慣性中容忍度及其控制圖分析

王傳毅

（武漢大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，武漢 430072）

SPC即統(tǒng)計(jì)控制過程，是美國貝爾實(shí)驗(yàn)室休哈特博士提出，將正態(tài)分布應(yīng)用于生產(chǎn)管理的質(zhì)量控制。主要是指應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)對生產(chǎn)過程進(jìn)行適時(shí)的監(jiān)控，科學(xué)的區(qū)分出生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量的隨機(jī)波動(dòng)和異常波動(dòng)，從而對生產(chǎn)過程中的異常趨勢進(jìn)行預(yù)警，以便生產(chǎn)管理人員及時(shí)采取措施消除異常，保證生產(chǎn)過程的順利進(jìn)行。

SPC借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對生產(chǎn)過程進(jìn)行評(píng)價(jià)根據(jù)反饋的信息及時(shí)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)性因素出現(xiàn)的征兆，采取措施消除其影響，使過程維持在僅存在隨機(jī)因素影響的受控狀態(tài)。

但是任何一種檢測方法，無論如何先進(jìn)，都有其局限性。SPC過程在對于隨機(jī)波動(dòng)和趨勢改變的反應(yīng)上也有一定的局限性，從而引發(fā)虛發(fā)警報(bào)或未能及時(shí)預(yù)警。

1 SPC難以探測趨勢的一個(gè)實(shí)例

作者曾在一家加工飛機(jī)零件的工廠進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)工作，發(fā)現(xiàn)其SPC存在未能及時(shí)預(yù)警的問題。作者對在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)有不同工人在同一機(jī)床抽取十五個(gè)零件的直徑數(shù)據(jù)①數(shù)據(jù)為：10.027，9.968，9.971，10.026，10.022，9.977，10.021，9.979，10.01，10.009，9.995，10.007，10.007，9.999，10.003；單位是厘米。進(jìn)行分析。觀測值內(nèi)沒有任何超出規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)象，其分布近似與正態(tài)分布，也并沒有出現(xiàn)幾點(diǎn)都在2σ，3σ和中心線同側(cè)，建立極差控制圖②在本次抽樣觀測中，由于只抽取了一個(gè)樣本，所以用相鄰兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)之差的絕對值來代替極差R，RS=|xi-xi+1|，1，2，3...。如下：RS=|xi-xi+1|；i=1，2，3……n+1； 由于 E（R）=d2σx，有 σ=E(RS)/d2=/d2③；所以 d2=3/2.66；帶入極差控制圖④D3，D4均為與樣本量有關(guān)的系數(shù)。：

沒有點(diǎn)出界，過程正常。但是其過程能力指數(shù)⑤Cp=(TU-Tl)/，TU,Tl為公差。為0.994，小于正常值1，因此，說明過程中存在著不穩(wěn)，即有一些小趨勢未被探測。

作者對生產(chǎn)線進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)有以下幾個(gè)問題：①隨著加工時(shí)間的增加，砂輪打磨零件所形成的火花會(huì)造成工廠新手工人的不適應(yīng)，導(dǎo)致操縱控制桿的手流汗，眼睛觀測度降低，會(huì)無意識(shí)的加重對于零件的打磨，這會(huì)導(dǎo)致大部分加工零件的直徑在控制線內(nèi)略小于規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)值；②所在工廠有個(gè)不成文的規(guī)定此類零件的打磨宜小不宜大。因?yàn)榱慵蚰ゲ粔颍渲睆酱笥跇?biāo)準(zhǔn)值上可通過再加工，將其打磨為合格品，這樣有利于節(jié)省原材料；③工人具有主觀意識(shí)性，一方面，當(dāng)其打磨零件存在一定問題，他會(huì)繼續(xù)保持這種不正確行為，直到意識(shí)到這種問題，另一方面，他會(huì)在意識(shí)到問題時(shí)，對其行為進(jìn)行糾正，并且這種有意思的反思與糾正經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生

以上問題的出現(xiàn)可能是同時(shí)的，也可能并非同時(shí)，同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可能會(huì)互相抵消其趨勢的發(fā)生，而當(dāng)某一問題單獨(dú)出現(xiàn)時(shí)，就可能會(huì)使過程存在趨勢，出現(xiàn)異常。

在日常的生產(chǎn)活動(dòng)中這種情況幾乎處處存在，只是表現(xiàn)嚴(yán)重與否的問題，而在小型的，技術(shù)人才匱乏的工廠，現(xiàn)象可能就會(huì)普遍一些。當(dāng)過程發(fā)生微小的趨勢，由于觀測值反應(yīng)的滯后性而導(dǎo)致不能為SPC所檢測。這種情況被一些學(xué)者定義為——慣性或信號(hào)延遲[1]。

2 容忍度的提出

由上文可知，慣性在SPC中即控制圖的觀測具有保持原來趨勢的狀態(tài)，會(huì)使過程中新趨勢的發(fā)現(xiàn)滯后。慣性處處存在，關(guān)鍵是看其存在是否對既定的過程造成異常，即在既定的生產(chǎn)精度下使過程發(fā)生偏離。也就是說慣性雖無法消除，但其可看作一個(gè)適度的量。即多大的慣性可以為SPC所接受，所容忍。慣性越大，其信號(hào)延遲越厲害，而慣性越小，其虛發(fā)警報(bào)的可能性就越大。因此存在一個(gè)位置，在虛發(fā)警報(bào)和信號(hào)延遲之間平衡。

雖然在各個(gè)領(lǐng)域?qū)τ谌萑潭鹊亩x不大相同，到那我們可以看出容忍度即一種平衡，是既定條件下的一種選擇或是次優(yōu)水平下的一種選擇。同時(shí)容忍度又是一個(gè)適度指標(biāo)，容忍度過大，說明對于生產(chǎn)者自身的效用壓制到較低水平，而容忍度過小，說明對于目標(biāo)管理尚未達(dá)到最優(yōu)水平。而將容忍度的概念引入SPC，則，容忍度是當(dāng)過程中存在一定趨勢，而白癡當(dāng)前觀測值不發(fā)生出界現(xiàn)象所需要的慣性大小。因此用容忍度來衡量慣性大小，對應(yīng)到生產(chǎn)運(yùn)作管理中，容忍度越大，說明在一定趨勢下過程中的慣性更能保持觀測值的不出界，但會(huì)增加廠家質(zhì)量檢測和控制的成本，導(dǎo)致成本增高，反之，容忍度越小，慣性越小，其觀測值出界也越容易，說明過程存在不穩(wěn)現(xiàn)象，需要調(diào)整。

容忍度的計(jì)算需要依靠所依托的控制圖的各種數(shù)據(jù)，不同控制圖有不同的計(jì)算方法。而本文將選取EWMA控制圖作為容忍度計(jì)算的載體。EWMA控制圖即加權(quán)移動(dòng)平均控制圖，其指導(dǎo)思想是基于在加工過程中最近的觀測值可以更多反應(yīng)質(zhì)量信息的理論，其中新統(tǒng)計(jì)變量的權(quán)重增大，過去的逐漸減少，能夠同時(shí)兼顧系統(tǒng)的頻域和時(shí)域特性。[2]

3 EWM A控制圖的建立

在本文中我們只考慮檢測過程均值的控制圖，我們定義觀測值（x1i，x2i，x3i……xni），他們是從正態(tài)總體 X 中，以相同的時(shí)間間隔取出，每次取n個(gè)觀測樣本。

對每一個(gè)樣本，我們假定：每一時(shí)刻的樣本均值X·J

獨(dú)立同分布（i.i.d）且服從N(μ，σ2)。為在本文中討論方便我們將觀測值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，既 X·i～N(0，1)，休哈特控制圖中，CL=0，UCL=L1，LCL=-L1， 當(dāng)過程均值落在控制線±L1外，（L1》0）被判為出界或失控，EWMA 控制圖中，Yi=λXˉ·i+(1-λ)Yi-1[3]，Y0=0，0＜λ＜1，λ 為平滑系數(shù)，決定以前觀測值的權(quán)重。在本文中，為測量慣性大小的需要，將選擇較小的λ。

E(Yi)=λE(X·i)+(1-λ)E(Yi-1)；Yi=λX·i+(1-λ)Yi-1，∴E(Yi-1)=(1-λ)E(Yi-2)；

4 EWM A控制圖中容忍度的推導(dǎo)

構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量——容忍度T，該統(tǒng)計(jì)量為下一期觀測樣本均值偏離目標(biāo)值卻不會(huì)使控制圖的統(tǒng)計(jì)量發(fā)出失控信號(hào)所能允許的最大程度。此統(tǒng)計(jì)量越大表明其慣性越大，即發(fā)現(xiàn)這種潛在危險(xiǎn)的可能性越小。

（1）出現(xiàn)一個(gè)向上趨勢而下一統(tǒng)計(jì)量不超出控制上限的情況

而當(dāng) Yi+1不失控即跑出控制線滿足+(1-λ)Yi≤L2

（2）出現(xiàn)一個(gè)向下趨勢而下一統(tǒng)計(jì)量不超出控制下限的情況

5 EWM A控制圖中容忍度數(shù)值模擬分析

我們設(shè)定ARL=1/0.27即α=0.27因此控制上下線為±3σ，即 L1=L2=3

所以休哈特控制圖的上下限為±3，EWMA控制圖的上下限為±，（當(dāng) λ=0.2 時(shí)）且 Yi～N(0，1)

（1）我們產(chǎn)生 1 組 200 個(gè)服從 N（0，1）的隨機(jī)數(shù) X·j，共產(chǎn)生 5000組，計(jì)算出（用 EXCEL加載工具宏使用其數(shù)據(jù)分析功能中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，并利用其函數(shù)功能計(jì)算出每組的平均數(shù)）

（4）并做出圖象如圖1。

圖中，橫坐標(biāo)表示我們新構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量Yi的取值，由于數(shù)據(jù)量比較大，并且圖比較粗略，我們不能很好的看出Yi在大樣本的情況下所服從均值為0，方差為λ(2-λ)的正態(tài)分布；縱坐標(biāo)表示最大容忍度在平滑系數(shù)為0.2的時(shí)隨Yi的變化而變化的不同值。在討論上限出界和下限出界最大容忍度的大小的實(shí)質(zhì)是一樣的，因?yàn)槿绻诜€(wěn)態(tài)的過程中發(fā)生向上的趨勢，討論上限出界才有意義，同理，也應(yīng)該在出現(xiàn)向下趨勢的時(shí)候，討論下限出界。

當(dāng)然在實(shí)際情況中，我們并不知道過程發(fā)生了何種改變，但是，對域上限出界和下限出界，其容忍度區(qū)別在于一個(gè)常數(shù)，即圖中Y軸的截距。為研究方便，本文只選取上限出界的情況進(jìn)行分析。當(dāng)我們將一個(gè)人為的趨勢改變作用于過程中時(shí)，隨著容忍度的減少，慣性也不斷減少，而EWMA控制圖中的統(tǒng)計(jì)量也不斷靠近上界。

圖1

6 容忍度的控制圖構(gòu)建

僅僅從容忍度的大小來判斷慣性的大小是不夠的，因?yàn)槲覀冎荒軓拇蟾诺慕y(tǒng)計(jì)量變化的趨勢來判斷慣性的大小，進(jìn)而估計(jì)潛在的風(fēng)險(xiǎn)大小。因此我們對最大容忍度構(gòu)件一個(gè)控制圖，構(gòu)建過程如下：

∵Var(Yi)=λ/(2-λ)

∴Var[T(EWMA)]=(1-λ)2/λ(2-λ)

所以我們得到T統(tǒng)計(jì)量的控制圖：

同樣的L3的大小也取決于給定ARL的大小。當(dāng)T跑出上下界時(shí)，判為失控。其中心線和上下界大小都取決于λ，所以在操作中應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況選取λ的值

由于 Var[T(EWMA)]=(1-λ)2/λ(2-λ)，（0＜λ＜1）對其求導(dǎo)后其導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)，所以T統(tǒng)計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均隨λ的增加而減小 （減小而增大），即控制上下界的距離隨λ增加而減小 （減小而增大）。我們通過把不同觀測值所對應(yīng)的EWMA控制圖中的容忍度帶入容忍度的控制圖中，就可以判斷其慣性大小是否合理，過程是否處于穩(wěn)態(tài)。

7 結(jié)論

采用一般控制圖對過程進(jìn)行監(jiān)控難免會(huì)出現(xiàn)信號(hào)延遲的慣性現(xiàn)象，而采用本文中EWMA控制圖的慣性及慣性的控制圖加以分析，可以將過程中的趨勢放大，以此預(yù)警，但同時(shí)，對于過程的敏感程度增加，也可能會(huì)導(dǎo)致虛發(fā)警報(bào)的產(chǎn)生。在實(shí)際的過程監(jiān)測中，要同時(shí)把握信號(hào)延遲和虛發(fā)警報(bào)這兩類情況，實(shí)際上就是在兩類情況中尋造一個(gè)平衡點(diǎn)，而作者認(rèn)為，信號(hào)延遲比起虛發(fā)警報(bào)來，所導(dǎo)致的后果應(yīng)該更嚴(yán)重。所以，本文中所提出的容忍度及其控制圖事實(shí)上也是講二者的平衡點(diǎn)又向虛發(fā)警報(bào)這類錯(cuò)誤進(jìn)行了小小的遷移。

[1]William H.Woodwall.The Inertial Properties of Quality Control Control Charts[J].Technometrics,2005，47.

[2]Amin.R.W.Wolff.EWMA Control Charts for the Smallest and Largest Observations[J].Journal of Quality Technology，1996，31.

[3]Lucas J.M.EWMA Control Charts:Properties and Enhancement[J].Technometrics，1992，32.