改進的以x(1)(n)為初始條件的GM模型

尹方平

（廣東機電職業技術學院，廣州 510515）

0 引言

影響GM（1,1）模型預測精度的原因有兩個，其一是模型中背景值的構造方法；其二是預測公式中初值的選取。經典GM(1,1)模型的初始值選取問題，在原有初始值選取的基礎上，出現了多種改進方法的討論[1-7]。本文對灰色GM（1,1）模型的預測精度進行了分析，提出了一種修正初值法來提高模型的精度，對以x(1)(n)為初始條件的GM模型進行了改進，使所建的模型的精度大為提高，最后通過具體的實例驗證了模型的實用性與可靠性。

1 以x(1)(n)為初始條件的GM模型

以x(1)(n)為初始條件的GM模型是根據新信息優先原理和最少信息原理提出的灰色GM模型的一種改進的方法。

定義1 稱方程x(0)(k)+az(1)(k)=b為灰色微分方程，此模型為 GM（1,1）模型。

其中a和b為待確定的常數。其中a為發展系數，它的大小及符號反映了x(0)(k)及x(1)(k)的發展態勢。如果a為負，那么態勢是增長的，a的絕對值越大，增長越快；如果a為正，那么態勢是減弱的，a的絕對值越大，衰減越快。b為系統的灰作用量，它是從背景值挖掘出來的數據，反映數據變化的關系。

則GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估計參數列滿足

由定理1及白化方程的離散解不難得：

以x(1)(t)為初始條件的GM模型白化方程+ax(1)=b的時間響應函數為：

從上述模型可以看出，GM（1，1）模型的擬合和預測精度不但跟常數a,b有關，還跟x(1)(n)的取值有關。因此合理的選擇初值對于提高模型的預測精度有著重要的作用。本文在最小化指定指標函數的情況下，提出了改進x(1)(n)初值的方法。

2 改進的以x(1)(n)為初始條件的GM模型

由于初始條件x(1)(n)是由原始序列X(0)累加生成的，原始序列信息通過x(1)(n)都可以得到充分反映，因此把它作為GM模型的初始條件可以克服GM建模與x(1)(1)的弊端。基于新信息優先原理以及合理的初值選擇原理的應用，本文假設模型的初值取αx(1)(1)，并把該初值代入

我們采用最小二乘原則的方法，建立一個無約束優化模型，求解x^(1)(k)和x^(1)(k)誤差平方和最小，也就是求解優化問題：minJ

為了求出指標函數值最小時的待辨識參數α，先用如下梯度法求取：

3 實例與討論

發電量是衡量一個國家發展水平和人民生活水平的一個重要指標，所以建立發電量模型并預測其未來的發展趨勢具有重要的現實意義。現用本文提出的方法建立1989-1999年我國上海市的發電量《上海統計年鑒-2002》的GM（1，1）模型[8]，并預測2000-2002年的上海市發電量。

用傳統的GM（1，1）方法建立的模型為：

x^(1)(k)=4927.7le0.058366(k-1)-4652.96,k≥1

表1 模型值比較表 (單位：kw:h)

x^(0)(k+1)=279.49e0.058366,k≥1

x^(0)(k)=278.33

用αx(0)(1)以為初始條件的GM改進模型Ⅰ為：

其中 α=0.99493。

用以αx(1)(n)為初始條件的GM改進模型Ⅱ為：

計算結果如表1所示：

4 小結

（1）本文對 GM（1，1）模型的預測精度進行了分析，認為初值x(1)(n)的選取對模型的精度有重要的影響，提出了一種修正初值法來提高模型的精度，對以x(1)(n)為初始條件的GM（1，1）模型進行了改進。該方法保留了GM（1，1）模型建模計算簡便和易于應用的優點，不存在復雜的計算。

（2）從實例分析上看，該方法能得到比原 GM（1，1）模型和以αx(1)(n)為初始條件的GM改進模型更高的精度和適應性，因而具有重要的理論價值和實踐意義。

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