潘海鴻 楊 微 陳 琳 譚華卿 孫紅濤

廣西大學(xué),南寧,530004

0 引言

為克服傳統(tǒng)方式加工時(shí)復(fù)雜曲線、曲面需離散為直線、圓弧的種種弊端[1],現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)開(kāi)始應(yīng)用參數(shù)曲線插補(bǔ)。參數(shù)曲線插補(bǔ)可直接將曲線信息傳輸?shù)紺NC中,而不必將其分解成微小線段,因此使CAD/CAM和CNC之間的信息傳遞連續(xù)。目前常用的參數(shù)曲線插補(bǔ)是NURBS曲線插補(bǔ)[2-9]。

NURBS曲線插補(bǔ)算法很多,其中控制進(jìn)給速度算法在現(xiàn)代插補(bǔ)中最為常用。Yang等[2]為改善對(duì)進(jìn)給速度的控制,以二階泰勒展開(kāi)式設(shè)計(jì)插補(bǔ)器,但沒(méi)有考慮誤差控制。為提高加工精度,Yeh等[3]提出限定弦高誤差的自適應(yīng)插補(bǔ)算法,然而該算法沒(méi)有考慮機(jī)床加減速能力對(duì)進(jìn)給速度的影響。為改善加減速控制,杜道山等[4]提出實(shí)時(shí)前瞻自適應(yīng)插補(bǔ)算法,該算法能按照插補(bǔ)精度和機(jī)床加減速能力調(diào)整進(jìn)給速度,但忽略了加減速突變對(duì)機(jī)床產(chǎn)生的沖擊。為減小加減速突變對(duì)機(jī)床產(chǎn)生的沖擊,趙巍等[5]、姬俊鋒等[6]在插補(bǔ)開(kāi)始和結(jié)束階段采用S曲線加減速度控制方法,有效減小了機(jī)床啟動(dòng)和停止時(shí)產(chǎn)生的沖擊。李思益等[7]提出采用分段三角函數(shù)曲線來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)的平滑控制以避免加加速度階躍的產(chǎn)生。上述文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮插補(bǔ)全過(guò)程中的加減速插補(bǔ)處理。李建剛等[8]采用直線加減速度控制方法對(duì)插補(bǔ)速度進(jìn)行規(guī)劃,滿足機(jī)床加減速能力要求,但沒(méi)有考慮加減速突變引起的加加速度超出機(jī)床能力對(duì)加工精度的影響。Lin等[9]采用5段式S曲線加減速控制方法對(duì)插補(bǔ)全程進(jìn)行加減速插補(bǔ)處理,雖達(dá)到加減速度控制要求,但僅適用于不需要?jiǎng)蚣铀俣尉湍苓_(dá)到最大進(jìn)給速度的情況。

針對(duì)上述問(wèn)題,筆者基于7段式S曲線加減速控制策略[10],提出一種對(duì)NURBS曲線插補(bǔ)全過(guò)程進(jìn)行加減速處理的自適應(yīng)分段插補(bǔ)算法,以實(shí)現(xiàn)高速度、高精度要求下對(duì)插補(bǔ)精度、進(jìn)給速度、加速度及加加速度的全面控制。

1 NURBS曲線自適應(yīng)速度調(diào)整

在零件加工過(guò)程中,進(jìn)給速度是影響加工質(zhì)量的關(guān)鍵因素,只有保證進(jìn)給速度穩(wěn)定,才能保證加工零件表面質(zhì)量。

為改善對(duì)進(jìn)給速度的控制,參數(shù)曲線變量的計(jì)算式可通過(guò)二階泰勒展開(kāi)變換近似得到[2](二維曲線)：

式中,T為插補(bǔ)周期;v為插補(bǔ)進(jìn)給速度。

進(jìn)給速度

式中,vF為機(jī)床進(jìn)給速度指令值;ER為限定弦高誤差;ρi為曲線曲率。

Yeh等[3]提出自適應(yīng)插補(bǔ)算法,一方面盡量保持進(jìn)給速度的穩(wěn)定,另一方面在弦高誤差超過(guò)規(guī)定精度范圍時(shí)自動(dòng)調(diào)整進(jìn)給速度,調(diào)整規(guī)則如式(2)。由式(2)可知,進(jìn)給速度v(ui)隨限定弦高誤差E R和曲線曲率半徑ρi的變化自適應(yīng)地調(diào)整。

2 7段式S曲線加減速規(guī)劃

自適應(yīng)速度調(diào)整能得到滿足精度要求的速度,但在曲線曲率半徑很小的區(qū)域,速度改變可能超出機(jī)床的加減速能力,對(duì)機(jī)床產(chǎn)生沖擊。

為調(diào)整小曲率半徑區(qū)域曲線進(jìn)給速度,在曲線曲率尖角處將曲線分段,采用S曲線加減速控制方法重新規(guī)劃進(jìn)給速度。圖1所示為NURBS曲線插補(bǔ)軌跡。

圖1 NURBS曲線插補(bǔ)軌跡

2.1 加減速區(qū)域分析與分段預(yù)處理

要將曲線分段,需對(duì)經(jīng)自適應(yīng)算法得到的各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,找出分段點(diǎn)：分段后按照S曲線速度規(guī)劃要求對(duì)各曲線段進(jìn)行預(yù)處理。具體步驟如下：

(1)以參數(shù)ui計(jì)算得當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)P(ui)坐標(biāo)、曲率ki及曲率半徑ρi;將ρi代入式(2)計(jì)算得符合曲線軌跡精度要求的進(jìn)給速度v(ui);將以上獲得的相關(guān)參數(shù)代入式(1)計(jì)算得到下一插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)ui+1。

(2)根據(jù)允許最大弦高誤差ER、插補(bǔ)周期T和進(jìn)給速度v F,找出需要加減速處理的曲率極大值點(diǎn)位置。由式(2)可知,當(dāng)以 vF=為自適應(yīng)速度調(diào)整臨界條件時(shí),由該條件可推導(dǎo)出速度開(kāi)始發(fā)生較大變化處的曲率為

由步驟(1)得到整條曲線曲率k i,在ki≥krg范圍內(nèi)找出各極大值點(diǎn)。如圖2所示,kA、kB、kC、kD 為符合式(3)要求的各曲率極大值。

圖2 NURBS曲線自適應(yīng)插補(bǔ)算法曲率和進(jìn)給速度

(3)在曲率極大值點(diǎn)處將曲線分段。如圖1所示,A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)圖2中各曲率極大值點(diǎn),將曲線分為5段。計(jì)算出各段中速度最大值v max、初始速度v st、結(jié)束速度v end、各段軌跡長(zhǎng)度 L seg和各曲率極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)u值。

2.2 分段曲線速度規(guī)劃

S曲線加減速控制可實(shí)現(xiàn)加減速過(guò)程中加速度連續(xù)變化,有效減小沖擊和振蕩。圖3所示為S曲線加減速過(guò)程,整個(gè)過(guò)程由加加速、勻加速、減加速、勻速、加減速、勻減速及減減速7段組成[6]。

圖3 S曲線加減速過(guò)程[6]

其加加速與減加速的時(shí)間相同,加減速與減減速的時(shí)間相同(t1=t3,t5=t7),可得位移公式：

式中,si為起始點(diǎn)到各階段點(diǎn)位移,i=1,2,…,6;ti為圖3中7段加減速各階段持續(xù)時(shí)間,i=1,2,…,7,其中t1=t3、t5=t7;vi為各階段起始速度,i=1,2,…,6;amax為最大加速度;jmax為最大加加速度。

對(duì)2.1節(jié)步驟(3)得到的不同曲線段參數(shù),如曲線段速度最大值vmax、初始速度vst和結(jié)束速度v end,進(jìn)一步分析判斷其速度曲線類型是屬于加速,還是減速,或包含加速和減速,再采用S曲線加減速方法對(duì)其重新進(jìn)行插補(bǔ)進(jìn)給速度規(guī)劃,由此得到圖4所示的17種S曲線加減速類型。重新規(guī)劃插補(bǔ)進(jìn)給速度的過(guò)程主要包括以下兩個(gè)步驟：

(1)根據(jù)各曲線段長(zhǎng)度 L seg、起點(diǎn)速度 v st、終點(diǎn)速度v end、速度最大值v max判斷當(dāng)前曲線段的加減速類型。下面以圖4b～圖4e類型為例說(shuō)明加減速類型判斷過(guò)程。將曲線段起始速度v st、最大加速度a max及最大加加速度j max代入位移計(jì)算式(4)中,得到位移長(zhǎng)度的表達(dá)式：

加速過(guò)程中無(wú)勻加速段,加速過(guò)程中的時(shí)間分別為

由式(7)計(jì)算得到t1、t2和t3,代入式(5)計(jì)算出S的理論值S1。比較L seg與S1大小,當(dāng)L seg＞S1時(shí)為圖4c類型;當(dāng) Lseg≤S1時(shí)為圖4b類型。

由式(8)計(jì)算得到t1、t2和t3,并代入式(5)計(jì)算出S的理論值S1,同時(shí),將不包含勻加速段的臨界條件t1=t3=a max/j max及t2=0代入式(5),計(jì)算出不包含勻加速段的軌跡理論長(zhǎng)度極值S2。比較L seg與S1、S2的大小,當(dāng)L seg＞S1時(shí)為圖4e類型;當(dāng)S2＜L seg≤S1時(shí),為圖4d類型;當(dāng)Lseg≤S2時(shí)為圖4b中類型。

同理,利用式(4)、式(6)、式(7)、式(8)可以得到包含勻加速段、勻速段及勻減速段中任意一段或多段情況下軌跡長(zhǎng)度的極值,并與L seg比較可以判斷出各曲線段與圖4中對(duì)應(yīng)的17種加減速類型。

圖4 不同曲線段參數(shù)條件下的17種S曲線加減速類型

(2)判斷出當(dāng)前段加減速類型后,應(yīng)用式(4)對(duì)時(shí)間t求一階和二階導(dǎo)數(shù),分別得到速度及加速度方程,進(jìn)而可求出加速、勻速及減速各部分時(shí)間。

以圖4j類型為例,根據(jù)式(4)計(jì)算各部分需要時(shí)間,經(jīng)化簡(jiǎn)得：

由式(9)得

將式(9)、式(11)代入式(10)得

求解式(12)可計(jì)算得到t1,將t1代入式(11)計(jì)算得到t5。同理,可推導(dǎo)出其他各種加減速類型的各部分運(yùn)行時(shí)間 t1、t2、t3、t4、t5、t6和 t7,完成 S 曲線加減速規(guī)劃。各NURBS曲線段按照重新規(guī)劃好的S曲線加減速方案完成曲線插補(bǔ)。

3 插補(bǔ)仿真結(jié)果與分析

以圖1所示3次NURBS曲線為例,曲線特征和各項(xiàng)插補(bǔ)參數(shù)分別為：控制頂點(diǎn)：d=[0 0-200-200-200 200 0 0 200-200 200 200 0 0];權(quán)重因子：ω=[1 2.5 2.5 1 2.5 2.5 1];節(jié)點(diǎn)矢量：U=[0 0 0 0 0.25 0.50 0.75 1 1 1 1];最大進(jìn)給速度;插補(bǔ)周期T=1ms;允許最大弦高誤差ER=0.5μm;允許最大加速度a max=6m/s2;允許最大加加速度 j max=70m/s3。

使用MATLAB軟件,在相同的固定插補(bǔ)周期下,分別仿真單獨(dú)自適應(yīng)插補(bǔ)算法、5段式S曲線加減速分段規(guī)劃及7段式S曲線加減速分段規(guī)劃3種算法的插補(bǔ)加工過(guò)程。各種方法插補(bǔ)全過(guò)程步數(shù)及相應(yīng)插補(bǔ)時(shí)間如表1所示。

表1 3種插補(bǔ)方法總插補(bǔ)步數(shù)及相應(yīng)插補(bǔ)時(shí)間

由圖5可見(jiàn),3種插補(bǔ)算法在曲線曲率尖角A、B、C、D 處都達(dá)到E R=0.5μm精度要求。5段式S曲線加減速分段處理后的弦高誤差曲線與7段式S曲線加減速分段處理后的弦高誤差曲線幾乎重合,在局部地方,5段式S曲線加減速算法的精度略微高于7段式S曲線的加減速精度。而單獨(dú)自適應(yīng)插補(bǔ)算法得到的弦高誤差雖保持在0.5μm以內(nèi),但在A、B、C、D之外區(qū)域都大于另外兩種算法獲得的弦高誤差,表明該方法的加工精度比S曲線加減速分段控制算法的精度低。

圖5 弦高誤差輪廓曲線

由圖6可見(jiàn),單獨(dú)自適應(yīng)插補(bǔ)算法獲得的進(jìn)給速度在整段曲線50%區(qū)域內(nèi)都達(dá)到1000mm/s,全程平均速度約為747mm/s。由于受分段后各曲線段長(zhǎng)度、起始速度、結(jié)束速度、最大加速度和最大加加速度影響,5段式S曲線分段處理后達(dá)不到給定的最大速度值,最高速度為800mm/s,插補(bǔ)全程平均速度約為488mm/s;7段式S曲線分段處理后在曲線BC段能達(dá)到1000mm/s,插補(bǔ)全程平均速度為594mm/s,比5段式S曲線加減速處理后平均速度提高21.7%。對(duì)照?qǐng)D5可知,在弦高誤差相近情況下,采用7段式S曲線分段處理后的加工效率更高。

從圖7可知單獨(dú)自適應(yīng)算法中加速度達(dá)到±17m/s2。5段式S曲線加減速分段處理和7段式S曲線加減速分段處理后的加速度均控制在±6m/s2以內(nèi),比單獨(dú)自適應(yīng)算法中加速度減小64%,從而滿足了機(jī)床的加減速要求。對(duì)照?qǐng)D6中速度曲線可知,5段式S曲線加減速分段處理后的加速度曲線不包含勻加速段,而7段式S曲線加減速分段處理后的加速度曲線中包含勻加速段,可使進(jìn)給速度在勻加速時(shí)間段內(nèi)以最大加速度為變化率持續(xù)升高,因而前者速度只能達(dá)到800mm/s,而后者可達(dá)到1000mm/s。

圖6 進(jìn)給速度曲線

圖7 加速度曲線

圖8a中自適應(yīng)插補(bǔ)算法加加速度在2000m/s3至-16000m/s3范圍內(nèi)波動(dòng),超出允許最大加加速度±70m/s3要求。圖8b、圖8c中5段式S曲線加減速分段處理和7段式S曲線加減速分段處理后的加加速度都控制在最大加加速度±70m/s3內(nèi)。

圖8 加加速度曲線

由以上分析可知以插補(bǔ)精度、加速度及加加速度為限制條件時(shí),雖然單獨(dú)自適應(yīng)插補(bǔ)算法插補(bǔ)總步數(shù)較少,且插補(bǔ)總時(shí)間較短,但其最大加速度和加加速度超過(guò)限制條件。采用7段式S曲線加減速算法明顯比5段式S曲線加減速算法所需插補(bǔ)總步數(shù)要少,且時(shí)間要短,所需插補(bǔ)時(shí)間為5段式S曲線分段處理后插補(bǔ)時(shí)間的82.06%,對(duì)比可知插補(bǔ)效率更高。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證該算法在工程中的可行性,以圖9兩軸聯(lián)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。該平臺(tái)的DSP+FPGA數(shù)控系統(tǒng)硬件及軟件均為自行設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)。

圖9 兩軸聯(lián)動(dòng)平臺(tái)

采用C語(yǔ)言編譯方式,將全程S曲線加減速控制的自適應(yīng)分段NURBS曲線插補(bǔ)算法集成到自行開(kāi)發(fā)的控制系統(tǒng)中,并采用繪圖方式成功繪制出圖1所示形狀曲線,繪制結(jié)果如圖10所示。

圖10 實(shí)際繪制圖形

5 結(jié)束語(yǔ)

基于7段式S曲線全程加減速控制的自適應(yīng)NURBS曲線分段插補(bǔ)算法,通過(guò)分析速度、加速度、加加速度及分段曲線長(zhǎng)度之間的關(guān)系,自適應(yīng)地調(diào)整加速、勻速及減速各變化階段的時(shí)間;另外,不需要單獨(dú)預(yù)測(cè)減速點(diǎn)位置,從而解決了減速點(diǎn)預(yù)測(cè)困難的問(wèn)題;分析結(jié)果表明：該算法在滿足插補(bǔ)精度要求和固定插補(bǔ)周期情況下,可保證插補(bǔ)全過(guò)程中加速度連續(xù)、加加速度恒定,且在允許范圍內(nèi)其插補(bǔ)精度比單獨(dú)自適應(yīng)插補(bǔ)精度更高,插補(bǔ)速度比5段式S曲線加減速規(guī)劃方法更快。繪圖實(shí)例進(jìn)一步證實(shí)該插補(bǔ)算法的正確性和在實(shí)際工程運(yùn)用中的可行性。該算法已成功應(yīng)用于自主開(kāi)發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)中。

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