程,應(yīng)用正交補(bǔ)方法,通過(guò)求解一個(gè)10階行列式將一般6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題表達(dá)為一元20次的代數(shù)方程。

如果動(dòng)靜平臺(tái)的頂點(diǎn)布置方式取為目前應(yīng)用較多的類型,也就是它們均對(duì)稱地布置圓周上時(shí),應(yīng)用本文所提出的算法,將得到更優(yōu)的結(jié)果。最終一元高次方程的階數(shù)將會(huì)低于20次,關(guān)于這方面的問(wèn)題將另文研究。

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