向 量 在 代 數(shù) 中 的 應(yīng) 用

□陸金菊

( 山西省畜牧獸醫(yī)學(xué)校，山西 太原 030024)

我們知道向量是既有大小又有方向的量。它的廣泛應(yīng)用滲透到各個(gè)領(lǐng)域。它是我們研究問題解決問題的有力工具。如：物理中存在大量的向量，位移、力、力矩、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等。至于向量在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等自然科學(xué)中的應(yīng)用就更廣泛，更有其用武之地。下面就向量在代數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用做一些探討。

一、運(yùn)用向量知識(shí)證明某類等式

證明等式一般來說要進(jìn)行繁雜的運(yùn)算，如果等式具備向量在代數(shù)中的某些特征時(shí)，應(yīng)用向量知識(shí)去證明，方法較為簡(jiǎn)單。從而起到降低教學(xué)難度，提高學(xué)習(xí)能力的作用。

利用已知條件(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2可得 cos2θ= 1。

例2 用向量的數(shù)量積公式證明三角形的余弦定理如圖：已知：在△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊。

求證： c2=a2+b2-2abcosC

∴c2=a2+b2-2abcosC

二、運(yùn)用向量知識(shí)證明某類不等式

證明不等式方法很多，但某些含有乘方之和或者乘積之和的不等式，運(yùn)用向量的數(shù)量積公式證明會(huì)使證明過程更加直觀，更加簡(jiǎn)捷。

求證： -1≤a1b1+a2b2≤1

三、運(yùn)用向量知識(shí)解決有關(guān)三角函數(shù)問題

證明：設(shè)正n邊形A1A2A3…An-1An的邊A1A2與ox 軸的夾角為α，且設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為1。

而 cos0=cos2)π

四、運(yùn)用向量知識(shí)解決有關(guān)函數(shù)的最值問題

求函數(shù)的最值問題，有時(shí)候按照常規(guī)方法求解有一定的難度，當(dāng)具備某些條件時(shí)，用向量知識(shí)解答，會(huì)使求解變得容易。

可見，用向量知識(shí)解決有關(guān)代數(shù)問題，主要用到向量的數(shù)量積公式。因此，關(guān)鍵是要善于觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，并由此巧妙地構(gòu)造出向量的坐標(biāo)，達(dá)到簡(jiǎn)化問題、并迅速求解的目的。由此可見，向量的應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)。要始終掌握向量基本定理公式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄浚瓜蛄窟\(yùn)算順利進(jìn)入計(jì)算與推理過程，從而解決面臨的問題。

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