CNC機床運動誤差對弧齒錐齒輪齒面接觸質量的影響研究

唐進元 雷國偉

中南大學現代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室，長沙，410083

0 引言

齒輪接觸分析（tooth contract analysis，TCA）是螺旋錐齒輪設計的重要方法和手段，它通過齒面接觸軌跡和傳遞誤差曲線來反映齒面接觸質量的優劣。

實際齒面的生成與機床運動軸運動幾何誤差是相關的，傳統的TCA不包含機床各軸的運動誤差。文獻［1］研究了包含齒輪副安裝誤差的分析模型；文獻［2］研究了包含齒面誤差的TCA算法，提出了ETCA（error TCA）算法；文獻［1－3］均分析了調整參數誤差對齒面接觸的影響，同時也進行了安裝誤差容差性的研究。從現有可見的螺旋錐齒輪研究的文獻，我們還沒有發現有研究五軸聯動CNC機床各軸運動誤差對螺旋錐齒輪齒面接觸質量影響分析方面的內容。

本文主要研究CNC機床各軸運動誤差對齒面接觸的影響，尋找補償機床各軸運動誤差并提高齒面制造精度的理論依據。通過研究包含機床運動軸誤差的齒面接觸現象，得到機床各軸運動誤差對接觸區形狀影響的規律，從數量上分析其影響規律，找到機床運動軸眾多幾何誤差中對齒輪接觸質量影響最大的誤差，為實際生產中通過參數反調補償CNC機床運動軸誤差，提高齒輪加工質量提供理論依據。

1 機床各軸運動誤差的建模

1.1 機床運動副誤差分析及運動學原理

機床結構中，通常包含一系列的運動副連接以實現刀具和工件間的相對運動，在理想的情況下，與機床每個運動副相關的應該僅有1個自由度，移動副為1個平移自由度，轉動副為1個旋轉自由度，但在實際中，由于機床制造和裝配上的誤差，每個運動副往往存在多個甚至達到6個運動誤差項［4－8］，如圖1所示。

圖1 某五軸聯動螺旋錐齒輪磨齒機結構簡圖

1．1．1 移動副運動誤差

如圖2所示，托板沿著坐標系Uxyz的x軸方向運動時有3個平移誤差分量，即名義運動方向的線性位移誤差δx（x）及y、z方向的直線度誤差δy（x）、δz（x）；還有3個轉角誤差分量，及滾轉誤差εx（x）、俯仰誤差εy（x）和偏擺誤差εz（x）。在實際情況中，因為直線度誤差難以直接定義和測量，通常用誤差曲線的線性擬合及其殘余組合來描述，擬合后的直線度誤差參考軸（本文中指移動副參考軸）在xy及yz坐標平面的投影與x軸分別成一小角度θzx和θyx，如圖3所示，其中下標z、y為直線度誤差參考軸投影的旋轉運動方向，x延托板的名義運動方向，并且將殘差定義為直線度誤差δy（x）和δz（x）。

圖2 移動副誤差

基于小誤差假設，當托板在x方向移動理論距離x0時，可以用如下的齊次坐標變換矩陣來實現：

圖3 移動副的直線度誤差

式中，MR、MP分別為移動副的直線度誤差分析中的平移變換矩陣、旋轉變換矩陣；OUV為托板坐標系Uxyz在零點時相對于同x移動副固聯的x坐標系V在零點時的偏移矢量；x為描述托板名義位移的矢量；θx為平移誤差矢量。

1．1．2 轉動副運動誤差

如圖4所示，轉動副沿名義轉軸i旋轉時，由于存在制造及裝配誤差，實際轉軸i′在ij機jk坐標平面的投影與i分別成一個小角度θji和θki。I′坐標系（由i′、j′、k′軸組成）在旋轉名義角度α后變換成為坐標系I″（由i″、j″、k″軸組成）。轉動副的6個誤差運動分量表現為I″坐標系在3個方向的平移誤差和繞I″坐標軸的3個轉角誤差，他們都為轉角α的函數，這時候轉動副的運動可以用如下的齊次坐標變換矩陣來描述：

式中，M′P、M′R分別為轉動副誤差分析中的平移變換矩陣、旋轉變換矩陣；δ為I″坐標系零點的平移誤差矢量；R1為名義轉軸與實際轉軸見的角度誤差變換矩陣；R2為繞i′轉α角的變換矩陣；R3為繞i′轉α角的誤差變換矩陣。

圖4 轉動副的誤差運動

機床的主軸為特殊類型的轉動副，因本身制造精度較搞，主軸傾斜誤差很小，可以忽略不計，然而由于熱膨脹引起的主軸傾斜和零點飄逸誤差卻很重要，必須予以考慮。

1．1．3 基坐標系方向的選擇

基坐標系通常設定為機床固定部件上的一個參考坐標系，通過它建立機床運動副間的相互關系。在無誤差情況下，機床3個托板構成笛卡爾坐標系，基坐標系和托板坐標系的方向相同；在有誤差的情況下，基坐標系與托板坐標系的方向會產生偏差。為便于建模，下面對基坐標系的方向進行嚴密定義：選擇圖1中部件1、部件2的移動副名義方向為x軸方向，部件2、部件3的移動副名義方向為y軸方向，部件1、部件5的移動副構成z軸。

1.2 五軸聯動螺旋錐齒輪磨齒機幾何誤差模型

利用多體動力學系統理論對復雜的機械系統進行建模，已經在三軸、五軸加工中心的誤差補償中得到了廣泛的、成功的應用［4，8］。本文以圖1所示的五軸聯動螺旋錐齒輪磨齒機床為研究對象，利用多體動力學系統誤差建模理論建立該機床幾何誤差模型，建模方法見文獻［8］。

根據多體系統幾何誤差分析模型，建立五軸聯動螺旋錐齒輪磨齒機的幾何誤差模型，基于幾何誤差模型，可由坐標變換矩陣構建含有誤差的齒面。幾何誤差模型構建方法如下：

（1）刀具與y向工作臺之間的轉換矩陣

式中，下標t表示與刀具相關的變量；下標s表示因運動而產生的相關變量；εxt、εyt、εzt為刀具主軸與y向工作臺的坐標軸之間垂直度誤差，本文中均設為0；δxt、δyt、δzt為刀具主軸沿x、y、z軸三個方向的直線偏差；Δxt、Δyt、Δzt為刀具主軸沿x、y、z的熱漂移誤差。

（2）求y向工作臺移動變換矩陣，以實現垂直刀位：

式中，下標p表示因機床垂直度誤差而產生的相關變量；S為徑向刀位；q為初始刀位角。

（3）求x向工作臺移動變換矩陣，以實現水平刀位：

式中，下標o表示與固定坐標系相關的變量。

（4）求z向工作臺移動變換矩陣，以實現床位：

式中，xB為床位。

（5）求輪坯調整軸B軸的轉動變換矩陣，以實現輪坯安裝角δf的安裝：

式中，Xg為軸向輪位；α為輪坯安裝角。

（6）求輪坯安裝A軸旋轉變換矩陣，以實現輪坯自轉以及輪坯垂直輪位安裝：

式中，E0為垂直輪位；i1為小輪滾比；Δq1小輪搖臺角改變量。

（7）機床床身與大地慣性坐標系轉換矩陣：

通過上面的一系列轉換，可以得到齒面方程的轉換矩陣M，再使用M來構建包含機床各軸運動誤差的齒面方程。其中，切削面到慣性坐標系的轉轉矩陣為

慣性坐標系到輪坯坐標系的轉換矩陣為

2.2.3 翻轉課堂 為加深同學們對書本知識點認識，讓他們盡快的從抽象的理性認識升華成自己形象的感性認識，我們對原來的講授方式進行了翻轉。首先，對同學們進行分組，讓每組成員輪流充當老師的角色，然后拿出少量的章節讓他們自己先講，老師旁聽且提出問題并進行點評。通過角色的翻轉，提高了學生學習臨床血液學檢驗技術的主觀能動性，挖掘了學生的潛能，發現了學生的價值，促進了有效學習。

2 包含機床各軸運動誤差的齒面接觸分析算法

2.1 含機床各軸運動誤差的大小輪齒面方程的建立

根據上述理論，以大輪凸面加工為例，建立大輪多體系統加工誤差模型，見圖5。圖5中，O是機床床身中心（與慣性坐標系G重合）、Oc是刀具坐標系中心；Og是齒輪坐標系中心；On是機床過渡坐標系。

圖5 大輪加工示意圖

由圖5可知：在砂輪坐標系內砂輪理論切削點M矢徑Rc、法線方程Nc和切線方程Tc如下：

根據上述多體系統有誤差情況下的描述方法，設刀具坐標系中的砂輪上的點的理論位置矢量為Rc，工件坐標系內工件上相應加工點的理論位置矢量為Rg。沒有誤差的情況下兩矢量應該相等，但在有誤差存在的情況下，在刀具分支中，切削面方程相對于慣性系的表達式為

含有誤差的齒輪面方程為

根據嚙合原理即可求出大小輪含有加工誤差的齒面方程，大小輪的加工過程中，應滿足嚙合原理N·V＝0，據此可求出齒面參數，即

使大小輪對應的齒面、法線、切線方程分RB、NB、TB、RS、NS、TS變為 Δq2、θ2、Δq1、θ1的函數，這里Δqi為搖臺角改變量，θi為刀具轉角，i＝1，2。

2.2 含有誤差的齒輪副裝配

把加工好的大小齒輪按照設計要求裝配在一起，即按照設計的軸交角Σ、安裝距E，以及V／H值進行安裝檢驗。這里，H是小輪安裝距改變量，J是大輪的安裝距改變量，V是小輪偏置距的改變量。不考慮齒輪安裝誤差。設在條件下，當大輪繞p2軸旋轉η2角，小輪繞p1軸旋轉η1角，大輪上的M點就會和小輪上的M點共軛接觸。則在接觸位置小輪齒面方程和法矢變為

大輪齒面方程和法矢變為

此時理論接觸點的理論傳動比為

在給定的一組齒面參數Δq2、θ2、Δq1、θ1之后，可以求出接觸位置的矢量RS、RB，則兩交叉點位置O2O1為

另外，設小輪的安裝距改變量是H，大輪的安裝距的改變量是J，小輪的偏置距是V，則可得出V、H值的計算公式：

2.3 ETCA算法

ETCA算法的計算過程在文獻［2，8］中有詳細論述，其簡要算法流程如圖6所示。

圖6 ETCA算法圖

小輪齒面上接觸點的坐標在確定的時候，小輪已經從機床調整位置繞軸p1軸轉過了φ1＝i01Δq1角，裝配之后又繞p1軸轉過了η1角才進入嚙合。因此，小輪從機床調整位置到嚙合位置，小輪轉過的角度ε1＝φ1＋η1。同理，大輪轉過的角度ε2＝φ2＋η2。記第一個接觸點，小輪大輪從機床調整位置到嚙合位置轉過的角度分別是ε10和ε20，那么從齒輪從第一個接觸點位置到現在接觸點位置的轉角為

一般小輪是主動輪，大輪是被動輪。如果齒輪副的傳動比是固定的，當小輪轉過Δε1時，大輪的轉角應該為Δε2＝z1Δε1／z2Δε1。當齒輪的傳動比變動之后，Δε2≠z1Δε1／z2Δε1，其誤差為

以Δε2為橫坐標，Δε為縱坐標所做的曲線圖就是齒面接觸分析的運動曲線圖。其中Δε可能很小，所以需要放大104～105倍后再進行畫圖，從而得到齒輪的運動誤差曲線圖。

3 機床各軸運動誤差對齒面接觸的影響

3.1 計算實例和計算結果

本文以弧齒錐齒輪SGM加工調整卡為例，對大輪凸面與小輪凹面進行ETCA接觸分析。根據課題組前期工作［11］測得的機床運動軸加工誤差數據，結合實例來分析機床各軸運動誤差對齒輪齒面接觸的影響。

表1、表2、表3給出了機床加工齒輪的幾何參數和機床調整參數。

表1 齒輪的幾何參數

表2 大輪加工機床調整參數

表3 小輪加工機床調整參數

根據課題組前期工作測得的機床加工誤差數據，選擇機床在齒面中點處的各軸直線運動和旋轉幾何誤差如表4所示，其中Δx、Δy和Δz表示機床因為熱誤差而產生的熱飄移誤差。機床各軸垂直度誤差如表5所示。

表4 齒面中點處各軸直線運動和旋轉運動時的幾何誤差

表5 各軸之間垂直度誤差

根據表1～表3中的數據，建立大小輪齒面方程，包含機床各軸運動誤差的齒面與理論齒面有誤差，有誤差齒面和無誤差大輪齒面的z方向的差值在機床坐標系（即機床慣性坐標系，原點為機床原點）下如圖7所示，通過計算統計有誤差和無誤差齒面間z方向差值，其誤差值是一般為0～0．04mm。

圖7 機床坐標系下有誤差和無誤差的大輪齒面z方向差值

得到齒面方程后，把方程轉化到齒輪副安裝坐標中（原點為軸交點），模擬齒輪副旋轉，并計算嚙合點的位置，從而得到齒輪齒面接觸軌跡。在進行嚙合工作中，實際的齒面接觸如圖8所示。

圖8 齒面接觸圖

由圖8可以分析得出，在安裝坐標系下的大小輪齒面的嚙合滿足預先設定的接觸條件，圖8中所示情況符合理論擬合情況，從而也佐證了本文ETCA算法的正確性。

使用MATLAB編寫程序進行TCA和ETCA得到的齒面接觸軌跡、接觸區、運動曲線圖。限于篇幅，以大輪凸面面中點接觸為例，TCA和ETCA分析結果如圖9、圖10所示。齒面接觸軌跡、接觸區、運動曲線圖是離散點擬合而成的，為了方便從數量上對圖9和圖10進行比較，表6給出了圖9和圖10中坐標值的平均偏差。

圖9 不考慮機床各軸運動誤差時的接觸軌跡、接觸區圖和運動誤差曲線圖

表6 TCA和ETCA的差別

為了便于研究機床眾多軸運動誤差對齒面接觸的敏感性，本文設計了兩個方案來判斷：

（1）其中一軸的幾何誤差為實際測量的誤差值，而假設其他誤差值為0，然后進行TCA并同無誤差情況下的TCA結果進行對比，差別越大則說明這根軸的誤差對齒面接觸質量影響越大。

圖10 考慮機床各軸運動誤差時的接觸軌跡、接觸區圖和運動誤差曲線圖

（2）設其中某軸誤差為0，其他軸的幾何誤差為實際測量的誤差值，然后進行TCA并同無誤差情況的TCA結果進行對比，差別越小則說明這根軸的誤差對齒面接觸質量影響越大。

本文通過對比TCA和ETCA結果中的對應點坐標值來表示兩種結果的差別。如TCA結果中某點P的對應坐標為（xP，yP），對應ETCA中Pe的坐標為（xPe，yPe），則其差值為

為更加明顯地表示TCA和ETCA的差別，本文參考模糊數學中對樣本進行標準化的處理方法，是用相對誤差來表示差別，即設

通過計算對比，兩種方案的統計結果如表7、表8所示。

表7 方案1的統計結果

表8 方案2的統計結果

3.2 結果分析

從圖9、圖10中可以看出，對齒面接觸分析結果有著很大的影響，其中，機床各軸運動誤差對運動誤差曲線影響較大，而對接觸軌跡和接觸區域的影響相對較小。

從細節分析來看，接觸軌跡線在機床各軸運動誤差的影響下發生偏移或偏轉，同時接觸區域增大，運動誤差曲線向上平移，且最高點超過零點，說明齒輪回轉值超前于理論值，即齒面由于機床各軸運動誤差使齒面產生了齒高方向沒有修正甚至高于理論齒面的結果。綜合判斷，機床運動軸誤差對齒面接觸軌跡和接觸區域的影響很大，對運動誤差曲線的影響更大。本文建立機床各軸運動誤差模型的參照機床屬于精密機床，若機床的精度一般，同時再考慮齒輪嚙合中載荷作用的變形，齒面接觸的質量將更加惡劣。

從表7、表8的統計結果可以看出，機床運動軸的幾何誤差中y軸、x軸的誤差對齒面接觸質量的影響較大，各軸間垂直度誤差和主軸誤差影響次之，而其他軸誤差影響較小。所以，對于弧齒錐齒輪數控機床的幾何誤差補償的重點在于y軸和x軸的補償修正。以上結果說明，本文探討的ETCA算法證明了機床各軸運動誤差對齒面接觸質量有影響，同時也證明不同幾何誤差對齒面接觸質量影響不同。

4 結論

（1）首次引入CNC機床各軸運動誤差到螺旋錐齒輪齒面接觸分析中，給出機床各軸運動誤差對螺旋錐齒輪的齒面加工質量影響的定量分析模型與方法。

（2）以弧齒錐齒輪SGM加工調整卡為例，對大輪凸面與小輪凹面進行ETCA接觸分析，分析結果表明機床y軸、x軸運動誤差對齒面接觸質量影響最大。

（3）提出的研究CNC機床各軸運動誤差對齒面接觸質量影響的分析方法，可定量確定不同誤差對齒面接觸質量的影響、可確定機床誤差補償的方向和側重點，研究工作為CNC機床螺旋錐齒輪齒面加工參數的反調修正和弧齒錐齒輪數控機床運動軸的誤差補償研究提供了方法上的參考。

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